Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Examen de admitere · Matematică · 2019

Facultatea de Informatică · UAIC

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 1 pagină

Subiect · pagina 1

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi Admitere - studii de licenţă
Facultatea de Informatică Sesiunea iulie 2019
Test la MATEMATICĂ
Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Să se determine x 2 R, ştiind că numerele x  1; 2x + 1; 5x  1 formează, în această ordine,
o progresie aritmetică.
5p 2. Să se arate că funcţia f : (2; 2) ! R; f(x) = ln 2  x
2 + x este funcţie impară.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia logx1(x2  x  4) = 2:
5p 4. Să se determine termenul care îl conţine pe 1
x din dezvoltarea

xpx + 4
4
px
200
; x 2 R
+:
5p 5. Se consideră punctele A(2; 3); B(3; 1) şi C(2; 1): Determinaţi coordonatele punctului D,
astfel încât A; B; C; D să fie, în această ordine, vârfurile unui paralelogram.
5p 6. Ştiind că tg 2 = p3; 2 R n f(2k + 1) j k 2 Zg; să se calculeze sin .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie x; y; z 2 R şi matricea M =
x x  y x  y
0 y y  z
0 0 z
!
.
5p a) Să se calculeze det M:
5p b) Să se arate că det(M ) = (det M )2, unde M  reprezintă adjuncta matricei M:
5p c) Să se calculeze M 2019.
2. Fie m 2 R şi P; Q 2 R[X], P = 3X3 + mX2  3X + 6; Q = X3 + 6X2  9X + 9m:
5p a) Să se afle partea întreagă a lui m, ştiind că polinoamele P şi Q au acelaşi rest la împărţirea
cu X + 2.
5p b) Pentru ce valori ale lui m 2 Q polinomul P  3Q are o singură rădăcină reală?
5p c) Să se găsească acele valori ale lui m 2 R cunoscând că rădăcinile x1; x2; x3 ale lui P şi
y1; y2; y3 ale lui Q sunt toate reale şi verifică relaţia:
(x1y1 + x2y2 + x3y3)2 = (x2
1 + x2
2 + x2
3)(y2
1 + y2
2 + y2
3 ):
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f : R n f1; 0g ! R, dată prin f(x) = 2x + 1
x2(x + 1)2 şi şirul (an)n2N ,
unde an = f(1) + f(2) + ::: + f(n); 8n 2 N:
5p a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f.
5p b) Arătaţi că an = n2 + 2n
(n + 1)2 ; 8n 2 N:
5p c) Să se calculeze lim
n!1(an)n2
.
2. Se consideră şirul (In)n2N; In =
Z 1
0
nx + 1
x2enx + enx dx.
5p a) Să se calculeze I0.
5p b) Arătaţi că In < In+1 < 
2 ; 8n 2 N.
5p c) Să se arate că şirul (In)n2N este convergent şi să i se afle limita.
Deschide documentul original
Barem · 3 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi Admitere - studii de licenţă
Facultatea de Informatică Sesiunea iulie 2019
Barem de corectare la MATEMATICĂ
- Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Pentru orice soluţie corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă un punctaj corespunzător.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.  x  1; 2x + 1; 5x  1 , 2x + 1 = 1
2 (x  1 + 5x  1) 3p
Concluzie: x = 2. 2p
2. 8x 2 (2; 2) ) x 2 (2; 2) 1p
f(x) = ln 2 + x
2  x =  ln 2  x
2 + x = f(x); 8x 2 (2; 2) 3p
Concluzie: f este impară 1p
3. x2  x  4 > 0; x  1 > 0; x  1 6 = 1 () 1.5p
() , x 2
 1+p17
2 ; +1

1.5p
logx1 (x2  x  4) = 2 , x2  x  4 = (x  1)2; x 2
 1+p17
2 ; +1

1p
Concluzie: x = 5. 1p
4. Tk+1 = Ck
200(xpx)k
 4
4px
200k
; 8k 2 N; k  200 1p
(xpx)k
 4
4px
200k
= 4200kx 7k
4 50 2p
7k
4  50 = 1 ) k = 28 1p
Concluzie: T29 = C28
2004172 1
x 1p
5. ABCD paralelogram , xA + xC = xB + xD ; yA + yC = yB + yD 2p
xD = xA + xC  xB = 7 1p
yD = yA + yC  yB = 1 1p
Concluzie: D(7; 1) 1p
6. sin = 2 tg 2
1 + tg2
2
3p
Concluzia: sin = p3
2 2p

Barem · pagina 2

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) det M = xyz () 5p
b) M M = (det M )  I3 2p
det M   det M = (det M )3 1p
x; y; z 2 R ()
=) det M 6 = 0 1p
Concluzie: det M  = (det M )2 1p
c) Intuirea formulei M n =
0
B
B
B
B
B
@
xn xn  yn xn  yn
0 yn yn  zn
0 0 zn
1
C
C
C
C
C
A
; n 2 N: 2p
Demonstrarea formulei 2p
Concluzia 1p
2.a) P (2) = Q(2) ) 4m  12 = 9m + 34 3p
m =  46
5 1p
Concluzia: [m] = 10 1p
b) P  3Q = (m  18)X2 + 24X + 6  27m
P (x0)  3Q(x0) = 0 ) (m  18)x2
0 + 24x0 + 6  27m = 0 1p
Cazul 1: grad(P  3Q) = 1 ) m = 18 2 Q 1p
Cazul 2: grad(P  3Q) = 2 (m 6 = 18)
P  3Q are o singură rădăcină reală ,   12(9m2  164m + 84) = 0 (#) 1p
(#) ) m1;2 = 824p373
9 =2 Q 1p
Concluzia: m = 18 1p
c) (x1y1 +x2y2 +x3y3)2 = (x2
1 +x2
2 +x2
3)(y2
1 +y2
2 +y2
3 ) ) 9t 2 R astfel încât yk = txk; k = 1; 2; 3: 2p
6 = y1 + y2 + y3 = t(x1 + x2 + x3) =  tm
3 ) mt = 18 (1) 0.5p
9 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = t2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = t2 ) t = 3 (2) 0.5p
9m = y1y2y3 = t3(x1x2x3) = 2t3 ) t3 = 9
2 m (3) 0.5p
(1) + (2) + (3) ) m = 6 0.5p
Concluzie: m = 6 (pentru m = 6, P şi Q nu au toate rădăcinile reale) 1p

Barem · pagina 3

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim
x!1f(x) = 1 ) x = 1 este asimptotă verticală 1p
lim
x!0
f(x) = +1 ) x = 0 este asimptotă verticală 1p
lim
x!1
f(x) = 0 ) y = 0 este asimptotă orizontală spre 1 2p
Nu există asimptote oblice spre 1 1p
b) f(x) = 1
x2  1
(x + 1)2 ; 8x 2 R n f1; 0g 2p
an =
n
X
k=1
 1
k2  1
(k + 1)2

= 1  1
(n + 1)2 = n2 + 2n
(n + 1)2 ; 8n 2 N 3p
c) lim
n!1
an = 1 1p
Remarcarea cazului de nedeterminare 11 1p
lim
n!1
(an)n2
= e lim
n!1
n2
(n+1)2
2p
Concluzie: lim
n!1(an)n2
= e1 1p
2.a) I0 =
Z 1
0
1
x2 + 1 dx 1p
Z 1
0
1
x2 + 1 dx = arctg x 1
0 2p
Concluzie: I0 = 
4 2p
b) In =
Z 1
0
enx(nx + 1)
x2e2nx + 1 dx; 8n 2 N 1p
enx(nx + 1) = (xenx)0; 8n 2 N; x 2 [0; 1] 1p
In =
Z 1
0
(xenx)0
(xenx)2 + 1 dx = arctg(xenx) 1
0 = arctg(en) < 
2 ; 8n 2 N 2p
arctg(ex) este o funcţie strict crescătoare pentru x 2 R ) In < In+1; 8n 2 N 1p
c) Din b) rezultă că (In)n2N este monoton şi mărginit, deci convergent 2p
lim
n!1
In = lim
n!1
arctg(en) = 
2 3p
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2019Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.