Despre acest subiect
iulie · Sesiunea iulie
Sursa documentelor: Facultatea de Informatică UAIC – subiecte anterioare. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Se încarcă profesorii disponibili…
Subiect și barem
Se deschide documentul PDF… Deschide PDF
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 2 pagini
Subiect · pagina 1
Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi Admitere - studii de licenţă Facultatea de Informatică Sesiunea Iulie 2025 Test la MATEMATICĂ Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) Pentru itemii de mai jos, scrieţi pe foaia de examen litera corespunzătoare răspun- sului corect. 5p 1. Valorile a 2 R pentru care numărul complex (1 + ia)3 are partea reală egală cu zero sunt: A. a 2 ß 1 3 ; 1 3 ™ ; B. a 2 ß 1 p3 ; p3 ™ ; C. a 2 ß 1 p3 ; 1 p3 ™ ; D. a = 3: 5p 2. Să se determine m 2 R astfel încât vârfurile parabolelor de ecuaţii y = x2 + 2x 1, y = 2x2 + 4x 3 şi y = x2 2mx să fie coliniare. A. m = 0; B. m 2 f2; 1g; C. m = 2; D. m = 1. 5p 3. Suma numerelor naturale n care satisfac inegalitatea C2 n Å 1 + 2 n ã < 15 este: A. 15; B. 10; C. 21; D. 6: 5p 4. Probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă exact două cifre egale este: A. 9 100 ; B. 81 100 ; C. 18 100 ; D. 27 100 . 5p 5. Determinaţi m 2 R pentru care vectorii ~u = 4m~i + (m 1)~j şi ~v = 2m~i + (m + 1)~j sunt perpendiculari şi satisfac j~uj = j~vj. A. m = 0; B. m = 1 3 ; C. m = 1 3 ; D. m 2 ß 1 3 ; 1 3 ™ . 5p 6. Valoarea expresiei sin 11 12 cos 5 12 este: A. p3 4 ; B. 2 p3 4 ; C. 2 + p3 4 ; D. p3 4 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. Fie A = Ñ 0 1 i 0 0 1 0 0 0 é 2 M3(C) şi fie mulţimea G = Ñ a b c 0 a b 0 0 a é j a; b; c 2 C : 5p a) Calculaţi matricea A3 + 2I3: 5p b) Dacă matricea X 2 M3(C) verifică relaţia AX = XA; demonstraţi că X 2 G: 5p c) Arătaţi că ecuaţia X2 = A nu are soluţii în mulţimea M3(C): 2. Se consideră polinomul f 2 R[X]; definit prin f = X4 X3 (1 + )X2 + X + ; 2 R, cu rădăcinile x1; x2; x3; şi x4: 5p a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X2 1: 5p b) Să se determine polinomul g 2 R[X] de grad 4, pentru care g(0) = 1 şi care are ca rădăcini inversele rădăcinilor polinomului f. 5p c) Ştiind că x1; x2; x3 şi x4 sunt numere întregi, să se arate că numarul se poate scrie ca produs de două numere naturale consecutive.
Subiect · pagina 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : R ! R; f(x) = x px2 + 4: 5p a) Determinaţi ecuaţia dreptei tangente la graficul lui f în punctul de abscisă x = 0: 5p b) Arătaţi că funcţia f este concavă. 5p c) Calculaţi lim n!+1 Å n f0 Å 1 n2 ã f0 Å 2 n2 ã : : : f0 n n2 ã . 2. Fie şirul (In)n2N; In = Z 1 0 xn px + 1 dx; 8n 2 N. 5p a) Calculaţi I0: 5p b) Demonstraţi că are loc (2n + 1)In + 2nIn1 = 2p2 pentru orice n 2 N: 5p c) Arătaţi că lim n!1 ïÅ 1 + 1 pn2 + n ã Å 1 + 1 pn2 + 2n ã : : : Å 1 + 1 pn2 + n2 ãò = e2(p21). Indicaţie: Puteţi utiliza, eventual, inegalităţile x ln(1 + x) x x2 2 ; 8x 2 [0; 1]:
Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi Admitere - studii de licenţă Facultatea de Informatică Sesiunea Iulie 2025 Barem de corectare la MATEMATICĂ • Se acordă 10 puncte din oficiu. • Pentru orice soluţie corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă un punctaj corespunzător. • Observaţii privind SUBIECTUL I: - În cazul în care la o întrebare pe foaia de examen sunt mai multe răspunsuri (exemplu: "A.", "B."), niciunul dintre ele nu se punctează. - În cazul în care la o întrebare răspunsul nu este clar (exemplu: se scrie un caracter similar şi cu "B." şi cu "D."), răspunsul nu se punctează. - În cazul în care la o întrebare răspunsul final nu este corect dar există justificări parţial corecte, punctajul se calculează conform baremului afişat. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. Răspuns corect: C. 5p Fie a 2 R: Atunci (1 + ia)3 = 1 3a2 + i(3a a3): 2p Re(1 + ia)3 = 0 ) 1 3a2 = 0 ) a = 1 p3 : 2p 2. Răspuns corect: D. 5p Vârful parabolei y = x2 + 2x 1 este V1(1; 2); vârful parabolei y = 2x2 + 4x 3 este V2(1; 5); vârful parabolei y = x2 2mx este V3(m; m2): 3p Cele trei puncte sunt coliniare dacă 1 2 1 1 5 1 m m2 1 = 0 ) 3(1 m) = 0. 1p 3. Răspuns corect: A. 5p Fie n 2 N. Atunci avem C2 n 1 + 2 n < 15 , (n1)(2+n) 2 < 15 , n(n + 1) < 32: 2p Cel mai mare n 2 N care satisface inegalitatea n(n + 1) < 32 este n = 5. Deci suma valorilor n care satisfac relaţia din enunţ este 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15: Notă: Se consideră că C2 1 = 0. Dar, cei care au considerat că această valoare nu este definită şi au impus restricţia n 2, pentru care răspunsul este 14, vor primi punctajul complet. 2p 4. Răspuns corect: D. 5p Cu a 6 = b sunt 9 9 numere de forma aab; 9 9 numere de forma aba; şi 9 9 numere de forma baa: 2p Prin urmare p = nr: caz: f av: nr: caz: pos: = 3 81 900 = 27 100 : 2p 5. Răspuns corect: B. 5p Vectorii ~u şi ~v sunt perpendiculari dacă ~u ~v = 0 , 9m2 1 = 0. Adică ~u ~v = 0 dacă m = 1 3 : (1) 2p j~uj = j~vj , 16m2 + m2 2m + 1 = 4m2 + m2 + 2m + 1 , 4m(3m 1) = 0 , m = 0 sau m = 1 3 : (2) 2p Din (1) si (2), rezultă că m = 1 3 : 6. Răspuns corect: B. 5p Folosind formula sin a cos b = 1 2 (sin(a + b) + sin(a b)), avem sin 11 12 cos 5 12 = 1 2 (sin 4 3 + 1): 3p Cum sin 4 3 = sin 3 = p3 2 , obţinem că sin 11 12 cos 5 12 = 2p3 4 : 1p
Barem · pagina 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a) Calcul A2 = à 0 0 1 0 0 0 0 0 0 í : 2p Prin calcul se deduce că A3 = O3: 2p Aşadar, A3 + 2I3 = 2I3: 1p 1.b) Fie X = à x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 í 2 M3(C): Calcul AX, XA. 2p Cum AX = XA, avem că x21 = x31 = x32 = 0 şi x11 = x22 = x33; x12 = x23. Deci X = à x11 x12 x13 0 x11 x12 0 0 x11 í ; x11; x12; x13 2 C; adică X 2 G: 3p 1.c) Prespunem că există X 2 M3(C) astfel încât X2 = A: Putem observa că X verifică AX = XA = X3: Din punctul b) avem că X 2 G, adică există a; b; c 2 C astfel încât X = à a b c 0 a b 0 0 a í : 2p Din X2 = A; rezultă că det(X2) = 0, deci det(X) = 0, adică a = 0. Aşadar X2 = à 0 0 b2 0 0 0 0 0 0 í 6 = A: Deci ecuaţia nu are soluţii în M3(C). 3p 2.a) Împărţind polinomul f la X2 1, obţinem f = (X2 1)(X2 X ): Deci restul împărţirii este 0: 5p 2.b) Fie g 2 R[X]; g = a4X4 + a3X3 + a2X2 + a1X + 1; cu rădăcinile 1 x1 ; 1 x2 ; 1 x3 ; 1 x4 : Cum f se divide la X2 1, rezultă că 1 sunt rădăcini ale polinomului f: Putem presupune că x1 = 1; x2 = 1; iar x3 şi x4 sunt rădăcinile polinomului X2 X . Aşadar, g se poate scrie în forma g = c(X 1)(X + 1) ÄX 1 x3 ä ÄX 1 x4 ä ; c 2 R: 2p Din relaţiile lui Viète avem x3 + x4 = 1; x3x4 = () ) 1 x3 + 1 x4 = 1 ; 1 x3x4 = 1 : Prin urmare, avem că g = c(X2 1) X2 + 1 X 1 : Ştiind că g(0) = 1, avem c = . 2p Deci g = (X2 1) X2 + 1 X 1 = X4 + X3 (1 + )X2 X + 1: 1p 2.c) Cum f = (X2 1)(X2 X ) avem x1 = 1; x2 = 1, x3 şi x4 sunt soluţii întregi ale ecuaţiei X2 X = 0. Din relaţiile lui Viète () putem scrie = x3x4 = (x3 1)x3 = (x3)(x3 + 1). 3p Pentru x3 > 0; = (x3 1)x3; iar pentru x3 < 0; = (x3)(x3 + 1). 2p
Barem · pagina 3
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a) f0(x) = 1 xpx2+4 ; 8x 2 R. 2p Ecuaţia tangentei la f într-un punct x0 este y = f(x0) + f0(x0) (x x0). 2p Deci ecuaţia tangentei la graficul lui f în 0 este y = x 2. 1p 1.b) f00(x) = px2+4 x2 px2+4 x2+4 = 4 (x2+4)3=2 < 0, 8x 2 R. 4p Prin urmare, f este concavă. 1p 1.c) Pentru k; n 2 N, f0 k n2 = 1 k n2 … k2 n4 +4 = 1 kp4n4+k2 . 1p Astfel, lim n!+1 n f0 1 n2 f0 2 n2 : : : f0 n n2 = lim n!+1 nP k=1 kp4n4+k2 . 1p Pe de o parte avem nP k=1 kp4n4+k2 nP k=1 k 2n2 = n(n+1) 2 2n2 = n+1 4n ; 1p pe de cealaltă parte, nP k=1 kp4n4+k2 nP k=1 kp4n4+n2 = n(n+1) 2 n p4n2+1 = n+1 2 p4n2+1 . 1p Cum lim n!+1 n+1 4n = lim n!+1 n+1 2 p4n2+1 = 1 4 , limita cerută există şi este egală cu 1 4 . 1p 2.a) I0 = Z 1 0 (x + 1)1=2dx = 2(x + 1)1=2 1 0 = 2(p2 1). 5p 2.b) Avem In = R 1 0 xn px+1 dx = 2 R 1 0 xn(px + 1)0dx. Prin integrare prin părţi, obţinem: In = 2xnpx + 1 1 0 2n R 1 0 xn1px + 1dx = 2p2 2n R 1 0 xn1px + 1dx. 2p Astfel, In = 2p2 2n R 1 0 xn1(x+1) px+1 dx = 2p2 2n R 1 0 xn+xn1 px+1 dx = 2p2 2nIn 2nIn1. 2p Prin urmare, (2n + 1)In + 2nIn1 = 2p2. 1p 2.c) Pentru o funcţie f : [0; 1] ! R integrabilă Riemann avem lim n!+1 1 n nP k=1 f k n = R 1 0 f(x)dx. Particularizând la funcţia f(x) = 1px+1 , x 2 [0; 1], obţinem lim n!+1 1 n nP k=1 1q k n +1 = I0, adică lim n!+1 nP k=1 1pn2+kn = I0: () 2p Folosind inegalitatea ln(1 + x) x, avem nP k=1 ln Å 1 + 1pn2+kn ã nP k=1 1pn2+kn . Cum ln(1 + x) x x2 2 ; 8x 2 [0; 1], avem nP k=1 ln Å 1 + 1pn2+kn ã nP k=1 1pn2+kn 1 2 nP k=1 1 n2+kn . 1p Se arată uşor că lim n!1 nP k=1 1 n2+kn = 0: 1p Din () şi inegalităţile de mai sus, rezultă lim n!+1 nP k=1 ln Å 1 + 1pn2+kn ã = I0. Dar e Pn k=1 ln 1+ 1pn2+kn ! = nQ k=1 Å 1 + 1pn2+kn ã , de unde concluzia. 1p
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2025Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2026Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2026Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă examen de admitere din 2025 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.
