Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Sursa: Facultatea de Informatică UVT – Concursul FI

Subiect — acces directBarem — acces direct

Concurs de pregătire · Matematică · 2017

Facultatea de Informatică · UVT

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 1 pagină

Subiect · pagina 1

Universitatea de Vest din Timi¸soara
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a – 6 mai 2017
Proba scris˘a la Matematic˘a
Clasa a XI-a
1. Se consider˘a matricea A =


0 0 1
0 0 0
−1 0 0

. Calculat¸i urm˘atoarele matrice:
(a) A2, A3, A4 ¸si A5;
(b) A + A2 + ... + A2017.
2. Fie a, b, c ∈ R, a 6 = 0 ¸si b 6 = 0.
(a) Ar˘atat¸i c˘a
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b b
b b a
b a b
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = −(a − b)2 · (a + 2b);
(b) Discutat¸i compatibilitatea ¸si determinat¸i solut¸iile sistemului de ecuat¸ii



ax + by + bz = c
bx + by + az = c
bx + ay + bz = c.
3. S¸tiind c˘a lim
x→0
x − sin x
x3 = 1
6 calculat¸i valorile urm˘atoarelor limite:
(a) lim
x→0
x2 − sin2 x
x4 ;
(b) lim
x→0
x3 − sin3 x
x5 ;
(c) lim
x→0
x − arcsin x
x3 .
4. Fie a > 0, b > 0 numere reale distincte. Se consider˘a ¸sirul (xn)n≥0 definit prin x0 = a, x1 = b ¸si
xn+2 = 1 + xn+1
xn
, (∀) n ≥ 0.
(a) Determinat¸i primii ¸sapte termeni ai ¸sirului.
(b) Studiat¸i m˘arginirea, monotonia ¸si convergent¸a ¸sirului (xn).
(c) Determinat¸i al 20172017-lea termen al ¸sirului.
Deschide documentul original
Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea de Vest din Timi¸soara
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul Facult˘at¸ii de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
6 mai 2017
Clasa a XI-a – Barem de rezolvare
1. Se consider˘a matricea A =


0 0 1
0 0 0
−1 0 0

. Calculat¸i urm˘atoarele matrice:
(a) A2, A3, A4 ¸si A5;
(b) A + A2 + ... + A2017.
Solut¸ie ¸si barem:
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Se acord˘a un punct pentru fiecare matrice calculat˘a corect.
A2 =


−1 0 0
0 0 0
0 0 −1

 , A3 =


0 0 −1
0 0 0
1 0 0

 , A4 =


1 0 0
0 0 0
0 0 1

 , A5 =


0 0 1
0 0 0
−1 0 0

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
(b) Verific˘a relat¸ia
A + A2 + A3 + A4 = O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Verific˘a faptul c˘a 2017 are restul 1 la imp˘art¸irea cu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Arat˘a c˘a A + A2 + ... + A2016 = O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Deduce A + A2 + ... + A2017 = A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
2. Fie a, b, c ∈ R, a 6 = 0 ¸si b 6 = 0 .
(a) Ar˘atat¸i c˘a
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b b
b b a
b a b
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = −(a − b)2 · (a + 2b);
(b) Discutat¸i compatibilitatea ¸si determinat¸i solut¸iile sistemului de ecuat¸ii



ax + by + bz = c
bx + by + az = c
bx + ay + bz = c.
Solut¸ie ¸si barem:
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Calculeaz˘a determinantul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
(b) Dac˘a determinantul matricei este nenul se obt¸ine sistem compatibil determinat cu solut¸ia
x = y = z = c
a + 2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Pentru a = b se obt¸ine sistem compatibil nedeterminat cu solut¸ia
x = c − a(α + β)
a , y = α, z = β, α, β ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Barem · pagina 2

Pentru a = −2b ¸si c = 0 se obt¸ine sistem compatibil nedeterminat cu solut¸ia
x = y = z = α, α ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Pentru a = −2b ¸si c 6 = 0 se obt¸ine sistem incompatibil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
3. S¸tiind c˘a lim
x→0
x − sin x
x3 = 1
6 calculat¸i valorile urm˘atoarelor limite:
(a) lim
x→0
x2 − sin2 x
x4 ;
(b) lim
x→0
x3 − sin3 x
x5 ;
(c) lim
x→0
x − arcsin x
x3 .
Solut¸ie ¸si barem:
Observat¸ie. Pentru orice solut¸ie corect˘a a problemei sau a unui subpunct care utilizeaz˘a regula lui L’Hˆospital
se acord˘a punctajul maxim.
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a)
lim
x→0
x2 − sin2 x
x4 = lim
x→0
x − sin x
x3 · x + sin x
x
= lim
x→0
x − sin x
x3 · lim
x→0
(
1 + sin x
x
)
= 1
6 · (1 + 1) = 1
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
(b)
lim
x→0
x3 − sin3 x
x5 = lim
x→0
x − sin x
x3 · x2 + x · sin x + sin2 x
x2
= lim
x→0
x − sin x
x3 · lim
x→0
(
1 + sin x
x +
( sin x
x
)2)
= 1
6 · (1 + 1 + 12) = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
(c) Se face substitut¸ia x = sin y. Se obt¸ine:
lim
x→0
x − arcsin x
x3 = lim
y→0
sin y − arcsin(sin y)
sin3 y
= − lim
y→0
y − sin y
y3 · lim
y→0
1
( sin y
y
)3
= − 1
6 · 1
13 = − 1
6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
4. Fie a > 0, b > 0 numere reale distincte. Se consider˘a ¸sirul (xn)n≥0 definit prin x0 = a, x1 = b ¸si
xn+2 = 1 + xn+1
xn
, (∀) n ≥ 0.
(a) Determinat¸i primii ¸sapte termeni ai ¸sirului.

Barem · pagina 3

(b) Studiat¸i m˘arginirea, monotonia ¸si convergent¸a ¸sirului (xn).
(c) Determinat¸i al 20172017-lea termen al ¸sirului.
Solut¸ie ¸si barem:
Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(a) Prin calcul direct se obt¸ine x2 = b+1
a , x3 = a+b+1
ab , x4 = a+1
b , x5 = a ¸si x6 = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5p
Observat¸ie. Se acord˘a cˆate 0.5 puncte pentru fiecare calcul corect al valorilor x2, x3, x4, x5, x6.
(b) Se observ˘a c˘a ¸sirul este periodic de perioad˘a 5, adic˘a xn+5 = xn, (∀)n ≥ 0. Rezult˘a c˘a mult¸imea va-
lorilor termenilor acestui ¸sir este M = {x0, x1, x2, x3, x4} = {a, b, b+1
a , a+b+1
ab , a+1
b
} ¸si de aici min M ≤ xn ≤
max M, (∀)n ≥ 0, ceea ce implic˘a m˘arginirea ¸sirului (xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5p
S¸irul nu este convergent, deoarece, de exemplu, sub¸sirurile sale (x5n)n≥0 ¸si (x5n+1)n≥0 sunt ¸siruri constante
care au limitele distincte a, respectiv b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
S¸irul nu este monoton; dac˘a presupunem contrariul ar rezulta, din m˘arginirea acestuia, c˘a este convergent –
contradict¸ie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Observat¸ie. O alt˘a variant˘a pentru abordarea monotoniei ¸sirului se poate baza, de exemplu, pe faptul c˘a semnele
diferent¸elor x0 − x1 = a − b ¸si x1 − x5 = b − a sunt contrare.
(c) Ultima cifr˘a a num˘arului 20172017 este 7. Rezult˘a c˘a restul ˆımp˘art¸irii lui 20172017 la 5 este 2, iar res-
tul ˆımp˘art¸irii lui 20172017 − 1 la 5 este 1. Din periodicitatea ¸sirului (xn) se obt¸ine c˘a al 20172017-lea termen al
¸sirului este x20172017−1 = x1 = b (¸si x20172017 = x2 = b+1
a ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Observat¸ie. Se puncteaz˘a cu 3 puncte oricare dintre variantele x20172017−1 ¸si x20172017 .
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.