Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Examen de admitere · Matematică · 2019

Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică · UCV

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 1 pagină

Subiect · pagina 1

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2019
Domeniul Calculatoare ¸si Tehnologia Informat¸iei
Proba scris˘a la matematic˘a
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculat¸i modulul num˘arului complex z = [(√7 − 1) + i (√7 + 1)]2019.
5p 2. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia lg2 x + lg(x3) + 2 = 0.
5p 3. Determinat¸i x din egalitatea 4 + 7 + 10 + 13 + · · · + x = 714.
5p 4. Calculat¸i suma C0
n + 3C1
n + 9C2
n + 27C3
n + · · · + 3nCn
n , n ∈ N.
5p 5. ˆIn raport cu reperul cartezian ortonormat xOy din plan, se consider˘a punctele A(1, 3),
B(−1, 1). Scriet¸i ecuat¸ia mediatoarei segmentului [AB].
5p 6. Dac˘a ˆın triunghiul ABC se cunosc lungimile laturilor BC = 4, AB = 5, AC = 3,
atunci calculat¸i cos A.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie α ∈ R, matricea A =


2 0 1
0 3 1
−1 α 1

 ¸si punctele M (2, 0), N (0, 3), P (−1, α).
5p a) Pentru α = 2, ar˘atat¸i c˘a A este inversabil˘a.
5p b) Aflat¸i α astfel ˆıncˆat punctele M, N, P s˘a fie coliniare.
5p c) Pentru α = 0, rezolvat¸i ecuat¸ia AX =


−1
3
−4

.
2. Fie polinomul f = X4 − X3 + X2 − X + 1 cu r˘ad˘acinile x1, x2, x3, x4.
5p a) Calculat¸i suma S = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4.
5p b) Determinat¸i cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la polinomul g = X2 − X.
5p c) Ar˘atat¸i c˘a polinomul f are cel mult dou˘a r˘ad˘acini reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = (x2 + 1) e−x2
, x ∈ R.
5p a) Calculat¸i f ′(x), x ∈ R.
5p b) Determinat¸i intervalele de monotonie ¸si punctele de extrem pentru funct¸ia f .
5p c) Ar˘atat¸i c˘a 0 <
1∫
0
e−x2
dx ≤ π
4 .
2. Fie a > 0 ¸si funct¸iile f, g : R → R, f (x) = x3 − x2 + ax − a, g(x) = (x − 1)2.
5p a) Aflat¸i a astfel ˆıncˆat F : R → R, F (x) = x4
4 − x3
3 + x2 − 2x + 2 s˘a fie o primitiv˘a a lui
f .
5p b) Calculat¸i
∫ 3
2
dx
g(x) .
5p c) Fie funct¸ia h : (2, ∞) → R, h(x) =
∫ x
e
f (t)
g(t) dt. Ar˘atat¸i c˘a h este strict cresc˘atoare,
oricare ar fi a > 0.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
Deschide documentul original
Barem · 2 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2019
Domeniul Calculatoare ¸si Tehnologia Informat¸iei
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
• Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
• Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
• Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. |z| = ∣
∣(√7 − 1) + i (√7 + 1)∣
∣2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
∣
∣(√7 − 1) + i (√7 + 1)∣
∣ =
√(√7 − 1)2 + (√7 + 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
|z| = 42019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
2. Condit¸ie de existent¸˘a: x > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Substitut¸ia lg x = t conduce la ecuat¸ia t2 + 3t + 2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Solut¸iile ecuat¸iei t2 + 3t + 2 = 0 sunt t1 = −2 ¸si t2 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Solut¸iile ecuat¸iei init¸iale sunt x1 = 10−2 ¸si x2 = 10−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
3. Progresia aritmetic˘a are primul termen a1 = 4 ¸si rat¸ia r = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Suma primilor n termeni este Sn = (a1 + an) · n
2 = (5 + 3n) · n
2 = 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
n = 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
x = a21 = 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
4. Suma este (1 + 3)n = 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. Mijlocul segmentului [AB] este M (0, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Panta dreptei AB este 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Panta mediatoarei segmentului este −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p
Ecuat¸ia mediatoarei segmentului [AB] este y = −x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
6. cos A = 3
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.
a) Pentru α = 2, determinantul matricei A este 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
det A 6 = 0 implic˘a A este matrice inversabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
b) Punctele M , N , P sunt coliniare dac˘a ¸si numai dac˘a det A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
α = 9
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
c) Pentru α = 0, solut¸ia este X =


1
2
−3

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
1

Barem · pagina 2

2.
a) S1 = x1 + x2 + x3 + x4 = 1, S2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 1 . . . . . . . . . 2p
S = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 = S2
1 − 2S2 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
b) Cˆatul este q = X2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Restul este r = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
c) S = −1 < 0 implic˘a faptul c˘a nu toate r˘ad˘acinile lui f sunt numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
a) f ′ (x) = −2x3e−x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) f este cresc˘atoare pe (−∞, 0] ¸si descresc˘atoare pe [0, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
x = 0 este singurul punct de extrem cu valoarea maxim˘a f (0) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
c) e−x2
> 0, ∀x ∈ R implic˘a
1∫
0
e−x2
dx ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Din continuitatea funct¸iei e−x2
rezult˘a
1∫
0
e−x2
dx > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R implic˘a e−x2
≤ 1
x2 + 1 , ∀x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
1∫
0
e−x2
dx ≤
1∫
0
1
x2 + 1 dx ≤ π
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
2.
a) a = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b)
3∫
2
1
g(x) dx =
3∫
2
(x − 1)′
(x − 1)2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
3∫
2
1
g(x) dx = − 1
x − 1
∣
∣
∣
∣
3
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
3∫
2
dx
g(x) = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
c) h′(x) = x2 + a
x − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
ˆIntrucˆat oricare ar fi a > 0, h′(x) > 0 pentru orice x > 2, rezult˘a concluzia . . . . . . . . . . . . . 2p
2
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2018Matematică · Subiect și barem în același documentDeschide fișa Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2016Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Model de pregătire · 2016Informatică · Modelul 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.