Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Sursa: Facultatea de Informatică UVT – arhiva admiterii

Subiect + barem — acces direct

Subiectul și răspunsurile sunt în același PDF. Afișăm documentul complet, cu toate paginile.

Examen de admitere · Matematică · 2016

Facultatea de Informatică · UVT

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect și barem · 5 pagini

Subiect și barem · pagina 1

Universitatea de Vest din Timis¸oara
Facultatea de Matematic˘a s¸i Informatic˘a
Concurs de Admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2016
Subiect la Matematic˘a
1. Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii liniare: 


x + y + z = 3
mx + y + z = 3
x + my + m2z = 3,
unde m ∈ R este un parametru real oarecare.
a) Calculat¸i determinantul matricei coeficient¸ilor necunoscutelor sistemului de mai sus.
b) Rezolvat¸i sistemul pentru m = −1.
c) Determinat¸i valorile parametrului m ∈ R pentru care sistemul este compatibil.
2. Se consider˘a funct¸ia f : R −→ R definit˘a prin:
f (x) =



x2 − 1 , dac˘a |x| ≥ 1,
e − ex2
, dac˘a |x| < 1.
a) S˘a se determine mult¸imea punctelor ˆın care f este continu˘a.
b) S˘a se determine mult¸imea punctelor ˆın care f este derivabil˘a.
c) S˘a se determine mult¸imea punctelor de extrem local ale funct¸iei f .
3. Se consider˘a funct¸ia f : R −→ R,
f (x) = xex + 1 .
a) Determinat¸i intervalele de monotonie ale funct¸iei f .
b) Determinat¸i valorile reale ale lui m pentru care ecuat¸ia f (x) = m admite exact dou˘a solut¸ii reale ¸si distincte.
c) Ar˘atat¸i c˘a f admite primitive ¸si orice primitiv˘a a lui f este strict crecs˘atoare.
d) Calculat¸i ∫ 1
0
f (x) dx.
4. Pe mult¸imea A = (−1, 1) consider˘am operat¸ia ∗ definit˘a prin
x ∗ y = x + y
xy + 1 , pentru orice x, y ∈ A.
a) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f : R −→ A definit˘a prin
f (x) = e2x − 1
e2x + 1 , pentru orice x ∈ R,
este un izomorfism de la (R, +) la (A, ∗).
b) Ar˘atat¸i c˘a (A, ∗) este un grup comutativ.
c) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice m ∈ A ecuat¸ia x ∗ x = m are o unic˘a solut¸ie x ∈ A.
Not˘a: Toate subiectele sunt obligatorii ¸si se noteaz˘a cu note cuprinse ˆıntre 1 ¸si 10.
Timp de lucru: 3 ore.

Subiect și barem · pagina 2

Universitatea de Vest din Timis¸oara
Facultatea de Matematic˘a s¸i Informatic˘a
Concurs de Admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2016
Solut¸ii ¸si barem de corectare la Matematic˘a
1. Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii liniare:



x + y + z = 3
mx + y + z = 3
x + my + m2z = 3,
unde m ∈ R este un parametru real oarecare.
a) Calculat¸i determinantul matricei coeficient¸ilor necunoscutelor sistemului de mai sus.
b) Rezolvat¸i sistemul pentru m = −1.
c) Determinat¸i valorile parametrului m ∈ R pentru care sistemul este compatibil.
Solut¸ie:
start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
a) Matricea A a coeficient¸ilor necunoscutelor sistemului dat este
A =

 1 1 1
m 1 1
1 m m2

 .
Calculˆand determinantul(cu definit¸ia, sau cu regula lui Sarrus, sau cu regula triunghiului, sau dezvoltˆand dupa una
dintre liniile sau coloanele matricei), se obt¸ine det(A) = −m3 + 2m2 − m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3p
b) Pentru m = −1 avem c˘a ∆ = det(A) = 4 6 = 0, astfel c˘a se poate folosi regula lui Cramer. Avem:
∆x =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 1 1
3 1 1
3 −1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0 , ∆y =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 3 1
−1 3 1
1 3 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0 , ∆z =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 3
−1 1 3
1 −1 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 12 ,
astfel c˘a x = ∆x
∆ = 0, y = ∆y
∆ = 0, z = ∆z
∆ = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
c) Conform a) avem c˘a det(A) = −m(m − 1)2. Notˆand cu A matricea extins˘a a sistemului, pentru m ∈ R \ {0, 1} avem
c˘a det(A) 6 = 0, astfel c˘a 3 = rang(A) ≤ rang(A) ≤ 3, ¸si rezult˘a c˘a rang(A) = rang(A) = 3 ¸si sistemul este compatibil
determinat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Pentru m = 0, avem det(A) = 0 ¸si cum mp =
∣
∣
∣
∣ 1 1
0 1
∣
∣
∣
∣ = 1 6 = 0, iar
mcar =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 3
0 1 3
1 0 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 3 6 = 0 ,
rezult˘a, conform criteriului lui Rouch´e, c˘a sistemul este incompatibil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Pentru m = 1, A ¸si A sunt matrice nenule avˆand cele trei linii identice, astfel c˘a rang(A) = rang(A) = 1 ¸si sistemul
este compatibil(se poate ¸si observa direct c˘a x = y = z = 1 este ˆın acest caz o solut¸ie a sistemului). Prin urmare,
sistemul este compatibil dac˘a ¸si numai dac˘a m ∈ R \ {0}.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p.

2. Se consider˘a funct¸ia f : R −→ R definit˘a prin:
f (x) =



x2 − 1 , dac˘a |x| ≥ 1,
e − ex2
, dac˘a |x| < 1.

Subiect și barem · pagina 3

a) S˘a se determine mult¸imea punctelor ˆın care f este continu˘a.
b) S˘a se determine mult¸imea punctelor ˆın care f este derivabil˘a.
c) S˘a se determine mult¸imea punctelor de extrem local ale funct¸iei f .
Solut¸ie:
start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Explicitˆand, avem c˘a
f (x) =



g(x) , dac˘a x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞),
h(x) , dac˘a x ∈ (−1, 1),
unde g, h : R −→ R sunt funct¸iile definite prin g(x) = x2 − 1, respectiv h(x) = e − ex2
, pentru orice x ∈ R. Funct¸iile g
¸si h sunt elementare, fiind compuse de funct¸ii elementare. Prin urmare, ele sunt continue ¸si derivabile pe orice interval
deschis I ⊆ R.
a) Avem atunci c˘a f este continu˘a pe mult¸imea (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p
ˆIn punctul x = −1 avem c˘a:
lim
x↗−1 f (x) = lim
x↘−1 f (x) = f (−1) = 0 ,
astfel c˘a f este continu˘a ˆın x = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Analog, ˆın x = 1:
lim
x↗1 f (x) = lim
x↘1 f (x) = f (1) = 0 ,
deci f este continu˘a ˆın x = 1. Rezult˘a c˘a f este continu˘a pe R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
b) Ca mai sus, f este derivabil˘a pe mult¸imea (−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, ∞), ¸si f ′(x) = g′(x) = 2x, ∀x ∈ (−∞, −1)∪(1, ∞),
respectiv f ′(x) = h′(x) = −2xex2
, ∀x ∈ (−1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
ˆIn x = −1 avem
lim
x↗−1
f (x) − f (−1)
x − (−1) = lim
x↗−1
x2 − 1
x + 1 = −2,
respectiv
lim
x↘−1
f (x) − f (−1)
x − (−1) = lim
x↘−1
e − ex2
x + 1 = −e · lim
x↘−1
ex2−1 − 1
x2 − 1 · x2 − 1
x + 1 = −e · 1 · (−2) = 2e.
Deoarece f ′s(−1) 6 = f ′d(−1), funct¸ia f nu este derivabil˘a ˆın x = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Analog se arat˘a c˘a f ′s(1) = −2e 6 = 2 = f ′d(1) ¸si f nu este derivabil˘a ˆın x = 1. Prin urmare, f este derivabil˘a pe
R \ {−1, 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(Alternativ se poate folosi consecint¸a teoremei lui Lagrange: Funct¸ia f este continu˘a pe R, derivabil˘a pe R \ {−1, 1}
¸si exist˘a limitele laterale ˆın x = −1 ¸si x = 1 ale derivatei lui f , astfel c˘a exist˘a derivatele laterale:
f ′s(−1) = lim
x↗−1 f ′(x) = lim
x↗−1 2x = −2, f ′d(−1) = lim
x↘−1 f ′(x) = lim
x↘−1 −2xex2
= 2e,
f ′s(1) = lim
x↗1 f ′(x) = lim
x↗1 −2xex2
= −2e, f ′d(1) = lim
x↘1 f ′(x) = lim
x↘1 2x = 2,
¸si funct¸ia f nu este derivabil˘a ˆın x = −1 ¸si x = 1.)
c) Deoarece
f ′(x) =



g′(x) = 2x , dac˘a x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞),
h′(x) = −2xex2
, dac˘a x ∈ (−1, 1),
avem c˘a f ′(x) > 0 dac˘a ¸si numai dac˘a x ∈ (−1, 0)∪(1, ∞), respectiv f ′(x) < 0 dac˘a ¸si numai dac˘a x ∈ (−∞, −1)∪(0, 1).
Rezult˘a c˘a f este strict cresc˘atoare pe intervalele [−1, 0] ¸si [1, ∞), respectiv strict descresc˘atoare pe intervalele (−∞, −1]
¸si [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Rezult˘a c˘a f are urm˘atoarele puncte de extrem local: x = −1 ¸si x = 1 sunt puncte de minim local, iar x = 0 este
punct de maxim local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
(Observat¸ie: Extremele x = −1 ¸si x = 1 nu pot fi obt¸inute prin condit¸ia de anulare a derivatei, deoarece funct¸ia f nu
este derivabil˘a ˆın aceste puncte.)
3. Se consider˘a funct¸ia f : R −→ R,
f (x) = xex + 1 .

Subiect și barem · pagina 4

a) Determinat¸i intervalele de monotonie ale funct¸iei f .
b) Determinat¸i valorile reale ale lui m pentru care ecuat¸ia f (x) = m admite exact dou˘a solut¸ii reale ¸si distincte.
c) Ar˘atat¸i c˘a f admite primitive ¸si orice primitiv˘a a lui f este strict crecs˘atoare.
d) Calculat¸i ∫ 1
0
f (x) dx.
Solut¸ie:
start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
a) Fiind compunere de funct¸ii elementare, f este elementar˘a, ¸si deci continu˘a ¸si derivabil˘a pe R. De asemenea,
f ′(x) = (x + 1)ex, pentru orice x ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Cum f ′(x) > 0 dac˘a ¸si numai dac˘a x > −1, respectiv f ′(x) < 0 dac˘a ¸si numai dac˘a x < −1, rezult˘a c˘a f este strict
cresc˘atoare pe intervalul [−1, ∞) ¸si strict descresc˘atoare pe intervalul (−∞, −1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
b) Deoarece lim
x→−∞ f (x) = 1, iar lim
x→∞ f (x) = ∞, cum f este continu˘a pe R, t¸inˆand cont de monotonia funct¸iei avem
c˘a
f ((−∞, −1)) = (f (−1), lim
x→−∞ f (x)) =
(
1 − 1
e , 1
)
,
respectiv
f ((−1, ∞) = (f (−1), lim
x→∞ f (x)) =
(
1 − 1
e , ∞
)
.
Prin urmare, ecuat¸ia f (x) = m are dou˘a solut¸ii pe R dac˘a ¸si numai dac˘a ecuat¸ia are cˆate o solut¸ie ˆın fiecare dintre
intervalele (−∞, −1) ¸si (−1, ∞), adic˘a pentru
m ∈ f ((−∞, −1)) ∩ f ((−1, ∞) =
(
1 − 1
e , 1
)
∩
(
1 − 1
e , ∞
)
=
(
1 − 1
e , 1
)
.
Prin urmare, ecuat¸ia f (x) = m are dou˘a solut¸ii pe R dac˘a ¸si numai dac˘a m ∈ (1 − 1
e , 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(Alternativ se poate urm˘ari tabloul de variat¸ie al funct¸iei f :
x −∞ −1 ∞
f ′(x) − − − 0 + + +
f (x) 1 ↘ ↘ ↘ 1 − 1
e ↗ ↗ ↗ ∞
din inspectarea c˘aruia se poate trage concluzia.)
(Alta posibilitatea este de a folosi ¸sirul lui Rolle pentru funct¸ia g : R → R definit˘a prin g(x) = f (x) − m. Avem
c˘a g′(x) = f ′(x) = (x + 1)ex se anuleaz˘a doar ˆın −1 ¸si num˘arul solut¸iilor ecuat¸iei g(x) = 0 este dat de num˘arul
schimb˘arilor de semn ˆın ¸sirul (g(−∞) = 1 − m, g(−1) = 1 − 1
e − m, g(∞) = ∞). Ecuat¸ia are dou˘a solut¸ii dac˘a ¸si numai
dac˘a 1 − m > 0 > 1 − 1
e − m, sau m ∈ (1 − 1
e , 1).)
c) Deoarece f este continu˘a pe R, admite primitive pe R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Fie F o primitiv˘a a funct¸iei f . Atunci F ′(x) = f (x) ≥ f (−1) = 1 − 1
e > 0, ∀x ∈ R, astfel c˘a F este strict cresc˘atoare
pe R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
d) Integrˆand prin p˘art¸i, avem
∫ 1
0
f (x) dx =
∫ 1
0
(xex + 1) dx =
∫ 1
0
xex dx +
∫ 1
0
1 dx = xex|1
0 −
∫ 1
0
ex dx + 1 = e − (e − 1) + 1 = 2.
Astfel, ∫ 1
0 f (x) dx = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
(Alternativ, f (x) = xex + 1 = (x + 1)ex − ex + 1 = (f (x) − ex + x)′ ¸si
∫ 1
0
f (x) dx = (f (x) − ex + 1)|1
0 = f (1) − e + 1 − f (0) + 1 − 1 = e + 1 − e + 1 = 2.)
4. Pe mult¸imea A = (−1, 1) consider˘am operat¸ia ∗ definit˘a prin
x ∗ y = x + y
xy + 1 , pentru orice x, y ∈ A.
a) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f : R −→ A definit˘a prin
f (x) = e2x − 1
e2x + 1 , pentru orice x ∈ R,

Subiect și barem · pagina 5

este un izomorfism de la (R, +) la (A, ∗).
b) Ar˘atat¸i c˘a (A, ∗) este un grup comutativ.
c) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice m ∈ A ecuat¸ia x ∗ x = m are o unic˘a solut¸ie x ∈ A.
Solut¸ie:
start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
a) Ecuat¸ia f (x) = y este echivalent˘a cu e2x = 1−y
1+y , care are pentru orice y ∈ (−1, 1) solut¸ia unic˘a x = 1
2 · ln
( 1−y
1+y
)
.
Rezult˘a c˘a funct¸ia f este bijectiv˘a, cu inversa g : A → R, g(y) = 1
2 · ln
( 1−y
1+y
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Pentru orice x, y ∈ R are loc
f (x) ∗ f (y) = f (x) + f (y)
f (x) · f (y) + 1 = (e2x − 1)(e2y + 1) + (e2x + 1)(e2y − 1)
(e2x − 1)(e2y − 1) + (e2x + 1)(e2y + 1) = e2(x+y) − 1
e2(x+y) + 1 = f (x + y),
astfel c˘a f este morfism de la (R, +) la (A, ∗). Rezult˘a c˘a f este un morfism bijectiv, deci un izomorfism.. . . . . . . . .2p
b) Deoarece f : (R, +) → (A, ∗) este un izomorfism, iar (R, +) este un grup comutativ, rezult˘a c˘a (A, ∗) este un grup
comutativ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
c) Ecuat¸ia x ∗ x = m se transcrie sub forma 2x
x2+1 = m. Dac˘a m = 0, singura solut¸ie a ecuat¸iei este x = 0.
Pentru m ∈ A \ {0} ecuat¸ia este echivalent˘a cu mx2 − 2x + m = 0. Discriminantul acestei ecuat¸ii de grad doi este
∆ = 4(1 − m2) > 0 pentru orice m ∈ A. Rezult˘a c˘a ecuat¸ia are dou˘a solut¸ii reale distincte x1, x2, al c˘aror produs
este x1x2 = m
m = 1, astfel c˘a exact una dintre ele este de modul subunitar. Rezult˘a c˘a ecuat¸ia x ∗ x = m are o unic˘a
solut¸ie x ∈ A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3p
(Alternativ, folosind izomorfismele f ¸si g, ecuat¸ia este echivalent˘a cu g(x ∗ x) = g(m), sau, echivalent, 2 · g(x) = g(m),
cu solut¸ia unic˘a x = f ( 1
2 · g(m)).)
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2016Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2016 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.