Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Examen de admitere · Matematică · 2023

Facultatea de Informatică · UAIC

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 1 pagină

Subiect · pagina 1

Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Ia³i Admitere - studii de licenμ
Facultatea de Informatic Sesiunea iulie 2023
Test la MATEMATIC€
Se acord 10 puncte din ociu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie z 2 C astfel încât z2  z + 1 = 0. S se arate c z4 = 1
z  1:
5p 2. S se rezolve în mulμimea numerelor reale inecuaμia 3x  1
2x  3  3  2x
2  x :
5p 3. Fie f : R ! R, astfel încât f(x + 1) + f(x  1) = p2f(x); 8x 2 R: S se arate c funcμia f
este periodic .
5p 4. S se determine probabilitatea ca, alegând la întâmplare o funcμie f : f1; 2; 3g ! f2; 3; 4g,
f(1) s e num r par.
5p 5. S se determine m 2 R ³tiind c distanμa de la punctul A(m  2; m) la dreapta 2x  y  1 = 0
este p5:
5p 6. S se rezolve în intervalul [0; 4] ecuaμia sin(2x) + sin(6x) = sin(4x):
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =
Ñ ^1 m ^1
^2 ^1 m
m ^1 ^1
é
cu elementele din Z5.
5p a) S se determine m 2 Z5 astfel încât det(A2) = ^1.
5p b) Pentru m = ^0, s se ae inversa lui A.
5p c) Pentru m = ^0, s se rezolve în M3;1(Z5) sistemul AX =
Ñ^2
^1
^2
é
.
2. Fie F mulμimea funcμiilor f : Z ! Z. Pe F denim operaμia  prin
f  g = f  g + n(g  f); 8f; g 2 F;
unde n 2 Z, iar  este operaμia de compunere a funcμiilor.
5p a) S se determine n astfel încât operaμia  s e comutativ .
5p b) S se determine n astfel încât operaμia  s e asociativ .
5p c) S se determine n astfel încât operaμia  s admit element neutru. Pentru n astfel determi-
nat, s se precizeze elementul neutru ³i s se ae elementele simetrizabile ale lui F.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider funcμiile f; g : R ! R denite prin f(x) = arctg x2
1 + x + x2 ³i g(x) = f( 3
px).
5p a) Determinaμi punctele de extrem local ale funcμiei f.
5p b) S se determine asimptotele la gracul funcμiei g.
5p c) S se calculeze lim
n!1
Å
f
 1
1

+ f
 1
2

+    + f
 1
n
ã
.
2. Se consider funcμia f : [0; 1] ! R; f(x) = 1
x2 + 4x + 5 , ³i ³irul (In)n2N denit prin
In =
Z 1
0
xnf(x)dx; n 2 N:
5p a) S se calculeze I1:
5p b) S se demonstreze c pentru orice n 2 N au loc inegalit μile 10In+2  1
n + 1  10In.
5p c) S se arate c lim
n!1nIn = f(1):
Deschide documentul original
Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Ia³i Admitere - studii de licenμ
Facultatea de Informatic Sesiunea iulie 2023
Barem de corectare la MATEMATIC€
- Se acord 10 puncte din ociu.
- Pentru orice soluμie corect , chiar diferit de cea din barem, se acord un punctaj corespunz tor.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z2 = z  1, z4 = (z2)2 = z2  2z + 1 = z2  z + 1  z = z. Deci z4 = z (*). 2.5p
z2 + 1  z
z = 0 ) z = 1
z  1: 1.5p
Din (*) rezult concluzia. 1p
2. 3x  1
2x  3  3  2x
2  x () x2  5x + 7
(2  x)(2x  3)  0 () (2  x)(2x  3) > 0. 4p
Concluzie: x 2
Å 3
2 ; 2
ã
: 1p
3. x ! x + 1 ) f(x + 2) + f(x) = p2f(x + 1) = 2f(x)  p2f(x  1); 8x 2 R. 2p
A³adar, f(x + 4) = f(x + 2)  p2f(x + 1) = f(x); 8x 2 R. 2p
Prin urmare, f(x + 8) = f(x); 8x 2 R, deci funcμia este periodic . 1p
4. Cazuri posibile: 33 = 27: 1p
f(1) ! 2 posibilit μi, f(2) ! 3 posibilit μi, f(3) ! 3 posibilit μi. 2p
Deci cazuri favorabile: 2  3  3 = 18. 1p
Concluzie: probabilitatea cerut este 18=27 = 2=3. 1p
5. dist(A; dr) = j2(m  2)  m  1j
p22 + 12 = jm  5j
p5 . 3p
Cum dist(A; dr) = p5 ) jm  5j = 5. 1p
Concluzie: m = 0 sau m = 10: 1p
6. y = 2x: este de ajuns s rezolv m ecuaμia sin y + sin(3y) = sin(2y) (*) în [0; 8]. 0.5p
Avem sin y + sin(3y)  sin(2y) = 2 sin(2y) cos y  sin(2y) = sin(2y) (2 cos(y)  1). 3p
A³adar (*)() sin(2y) = 0 sau cos(y) = 1
2 , deci y 2
ß k
2 j k 2 f0; : : : ; 16g
™
[
ß 
3 + 2k; 5
3 + 2k j k 2 f0; 1; 2; 3g
™
.
1p
Concluzie: x 2
ß k
4 j k 2 f0; : : : ; 16g
™
[
ß 
6 + k; 5
6 + k j k 2 f0; 1; 2; 3g
™
. 0.5p

Barem · pagina 2

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) det A = m3  ^1 2p
det(A2) = (det A)2 = (m3  ^1)2 1p
(m3  ^1)2 = ^1 , m3  1 = ^1 , m3 2 {^0; ^2} , m 2 {^0; ^3} : 2p
b) Pentru m = ^0, det A = ^1, iar 1p
A =
Ñ ^1 ^1 ^1
^2 ^1 ^2
^2 ^1 ^1
é
. 3p
Concluzie: A1 = (det A)1 A =
Ñ^1 ^1 ^1
^2 ^1 ^2
^2 ^1 ^1
é
. 1p
c) X = A1(AX) =
Ñ^1 ^1 ^1
^2 ^1 ^2
^2 ^1 ^1
é Ñ^2
^1
^2
é
=
Ñ ^3
^7
^5
é
=
Ñ^2
^2
^0
é
: 5p
2.a) f  g = g  f , f  g + n (g  f) = g  f + n (f  g) , (n  1) (g  f) = (n  1) (f  g) (*) 2p
Dac n = 1, relaμia (*) este evident satisf cut pentru orice f; g 2 F. 1p
Dac n 6 = 1, exist f; g 2 F astfel încât g  f 6 = f  g (de exemplu f  0, g  1). 1p
Concluzia:  este comutativ dac ³i numai dac n = 1. 1p
b) Fie f; g 2 F. Atunci (f  g)idZ = (n+1) (f  g + n (g  f)) = (n+1) (f  g)+n(n+1) (g  f),
iar f  (g  idZ) = f  ((n + 1)g) = f  ((n + 1)g) + n (((n + 1)g)  f)
= f  ((n + 1)g) + n(n + 1) (g  f).
A³adar, pentru ca operaμia  s e asociativ , trebuie s avem (n+1) (f  g) = f ((n + 1)g).
Dac în aceast relaμie lu m f  1, obμinem n + 1  1, de unde n = 0.
3p
Reciproc, dac n = 0, atunci  coincide cu , care este asociativ . 1p
Concluzie:  este asociativ dac ³i numai dac n = 0. 1p
c) Dac n = 0, atunci  coincide cu , iar elementul neutru este funcμia identitate idZ. În plus,
elementele simetrizabile ale lui F sunt funcμiile inversabile (sau bijective).
1p
S presupunem c n 6 = 0. Dac  ar avea un element neutru e, atunci am avea e  idZ = idZ,
adic (n + 1)e = idZ, de unde n = 2 ³i e =  idZ.
Pe de alt parte, în acest caz ar trebui s avem ³i f ( idZ) = ( idZ)f pentru orice f 2 F,
adic f  ( idZ) = ( idZ)  f, cf. calculelor de la punctul a). Dar acest lucru înseamn c
orice funcμie din F este impar , ceea ce este evident fals.
3p
Concluzie:  admite element neutru dac ³i numai dac n = 0. 1p

Barem · pagina 3

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) Datorit faptului c funcμia arctg este strict cresc toare, punctele de extrem local sunt
acelea³i ³i de acela³i tip cu ale funcμiei h : R ! R, h(x) = x2
1 + x + x2 .
1p
Observ m c 1
h(x) = 1
x2 + 1
x +1 > 0; 8x 2 R. Prin urmare, prin acela³i gen de raμionament,
h are un punct de extrem local într-un punct x0 2 R dac ³i numai dac x0 este punct de
extrem local pentru funcμia R 3 x 7 ! 1
x2 + 1
x + 1, adic dac ³i numai dac 1
x0
este punct
de extrem local pentru funcμia R 3 x 7 ! x2 + x + 1. Cum unicul punct de extrem local al
acestei funcμii este  1
2 (punct de minim global), rezult c unicul punct de extrem local al
funcμiei h pe R este x0 = 2 (punct de maxim global).
2p
În x0 = 0: cum h(x)  0 = h(0); 8x 2 R, x0 = 0 este punct de minim global pentru h. 1p
Concluzie: punctele de extrem local ale lui f sunt 2 ³i 0. 1p
b) Funcμia g este continu pe R, deci gracul funcμiei g ar putea avea asimptote doar la 1. 1p
Avem lim
x!1 g(x) = lim
x!1 f( 3
px) = lim
x!1 f(x) = arctg lim
x!1
x2
1 + x + x2 = arctg 1 = 
4 . 3p
Concluzie: gracul funcμiei g are dou asimptote orizontale, una în 1, una în +1, ambele
de ecuaμie y = 
4 .
1p
c) f(x) = arctg 1
1
x2 + 1
x + 1 , deci tg
[
f
( 1
x
)]
= 1
x2 + x + 1 = 1
1 + (x + 1)x = (x + 1)  x
1 + (x + 1)x . 1.5p
Observ m analogia cu formula binecunoscut tg(u  v) = tg u  tg v
1 + tg u  tg v , u; v 2
[
0; 
2
)
.
Pentru x > 0, lu m u = arctg(x + 1), v = arctg x.
Evident, u; v 2 [0; 
2 ), deci tg(u  v) = (x + 1)  x
1 + (x + 1)x = tg
[
f
( 1
x
)]
. Cum 0 < u  v < 
2 ,
u  v = f
( 1
x
)
. Am obμinut astfel formula f
( 1
x
)
= arctg(x + 1)  arctg x, 8x > 0.
2p
Astfel, f
( 1
1
)
+ f
( 1
2
)
+    + f
( 1
n
)
= (arctg 2  arctg 1) + (arctg 3  arctg 2) +    +
+ (arctg(n + 1)  arctg n) = arctg(n + 1)  arctg 1 = arctg(n + 1)  
4 .
1p
Concluzie: lim
n!1
Å
f
( 1
1
)
+ f
( 1
2
)
+    + f
( 1
n
)ã
= lim
n!1
arctg(n + 1)  
4 = 
2  
4 = 
4 . 0.5p
2.a) I1 =
Z 1
0
x
x2 + 4x + 5 dx = 1
2
Z 1
0
2x + 4
x2 + 4x + 5 dx  2
Z 1
0
1
(x + 2)2 + 1 dx 3p
I1 = 1
2 ln 2  2(arctg(3)  arctg(2)): 2p
b) Se poate observa c In+2 + 4In+1 + 5In = 1
n + 1 ; 8n 2 N (). 2p
În plus, se poate ar ta c ³irul (In)n2N este unul descresc tor: In+1  In; 8n 2 N. 1p
Astfel din () vom avea 1
n + 1  10In, respectiv 1
n + 1  10In+2. 2p
c) Cum In+2  1
10(n + 1) ; 8n 2 N ) In  1
10(n  1) ; 8n  2: 2p
Pe de alt parte, In  1
10(n + 1) . A³adar avem 1
10(n + 1)  In  1
10(n  1) ; 8n  2: 2p
Înmulμind cu n ³i aplicând criteriul cle³telui, vom obμine lim
n!1
nIn = 1
10 = f(1): 1p
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2023Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2024Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2025Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2023 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.