Subiect · pagina 1
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
1
EXERCIȚII DE ANTRENAMENT
EVALUARE NAȚIONALĂ 2025
Matematică
SUGESTII DE REZOLVARE
Notă: Materialul conține câteva probleme cu nivel ridicat de dificultate, deci se adresează în special elevilor care vor să obțină
notă maximă, dar poate fi analizat de toți absolvenții de clasa a VIII-a. MULT SUCCES !!!
Subiectul al III-lea, exercițiul 1.
1.Pe două tăvi sunt așezate 100 de brioșe. După ce de pe prima tavă se iau 17 brioșe și de pe cea
de a doua tavă se iau 23 de brioșe, pe prima tavă rămân de trei ori mai multe brioșe decât pe cea
de a doua tavă.
a) Este posibil ca cele două tăvi să aibă număr egal de brioșe? Justificați răspunsul dat.
Soluție: Dacă în cele două tăvi ar fi un număr egal de brioșe, atunci fiecare tavă ar
conține 100 ∶ 2 = 50 brioșe.
50 − 17 = 33 (brioșe rămase în prima tavă)
50 − 23 = 27 (brioșe rămase în a doua tavă).
Acum avem informația că pe prima tavă rămân de trei ori mai multe brioșe decât pe tava
a doua, deci ar trebui ca 33 = 3 ∙ 27 (FALS). Așadar, nu este posibil ca cele două tăvi să
aibă număr egal de brioșe
b) Determinați numărul de brioșe aflate inițial pe prima tavă.
Soluție:
1. Metodă aritmetică !!!
100 − 17 − 23 = 60 (din numărul total de brioșe din cele două tăvi se iau 17 brioșe și alte 23
brioșe), avem acum informația că în cele două tăvi au rămas 60 brioșe.
/---/---/---/ (prima tavă)
/---/ (a doua tavă).
60: 4 = 15 (un segment), deci pe tava a doua au rămas 15 brioșe.
15 ∙ 3 = 45 (trei segmente), sunt astfel 45 brioșe rămase pe tava a doua.
Numărul de brioșe aflate inițial pe prima tavă este 45+17 = 62.
Subiect · pagina 2
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
2
2. Metodă algebrică !!!
Fie 𝑎 = număr brioșe de pe prima tavă și b= număr brioșe de pe a doua tavă.
Avem 𝑎 + 𝑏 = 100 .
Iau 17 brioșe de pe prima tavă, rămân deci 𝑎 − 17 brioșe.
Iau 23 brioșe de pe a doua tavă, rămân deci b−23 brioșe.
Știm acum că pe prima tavă sunt de trei ori mai multe brioșe decât pe a doua tavă, deci
𝑎 − 17 = 3 ∙ (𝑏 − 23).
Obținem în final sistemul de ecuații { 𝑎 + 𝑏 = 100
𝑎 − 17 = 3 ∙ (𝑏 − 23) cu soluția unică 𝑎 = 62
și 𝑏 = 38.
2.Pe două rafturi se află cărți. Pe primul raft sunt de 4 ori mai multe cărți decât pe al doilea raft.
Dacă s-ar lua 14 cărți de pe primul raft și s-ar așeza pe al doilea raft, atunci numărul cărților de
pe al doilea raft ar fi egal cu două treimi din numărul cărților rămase pe primul raft.
a) Este posibil să fie 8 cărți pe al doilea raft? Justificați răspunsul dat.
Soluție: Dacă ar fi 8 cărți pe al doilea raft, pe primul raft ar fi 4 ∙ 8 = 32 cărți.
32 − 14 = 18 (cărți rămase pe primul raft)
8 + 14 = 22 (cărți obținute pe al doilea raft) și 22 ≠ 2
3 ∙ 18, deci NU este posibil ca pe al doilea
raft să fie 8 cărți.
b) Determinați numărul de cărți de pe primul raft.
Aritmetic:
/-- /-- /-- /-- /.............................cărțile de pe primul raft.
/-- /...........................................cărțile de pe al doilea raft
Se observă foarte ușor, din textul problemei, că trebuie să ajungem la următoarea reprezentare:
/-- /-- /-- /
/-- /-- /, deci cele 14 cărți mutate de pe raftul 1 pe raftul al doilea reprezintă de fapt un segment.
Așadar, pe raftul 1 sunt 14 ∙ 4 = 56 cărți și pe raftul 2 sunt 14 cărți.Subiect · pagina 3
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
3
Algebric:
Fie ,,a,, număr cărți de pe raftul 1 și ,,b,, număr cărți de pe raftul al doilea.
𝑎 = 4𝑏 și 𝑏 + 14 = 2
3 ∙ (𝑎 − 14), de unde se obține ușor că 𝑎 = 56 și 𝑏 = 14.
RECOMANDARE!!!
Scriu întâi numărul de cărți obținut după transfer de pe fiecare raft, apoi scriu ecuația (textul
problemei NU este unul tocmai simplu).
Subiectul al III-lea, exercițiul 2.
1.Se consideră expresia 𝐸(𝑥) = 𝑥+2
𝑥−2 + (1 + 3
𝑥−2) ∙ 𝑥−2
𝑥+1, unde 𝑥 este număr real, 𝑥 ≠ −1 și 𝑥 ≠ 2.
(2p) a) Arată că 𝐸(𝑥) = 2𝑥
𝑥−2 , pentru orice număr real 𝑥, 𝑥 ≠ −1 și 𝑥 ≠ 2.
Soluție:
-calculul sumei din paranteză mă conduce la 𝑥−2
𝑥−2 + 3
𝑥−2 = 𝑥+1
𝑥−2 .
- calculez produsul și obțin 1.
-finalizare
(3p) b) Determinați numerele naturale 𝑛 pentru care numărul 𝐸(𝑛) este număr natural.
Metoda 1. (scoaterea întregilor din fracție)
2𝑛
𝑛−2 = 2(𝑛−2)+4
𝑛−2 = 2(𝑛−2)
𝑛−2 + 4
𝑛−2 = 2 + 4
𝑛−2 (până aici totul simplu și frumos).
Acum sunt mari șanse SĂ GREȘIM!
-trebuie să ținem cont că 2 + 4
𝑛−2 ∈ ℕ <=> 𝑛 − 2 ∈ 𝐷4 și 4
𝑛−2 ≥ −2 (din cauză că avem 2
întregi), deci 𝑛 − 2 ∈ {−2, −1, 1, 2, 4}, de unde 𝑛 ∈ {0, 1, 3, 5}.
Obs: am fi pierdut soluția 𝑛 = 0, dacă n-am fi gândit riguros și n-am fi luat în calcul ce am scris
cu albastru.
Metoda 2. (proprietățile divizibilității)
2𝑛
𝑛−2 ∈ ℕ <=> 𝑛 − 2/2𝑛 (1)
Dar 𝑛 − 2/2(𝑛 − 2), adică 𝑛 − 2/ 2𝑛 − 4 (2)
(1) - (2) conduce la 𝑛 − 2/4, adică 𝑛 − 2 ∈ 𝐷4 și se continuă ca mai sus, cu aceeași observație
datorită numărului de întregi.Subiect · pagina 4
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
4
2. Se consideră expresia 𝐸(𝑥) = (1 + 3
𝑥2−4𝑥) : 𝑥2(𝑥−1)(𝑥−3)
𝑥(𝑥−4) , unde 𝑥 este număr real, 𝑥 ≠ 0 și
𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ 4.
(2p) a) Arată că 𝐸(𝑥) = 1
𝑥2 , pentru orice număr real 𝑥, 𝑥 ≠ 0 și 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ 4.
Soluție:
-calculul din paranteză mă conduce la 𝑥2−4𝑥+3
𝑥2−4𝑥 = (𝑥−1)(𝑥−3)
𝑥(𝑥−4) .
-efectuând împărțirea celor două rapoarte, se obține exact ce trebuie.
(3p) b) Arătați că 𝐸(2023) + 𝐸(2024) + 𝐸(2025) < 1
674∙2025.
Soluție:
𝐸(2023) + 𝐸(2024) + 𝐸(2025) = 1
20232 + 1
20242 + 1
20252
-se observă că prin calcul direct NU este deloc ce trebuie. Deci NU încercăm degeaba.
Folosim tehnica (puțin mai ,,facultativă,, ce e drept) de la clasa a V-a:
1
𝐾2 = 1
𝐾∙𝐾 < 1
(𝐾−1)∙𝐾 , pentru oricare k număr natural mai mare sau egal cu 2.
Așadar,
1
20232 = 1
2023∙2023 < 1
2022∙2023 (1)
(inegalitatea este evidentă dacă ne gândim la compararea fracțiilor ordinare care au același
numărător)
1
20242 = 1
2024∙2024 < 1
2023∙2024 (2)
1
20252 = 1
2025∙2025 < 1
2024∙2025 (3).
Din (1) + (2) + (3) obținem 1
20232 + 1
20242 + 1
20252 < 1
2022∙2023 + 1
2023∙2024 + 1
2024∙2025.
Calculăm acum 1
2022∙2023 + 1
2023∙2024 + 1
2024∙2025 = 1
2022 − 1
2023 + 1
2023 − 1
2024 + 1
2024 − 1
2025 =
= 1
2022 − 1
2025 = 3
2022∙2025 = 1
674∙2025 , deci se confirmă inegalitatea din enunț.
Subiect · pagina 5
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
5
Subiectul al III-lea, exercițiile 4 și 5.
1.Se consideră paralelogramul 𝐴𝐵𝐶𝐷 cu 𝐴𝐷 ⊥ 𝐷𝐵 , 𝐴𝐵 = 2𝐵𝐶 și punctele 𝑀 și 𝑁, mijloacele laturilor
𝐴𝐵, respectiv 𝐶𝐷.
a) Arătați că perimetrul paralelogramului 𝐴𝐵𝐶𝐷 este de două ori mai mare decât perimetrul
triunghiului 𝐴𝑀𝐷.
b) Demonstrați că triunghiul 𝑀𝐵𝑁 este echilateral.
Soluție:
a) ∆𝐴𝐷𝐵 dreptunghic în D
𝐷𝑀 mediană corespunzătoare ipotenuzei, deci obținem 𝐷𝑀 = 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 = 𝑥, 𝑥 > 0.
Dar 𝐴𝐵 = 2𝐵𝐶
𝐵𝐶 = 𝐴𝐷(opuse în paralelogram), deci 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 = 𝐷𝑀 = 𝑥.
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 = 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 6𝑥
𝑃𝐴𝑀𝐷 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 3𝑥, deci 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ∙ 𝑃𝐴𝑀𝐷 .
Observație: se poate aplica și reciproca teoremei unghiului de 30 grade în triunghiul ADB
și se dovedește că triunghiul ADM este echilateral.
b) Din notațiile de mai sus și ținând cont de poziția punctelor M și N pe laturile AB și CD,
se obține că MBCN este paralelogram (chiar romb), pentru că 𝐶𝑁 = 𝑀𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑥 și
𝑁𝐶 ∥ 𝐵𝑀 .
Folosind acum observația de mai sus, avem că unghiul BCN are măsura de 60 grade, deci
triunghiul BCN este echilateral (isoscel cu măsura unui unghi de 60 grade).
Subiect · pagina 6
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
6
2.Se consideră triunghiul 𝐴𝐵𝐶, dreptunghic în 𝐴, punctele 𝑀 și 𝑁 situate în semiplanul determinat de
dreapta 𝐵𝐶 și punctul 𝐴, astfel încât 𝑀𝐵 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑀𝐵 = 𝐴𝐵 și 𝑁𝐶 ⊥ 𝐴𝐶, 𝑁𝐶 = 𝐴𝐶.
a) Arătați că punctele 𝑀, 𝐴 și 𝑁 sunt coliniare.
Soluție:
Soluție:
b) Demonstrați că 𝑀𝑁 = √2 (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶).
Subiect · pagina 7
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
7
3.Se consideră dreptunghiul 𝐴𝐵𝐶𝐷, cu 𝐴𝐵 = 5√3 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 5 𝑐𝑚 și punctul 𝑂, intersecția diagonalelor
𝐴𝐶 și 𝐵𝐷. Perpendiculara în 𝑂 pe dreapta 𝐵𝐷 intersectează dreptele 𝐴𝐵 și 𝐴𝐷 în punctele 𝐸, respectiv 𝐹.
a) Arătați că aria patrulaterului 𝐴𝐹𝐵𝐶 este egală cu 25√3 𝑐𝑚2.
Soluție:
b) Determinați măsura unghiului format de dreptele 𝐴𝐶 și 𝐷𝐸.
Subiect · pagina 8
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
8
4.Se consideră trapezul 𝐴𝐵𝐶𝐷 cu 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷, 𝐴𝐵 > 𝐶𝐷 și punctul 𝑀 aparținând laturii 𝐴𝐵 astfel încât
∆𝐴𝑀𝐶 ≡ ∆𝐷𝑀𝐵.
a) Arătați că punctul 𝑀 este mijlocul laturii 𝐴𝐵.
Soluție:
b) Demonstrați că 𝐶𝑁
𝑀𝑁 = 𝑂𝐷
𝑀𝐷, unde 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂} și 𝐴𝐷 ∩ 𝐵𝐶 = {𝑁} .Subiect · pagina 9
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
9
5.Se consideră triunghiul ascuțitunghic 𝐴𝐵𝐶 în care 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 și unghiul 𝐴 are măsura de 60°. Înălțimile
𝐵𝐸, cu 𝐸 ∈ 𝐴𝐶 și 𝐶𝐹, cu 𝐹 ∈ 𝐴𝐵, ale triunghiului 𝐴𝐵𝐶 se intersectează în punctul 𝐻. Mediatoarea
segmentului 𝐵𝐻 intersectează latura 𝐴𝐵 în punctul 𝑃 și mediatoarea segmentului 𝐶𝐻 intersectează latura
𝐴𝐶 în punctul 𝑄.
a) Arătați că 𝐴𝐸
𝐴𝐵 = 𝐴𝐹
𝐴𝐶 = 1
2 .
Soluție:
b) Demonstrați că 𝐵𝑃 + 𝐶𝑄 = 𝑃𝑄.
Subiect · pagina 10
Iunie, 2025 – prof. GHIULER MĂDĂLIN
10
6.Se consideră trapezul 𝐴𝐵𝐶𝐷 cu 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷, 𝐴𝐵 = 12 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 4 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂}, punctul
𝐸 ∈ 𝐴𝐷 astfel încât 𝑂𝐸 ∥ 𝐴𝐵 și se notează cu 𝐹 intersecția dreptelor 𝐵𝐸 și 𝐷𝐶.
a) Arătați că 𝑂𝐸 = 3 𝑐𝑚.
Soluție:
b) Demonstrați că 𝐷𝐶 = 𝐷𝐹 .
MULT SUCCES TUTUROR PARTICIPANȚILOR!!!Deschide documentul original
