Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Sursa: Facultatea de Informatică UVT – arhiva admiterii

Subiect + barem — acces direct

Subiectul și răspunsurile sunt în același PDF. Afișăm documentul complet, cu toate paginile.

Examen de admitere · Matematică · 2019

Facultatea de Informatică · UVT

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect și barem · 2 pagini

Subiect și barem · pagina 1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS¸OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC˘A S¸I INFORMATIC˘A
Concurs de admitere la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Sesiunea Iulie 2019
Solut¸ii ¸si barem de corectare la Matematic˘a
Subiectul 1 ˆIn mult¸imea M2(R) se consider˘a matricele A(x) =
( 1 + 5x −2x
10x −4x + 1
)
, unde x ∈ R.
i) S˘a se calculeze
(
A(1) − I2
)3
.
ii) S˘a se verifice c˘a A(x)A(y) = A(x + y + xy), pentru orice x, y ∈ R.
iii) S˘a se calculeze produsul A(1) · A(2) · . . . · A(2019).
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Se obt¸ine
(
A(1) − I2
)2
=
(
A(1) − I2
)3
= A(1) − I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
ii) Notˆand B = A(1) − I2 avem c˘a A(x) = I2 + xB, cu B2 = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
A(x)A(y) = (I2 + xB)(I2 + yB) = I2 + xB + yB + xyB2 = I2 + (x + y + xy)B = A(x + y + xy) . . (2p)
iii) Conform punctului anterior A(x)A(y) = A((x + 1)(y + 1) − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Inductiv A(x1)A(x2) . . . A(xn) = A((x1 +1)(x2 +2) . . . (xn +1)−1), pentru orice n ∈ N∗ ¸si x1, x2, . . . , xn ∈
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
ˆIn particular A(1)A(2) . . . A(2019) = A(2020! − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Subiectul 2 Se consider˘a polinomul f ∈ R[X], f = X3 −pX2 +(p+1)X +1, cu r˘ad˘acinile x1, x2, x3 ∈ C.
i) Determinat¸i p ∈ R pentru care x1 + x2 + x3 = 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
.
ii) S˘a se arate c˘a, pentru orice p ∈ R, polinomul f nu este divizibil cu X2 − 1.
iii) Dac˘a p = 1 calculat¸i x2
1 + x2
2 + x2
3 ¸si ar˘atat¸i c˘a f are o singur˘a r˘ad˘acin˘a real˘a.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Conform relat¸iilor lui Vi´ete x1 + x2 + x3 = p, x1x2 + x1x3 + x2x3 = p + 1, iar x1x2x3 = −1 . . . . (1p)
Deoarece 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
= x1x2 + x1x3 + x2x3
x1x2x3
= −p − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
se obt¸ine c˘a egalitatea este adev˘arat˘a dac˘a ¸si numai dac˘a p = −p − 1, sau echivalent, p = − 1
2 . . . . . (1p)
ii) Deoarece r˘ad˘acinile polinomului X2 − 1 sunt 1 ¸si −1, rezult˘a c˘a X2 − 1
∣
∣
∣f dac˘a ¸si numai dac˘a
f (1) = f (−1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Dar f (1) = 3 6 = 0 ¸si deci X2 − 1 nu divide polinomul f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
iii) x2
1 + x2
2 + x2
3 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = −3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Cum grad f = 3 (impar) rezult˘a c˘a cel put¸in o r˘ad˘acin˘a este real˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Presupunˆand, prin reducere la absurd, c˘a toate r˘ad˘acinile lui f sunt reale ar trebui s˘a avem x2
1 +x2
2 +x2
3 ≥ 0
ceea ce contrazice calculul de mai sus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Dac˘a x1 ∈ C \ R este o r˘ad˘acin˘a complex˘a dar nereal˘a, cum f ∈ R[X], avem c˘a x2 := x1 ∈ C \ R este de
asemenea r˘ad˘acin˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)

Subiect și barem · pagina 2

Subiectul 3 Se consider˘a funct¸ia f : (−∞, −3) ∪ (0, ∞) → R, f (x) = ln
(
1 + 3
x
)
.
i) S˘a se arate c˘a funct¸ia f este concav˘a pe (−∞, −3).
ii) S˘a se determine limita ¸sirului (an)n≥1, unde
an = n
(
f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (n) − ln n(n + 1)(n + 2)
6
)
, n ≥ 1.
iii) S˘a se arate c˘a exist˘a c ∈ (2, 3) astfel ˆıncˆat (c − 2)f ′(c) + f (c) = ln 2.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Avem f ′(x) = 1
x + 3 − 1
x , iar f ′′(x) = 1
x2 − 1
(x + 3)2 = 6x + 9
x2(x + 3)2 , x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, ∞) . . . . . (1p)
Deoarece 6x + 9 < 0 pentru orice x ∈ (−∞, −3), rezult˘a c˘a f ′′(x) < 0, pentru orice x < −3, ceea ce arat˘a
c˘a funct¸ia f este concav˘a pe intervalul (−∞, −3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1p)
ii) Avem f (1) + f (2) + . . . + f (n) = n+3∑
k=4
ln k − n∑
k=1
ln k = ln (n + 1)(n + 2)(n + 3)
6 , pentru orice n ≥ 1 (1p)
Rezult˘a c˘a an = n ln n + 3
n , n ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
lim
n→∞ an = lim
n→∞ 3 ln
(
1 + 3
n
) n
3
= 3 ln e = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
iii) Funct¸ia g : [2, 3] → R, g(x) = (x − 2)f (x) este continu˘a pe [2, 3] ¸si derivabil˘a pe (2, 3) cu
f ′(x) = (x − 2)f ′(x) + f (x), x ∈ (2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
Conform Teoremei lui Lagrange, exist˘a c ∈ (2, 3) astfel ˆıncˆat g(3) − g(2) = (3 − 2)g′(c), ceea ce este
echivalent cu ln 2 = (c − 2)f ′(c) + f (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Subiectul 4 Se consider˘a funct¸iile f, g : [1, ∞) → R, f (x) = ln x + 1
x , g(x) = (x + 1) ln x − x + 1.
i) S˘a se arate c˘a funct¸ia g este o primitiv˘a a funct¸iei f .
ii) Calculat¸i aria suprafet¸ei cuprinse ˆıntre graficul funct¸iei f axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ie x = 1 ¸si
x = e.
iii) Calculat¸i
2∫
1
f (x)g(x)dx.
Barem: Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1p)
i) Calculeaz˘a g′ ¸si observ˘a c˘a g′ = f pe [1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
ii) Cum f (x) ≥ 0, x ≥ 1, rezult˘a c˘a A =
e∫
1
|f (x)| dx =
e∫
1
f (x) dx = g(e) − g(1) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . (3p)
iii) Avem c˘a f (x)g(x) =
( 1
2 g2
)′
(x), x ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Cu formula Leibnitz-Newton se obt¸ine c˘a
2∫
1
f (x)g(x)dx = 1
2 g2(x)
∣
∣
∣2
1
= (3 ln 2 − 1)2
2 . . . . . . . . . . . . . . . (2p)
Not˘a: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2019Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa Examen de admitere · 2019Informatică · Sesiunea iulie; subiect oficialDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Informatică · Clasele a XI-a și a XII-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XI-aDeschide fișa Concurs de pregătire · 2018Matematică · Clasa a XII-aDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2019 pentru Matematică, la Facultatea de Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.