Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Model de pregătire · Matematică · 2025

Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 5 pagini

Subiect · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere sesiunea iulie 2025
Domeniile: Calculatoare ¸si tehnologia informat¸iei
Ingineria sistemelor (Automatic˘a ¸si informatic˘a aplicat˘a)
Model 12 de subiect pentru testul gril˘a de Matematic˘a
1. Se consider˘a ecuat¸ia ax2 + bx + c = 0 unde a, b, c sunt numere ˆıntregi impare. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii
este adev˘arat˘a?
A) Ecuat¸ia are o r˘ad˘acin˘a par˘a.
B) Ecuat¸ia are dou˘a r˘ad˘acini pare.
C) Ecuat¸ia are o r˘ad˘acin˘a impar˘a.
D) Ecuat¸ia nu are r˘ad˘acini ˆıntregi.
2. Num˘arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat¸iei
log2
2 x4 + 2 log4 x2 = 18
este
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3. S˘a se determine al patrulea termen din dezvoltarea binomului
√x + 1
3
√x
n
, ˆın ipoteza c˘a 22n − 2n − 240 = 0, n ∈ N.
A) 4
√x
B) 4√x
C) 6 3
√x
D) 6
3
√x
4. Fie (xn)n≥1 un ¸sir de numere reale pentru care exist˘a a, b ∈ R∗ cu proprietatea c˘a x1+x2+. . .+xn = an2+bn, ∀n ≥ 1.
Atunci ¸sirul este
A) progresie aritmetic˘a
B) ¸sir m˘arginit
C) progresie geometric˘a
D) ¸sir constant
5. Consider˘am pe mult¸imea numerelor complexe ecuat¸ia |z|2 + z = 3 + 4i. Num˘arul de solut¸ii ale ecuat¸iei este egal cu:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
6. Dac˘a a < b < c ¸si D =
1 1 1
a + 2 b + 2 c + 2
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
atunci:
1

Subiect · pagina 2

A) D = 0
B) D < 0
C) D > 0
D) D = −a2 − b2 − c2
7. Fie a ∈ (0, 1) ¸si A =

0 1 0
0 0 1
a 0 0

. Atunci lim
n→∞
A3 + A6 + . . . + A3n este:
A) a
1 − a I3
B) a
1 − a A
C) I3
D) a
1 + a I3
8. Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii liniare 


x + 2y + z = 1
x − 2y + z = 1
mx − y + 7z = n
.
Valoarea parametrului n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat este:
A) 1
B) 4
C) −1
D) 3
9. Toate valorile parametrului a ∈ R pentru care matricea

 a − 1 1 a a − 2
1 2a −1 a + 3
−a + 3 4a − 1 −a − 2 a + 8

 are rang maxim
sunt:
A) a = 0
B) a ≥ 0
C) a ∈ R∗
D) a ∈ R
10. Pe intervalul [−1, 1] se define¸ste legea de compozit¸ie x ∗ y = 3xy − x − y − 1
xy + x + y − 3 . Num˘arul elementelor simetrizabile
este:
A) infinit
B) 0
C) 2
D) 1
11. Mult¸imea valorilor parametrului real m pentru care ecuat¸ia
x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = m
are toate r˘ad˘acinile reale este:
A)

−1, 9
16

B)

−1, 9
16

C)

−1, 9
16

2

Subiect · pagina 3

D)

−1, 9
16

12. Consider˘am ¸sirul (xn)n≥1 unde xn =
n
√2 + n
√3 + n
√5
3
!n
pentru orice n ∈ N. Atunci lim
n→∞ xn este:
A) 3
√30
B) ln 3
√30
C) e
D) 1
13. Se consider˘a ¸sirurile (xn)n∈N∗ ¸si (bn)n∈N∗ definite prin
xn+1 = a 1
(n+1)! · x 1
n+1
n , x1 = 1, bn =
nY
k=1
xk, a ∈ (0, +∞) fixat.
Atunci lim
n→∞ bn este:
A) 0
B) 1
C) a
D) +∞
14. Fie x1m cea mai mic˘a r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei
x2 − 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0.
Atunci lim
m→∞ x1m este
A) 0
B) 1
C) 2
3
D) 3
2
15. Fie a, b ∈ R ¸si f : R → R funct¸ia definit˘a prin
f (x) =
 aex + b + e−x, dac˘a x ≤ 0
x2, dac˘a x > 0
¸si fie x0 = 0. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a?
A) Exist˘a o infinitate de perechi (a, b) pentru care f este continu˘a ˆın punctul x0.
B) f este derivabil˘a ˆın punctul x0 ⇔ (a = 1 ¸si b = −2).
C) f este continu˘a ˆın punctul x0 ⇔ a + b = −3.
D) f este derivabil˘a ˆın punctul x0 ⇔ (a = −2 ¸si b = 1).
16. Fie funct¸ia f : R → R o funct¸ie derivabil˘a ¸si lim
x→∞ xn · f (x) = l, l finit˘a ¸si n ∈ N fixat. Dac˘a limita lim
x→∞ xn+1f ′(x)
exist˘a, atunci valoarea ei este:
A) −nl
B) nl
C) 0
D) ∞
17. Fie F : R∗ → R astfel ˆıncˆat F ′(x) = 1
x , pentru orice x ∈ R∗ cu F (−1) = 1 ¸si F (1) = 0. Atunci F (e) + F (−e) este:
3

Subiect · pagina 4

A) 1
B) 0
C) 3
D) 2
18. Fie L = lim
a→∞
Z a
0
xe−x dx. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a.
A) L = ∞.
B) L = 1.
C) L = e.
D) L nu exist˘a.
19. Valoarea integralei
Z 1
−1
x arctg x
1 + ex dx este:
A) π
2 − 1
B) π
2 + 1
C) π
4 − 1
2
D) π
4 + 1
2
20. Fie vectorii⃗a =⃗ i +⃗ j,⃗ b =⃗ i −⃗ j ¸si⃗u = 6⃗i + 2⃗ j. S˘a se determine p, q ∈ R astfel ˆıncˆat⃗u = p⃗a + q⃗b.
A) p = −3, q = −2;
B) p = 0, q = 0;
C) p = 4, q = 2;
D) p = 7, q = 1
21. Fie punctele A(1, 1), B(2, −3), C(6, 0). Coordonatele punctului D astfel ˆıncˆat ABCD este paralelogram sunt
A) (−4, 5)
B) (4, 5)
C) (−5, −4)
D) (5, 4)
22. Distant¸a minim˘a de la punctul M de pa parabola x2 = 64y la dreapta 3x + 4y + 37 = 0 este:
A) 1
5
B) 1
2
C) 1
3
D) 1
4
23. Dac˘a tg α = 1, atunci valoarea expresiei E = cos α − sin α este:
A)
√3 − √2
2 ;
B)
√3
3 ;
C) 0 ;
D) 1
4

Subiect · pagina 5

24. Fie f : R → R∗ o funct¸ie care admite primitive ¸si verific˘a relat¸iile cos f (x) = 1, ∀x ∈ R ¸si |f (π) − π| ≤ π. Atunci
f (π) este:
A) 0
B) π
C) 2π
D) 4π
25. Fie a ¸si b dou˘a numere reale astfel ˆıncˆat sin a + sin b = 1 ¸si cos a + cos b = 1
2 . S˘a se calculeze cos(a − b).
A) − 3
8
B) 1
C) 3
8
D) 3
16
5
Deschide documentul original
Barem · 10 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere sesiunea iulie 2025
Domeniile: Calculatoare ¸si tehnologia informat¸iei
Ingineria sistemelor (Automatic˘a ¸si informatic˘a aplicat˘a)
Model 12 de subiect pentru testul gril˘a de Matematic˘a
1. Se consider˘a ecuat¸ia ax2 + bx + c = 0 unde a, b, c sunt numere ˆıntregi impare. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii
este adev˘arat˘a?
A) Ecuat¸ia are o r˘ad˘acin˘a par˘a.
B) Ecuat¸ia are dou˘a r˘ad˘acini pare.
C) Ecuat¸ia are o r˘ad˘acin˘a impar˘a.
D) Ecuat¸ia nu are r˘ad˘acini ˆıntregi.
Solut¸ie: 1 Vom analize situat¸iile ˆın care r˘ad˘acinile sunt numere pare, respectiv impare:
• Dac˘a consider˘am x = p, p ∈ Z num˘ar par atunci P (p) = ap2 + bp + c este un num˘ar impar deci ecuat¸ia nu
are r˘ad˘acin˘a ˆıntreag˘a num˘ar par.
• Dac˘a consider˘am x = m r˘ad˘acin˘a cu m impar atunci P (m) = am2 + bm + c este tot un num˘ar impar. Deci
ecuat¸ia nu are r˘ad˘acin˘a ˆıntreaga num˘ar impar.
ˆIn concluzie ecuat¸ia propus˘a nu are r˘ad˘acini ˆıntregi.
R˘aspunsul corect este D).
2. Num˘arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat¸iei
log2
2 x4 + 2 log4 x2 = 18
este
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Solut¸ie: 2 Dac˘a not˘am cu x2 = t > 0 ecuat¸ia devine
log2 t22 + 2 log4 t = 18 ⇔ (2 log2 t)2 + 2 log2 t
log2 4 = 18 ⇔ 4 (log2 t)2 + log2 t − 18 = 0.
Avem de rezolvat urm˘atoarea ecuat¸ie de gradul al doilea: 4u2 + u − 18 = 0, unde u = log2 t. Ecuat¸ia precedent˘a are
dou˘a r˘ad˘acini
u1 = − 9
4 , u2 = 2.
Din u = log2 t → t = 2u → t1 = 2− 9
2 , t2 = 22. Cum x2 = t → x1,2 = ±√t. Deci ecuat¸ia va avea patru r˘ad˘acini
reale.
R˘aspunsul corect este D).
3. S˘a se determine al patrulea termen din dezvoltarea binomului
√x + 1
3
√x
n
, ˆın ipoteza c˘a 22n −2n −240 = 0, n ∈ N.
A) 4√x
B) 4√x
C) 6 3
√x
D) 6
3
√x
1

Barem · pagina 2

Solut¸ie: 3 Mai ˆıntˆai vom rezolva ecuat¸ia:
22n − 2n − 240 = 0
Dac˘a not˘am 2n = t ecuat¸ia de rezolvat devine
t2 − t − 240 = 0 → ∆ = 1 + 960 = 961 → t1,2 = 1 ± 31
2 →
(
t1 = 16
t2 = −15 < 0 → n = 4.
Deci: √x + 1
3
√x
4
(1)
Formula termenului general Tk+1 = Ck
nan−kbk. Deci T4 = C3
4
√x · 1
x = 4
√x .
R˘aspunsul corect este A).
4. Fie (xn)n≥1 un ¸sir de numere reale pentru care exist˘a a, b ∈ R∗ cu proprietatea c˘a x1+x2+. . .+xn = an2+bn, ∀n ≥ 1.
Atunci ¸sirul este
A) progresie aritmetic˘a
B) ¸sir m˘arginit
C) progresie geometric˘a
D) ¸sir constant
Solut¸ie: 4 Dac˘a x1 + x2 + . . . + xn = sn atunci xn = sn − sn−1 = an2 + bn + a(n − 1)2 + b(n − 1) = 2an − a + b.
Avem xn+1 − xn = 2a(n + 1) − a + b − 2an + a − b = 2a, ∀n ∈ N∗. Deci ¸sirul (xn)n≥1 este o progresie aritmetic˘a
cu rat¸ia 2a.
R˘aspunsul corect este A).
5. Consider˘am pe mult¸imea numerelor complexe ecuat¸ia |z|2 + z = 3 + 4i. Num˘arul de solut¸ii ale ecuat¸iei este egal cu:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
Solut¸ie: 5 Vom considera drept punct de plecare forma algebric˘a a num˘arului complex z = a + ib. Se obt¸ine
|z| = √a2 + b2. Ecuat¸ia de analizat devine:
a2 + b2 + a + ib = 3 + 4i
Egal˘am p˘art¸ile reale respectiv imaginare din primul ¸si al doilea membru ¸si obt¸inem
(
a2 + b2 + a = 3
b = 4 →
(
a2 + a + 13 = 0
b = 4
Se observ˘a c˘a discriminantul ecuat¸iei de gradul II ˆın a este negativ deci a /∈ R.
R˘aspunsul corect este A).
6. Dac˘a a < b < c ¸si D =
1 1 1
a + 2 b + 2 c + 2
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
atunci:
A) D = 0
B) D < 0
C) D > 0
D) D = −a2 − b2 − c2
2

Barem · pagina 3

Solut¸ie: 6 Obsev˘am c˘a folosind propriet˘at¸ile determinant¸ilor putem rescrie determinantul D dup˘a cum urmeaz˘a
D =
1 1 1
a + 2 b + 2 c + 2
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
=
1 1 1
a + 1 b + 1 c + 1
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
+
1 1 1
1 1 1
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
Alternativ: Putem s˘a sc˘adem din a doua linie prima linie ¸si obt¸inem acela¸si rezultat. Deoarece al doilea de-
terminant scris ˆın suma de mai sus are dou˘a linii egale rezult˘a c˘a valoarea acestuia este 0. Revenim la primul
determinant pe care ˆıl putem privi ca pe un determinant de tip Vandermonde sau putem s˘a folosim transform˘ari
asupra coloanelor sale cu scopul de a forma zerouri
1 1 1
a + 1 b + 1 c + 1
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
=
1 0 0
a + 1 b − a c − a
(a + 1)2 (b − a)(a + b + 2) (c − a)(a + c + 2)
= (b − a)(c − a) 1 1
a + b + 2 a + c + 2
= (b − a)(c − a)(c − b) > 0.
R˘aspunsul corect este C).
7. Fie a ∈ (0, 1) ¸si A =


0 1 0
0 0 1
a 0 0

. Atunci lim
n→∞
A3 + A6 + . . . + A3n este
A) a
1 − a I3
B) a
1 − a A
C) I3
D) a
1 + a I3
Solut¸ie: 7 Prin calcul se obt¸ine
A2 =

0 1 0
0 0 1
a 0 0

 ·

0 1 0
0 0 1
a 0 0

 =

0 0 1
a 0 0
0 a 0


A3 =


0 0 1
a 0 0
0 a 0

 ·


0 1 0
0 0 1
a 0 0

 =


a 0 0
0 a 0
0 0 a

 = aI3.
De aici A6 = a2I3, . . . A3n = anI3. Limita de calculat devine:
lim
n→∞
a + a2 + . . . + an I3 = lim
n→∞
an+1 − a
a − 1 I3 = − a
a − 1 I3 = a
1 − a I3.
R˘aspunsul corect este A).
8. Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii liniare 


x + 2y + z = 1
x − 2y + z = 1
mx − y + 7z = n
.
Valoarea parametrului n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat este:
A) 1
B) 4
C) −1
D) 3
3

Barem · pagina 4

Solut¸ie: 8 Pentru ca sistemul neomogen s˘a fie compatibil nedeterminat rangul matricei sistemului trebuie s˘a fie
egal cu rangul matricei extinse, ambele ranguri fiind mai mici decˆat num˘arul de necunoscute.
A =

 1 2 1
1 −2 1
m −1 7

 , ¯A =

 1 2 1 | 1
1 −2 1 | 1
m −1 7 | n


Avem det A = 20 − 5m, deci pentru m = 4 rangul matricei A este egal cu 2. Determinantul ∆p = 1 2
1 −2̸ =
0, ∆car =
2 1 1
−1 2 1
−1 7 n
= 5n − 20. Observ˘am c˘a ∆car = 0 ⇔ n = 4. Deci sistemul este compatibil nedeterminat dac˘a
n = 4.
R˘aspunsul corect este B).
9. Toate valorile parametrului a ∈ R pentru care matricea


a − 1 1 a a − 2
1 2a −1 a + 3
−a + 3 4a − 1 −a − 2 a + 8

 are rang maxim sunt
A) a = 0
B) a ≥ 0
C) a ∈ R∗
D) a ∈ R
Solut¸ie: 9 Deoarece matricea are un element nenul, rangul va fi ≥ 1. Consider˘am minorul de ordin 2:
∆ = 1 a
2a −1 = −1 − 2a2
Observ˘am c˘a pentru orice a ∈ R, avem
∆ ≤ −1 < 0
deci ∆̸ = 0. A¸sadar, rangul este cel put¸in 2. Vom borda ˆın cele ce urmeaz˘a minorul identificat anterior cu coloanele
r˘amase:
∆1 =
a − 1 1 a
1 2a −1
−a + 3 4a − 1 −a − 2
L3=L1+L3
=
a − 1 1 a
1 2a −1
2 4a −2
= 0 (2)
Analog avem:
∆2 =
1 a a − 2
2a −1 a + 3
4a − 1 −a − 2 a + 8
L3=L3+L1
=
1 a a − 2
2a −1 a + 3
4a −2 2a + 6
= 0 (3)
deci rangul nu poate fi 3. Deci rangul este 2 pentru orice a ∈ R.
R˘aspunsul corect este D).
10. Pe intervalul [−1, 1] se define¸ste legea de compozit¸ie x ∗ y = 3xy − x − y − 1
xy + x + y − 3 . Num˘arul elementelor simetrizabile
este
A) infinit
B) 0
C) 2
D) 1
Solut¸ie: 10 Dac˘a e ∈ [−1, 1) este elementul neutru al legii de compozit¸ie avem c˘a x ∗ e = e ∗ x = x, ∀x ∈ [−1, 1].
Deoarece legea de compozit¸ie este comutativ˘a este suficient s˘a ne ocup˘am de e ∗ x = x ⇔ 3ex − e − x − 1
ex + e + x − 1 = x ⇔
x2(e + 1) − 2x(e + 1) + (e + 1) = 0 ⇔ (e + 1)(x − 1)2 = 0 → e = −1. Dac˘a x′ ∈ I este simetricul elementului x
atunci x ∗ x′ = x′ ∗ x = −1. Se obt¸ine 4xx′ = 4 → x′ = 1
x . Trebuie ca x′ ∈ I ⇔ 1
x ∈ I → x = −1 este singurul
element simetrizabil.
R˘aspunsul corect este D).
4

Barem · pagina 5

11. Mult¸imea valorilor parametrului real m pentru care ecuat¸ia
x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = m
are toate r˘ad˘acinile reale este
A)

−1, 9
16

B)

−1, 9
16

C)

−1, 9
16

D)

−1, 9
16

Solut¸ie: 11 Ecuat¸ia propus˘a se poate rescrie echivalent sub forma
(x2 − 3x)(x2 − 3x + 2) = m.
Dac˘a not˘am cu y = x2 −3x+1 relat¸ia anterioar˘a se rescrie sub forma (y−1)(y+1) = m ⇔ y2 −1 = m ⇔ y2 = m+1.
Trebuie ca m + 1 ≥ 0 → m ≥ −1. Din y = x2 − 3x + 1 rezult˘a c˘a x2 − 3x + 1 − y = 0 de unde ∆ ≥ 0 sau
9 − 4(1 − y) ≥ 0 ⇔ 5 + 4y ≥ 0. Pentru y = √m + 1 inegalitatea 5 + 4y ≥ 0 se verific˘a. Pentru y = −√m + 1
inegalitatea 5 + 4y ≥ 0 devine 5 − 4√m + 1 ≥ 0 ⇔ 4√m + 1 ≤ 5 ⇔ 16(m + 1) ≤ 25 ⇔ 16 ≤ 9 ⇔ m ≤ 9
16 . Deci
m ∈

−1, 9
16

.
R˘aspunsul corect este A).
12. Consider˘am ¸sirul (xn)n≥1 unde xn =
n
√2 + n
√3 + n
√5
3
!n
pentru orice n ∈ N. Atunci lim
n→∞ xn este:
A) 3
√30
B) ln 3
√30
C) e
D) 1
Solut¸ie: 12 Observ˘am c˘a limita num˘aratorului este 1 prin urmare ne afl˘am ˆın cazul de nedeterminare 1∞. Pentru
eliminarea acesteia vom ad˘aga ¸si vom sc˘adea 1 la baza expresiei pentru a folosi limita remarcabil˘a;
lim
u(x)→0 (1 + u(x)) 1
u(x) = e
Vom nota 1
n = x ¸si limita devine
l = lim
x→0
 2x + 3x + 5x
3
 1
x
= lim
x→0
"
1 + 2x + 3x + 5x − 3
3
 3
2x+3x3+5x−3
# 2x+3x+5x−3
3x
= e
lim
x→0

 2x − 1
3x + 3x − 1
3x + 5x − 1
3x


= e
ln 2 + ln 3 + ln 5
3 = 3
√30
R˘aspunsul corect este A).
13. Se consider˘a ¸sirurile (xn)n∈N∗ ¸si (bn)n∈N∗ definite prin
xn+1 = a 1
(n+1)! · x 1
n+1
n , x1 = 1, bn =
nY
k=1
xk, a ∈ R∗, a > 0.
Atunci lim
n→∞ bn este:
A) 0
5

Barem · pagina 6

B) 1
C) a
D) +∞
Solut¸ie: 13 Pentru a obt¸ine o form˘a simplificat˘a a ¸sirului xn vom scrie primii termeni ai ¸sirului pentru a identifica
o formul˘a general˘a
x1 = 1, x2 = a 1
2! , x3 = a 2
3! .
Presupunem c˘a P (n) : xn = a n−1
n! ¸si demonstr˘am prin induct¸ie matematic˘a
• Pentru etapa de verificare observ˘am c˘a P (2) ¸si P (3) adev˘arate.
• Pentru etape inductiv˘a presupunem P (k) adev˘arat˘a ¸si demonstr˘am c˘a P (k + 1) adev˘arat˘a.
xk+1 = a 1
(k+1)! · a k−1
(k+1)! = a k
(k+1)! → P(k+1) adev˘arat˘a.
Se obt¸ine
bn =
nY
k=1
xk =
nY
k=1
a k−1
k! = a
nP
k=1
k−1
k!
.
Putem scrie nX
k=1
k − 1
k! =
nX
k=1
 k
k! − 1
k!

= 1 − 1
n! .
ˆIn concluzie
lim
n→∞ bn = lim
n→∞ a1− 1
n! = a.
R˘aspunsul corect este C).
14. Fie x1m cea mai mic˘a r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei
x2 − 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0.
Atunci lim
m→∞ x1m este
A) 0
B) 1
C) 2
3
D) 3
2
Solut¸ie: 14 Observ˘am c˘a ∆ = 4(m + 1)2 − 12m − 4 = 4m2 + 8m + 4 − 12m − 4 = 4m2 − 4m. Cele dou˘a r˘ad˘acini
vor fi
x1m,2m = m + 1 ± pm2 − m
Impunem condit¸ia ca m ∈ (−∞, 0] ∪ [1, +∞) deci r˘ad˘acina cea mai mic˘a va fi x1 = m + 1 − √m2 − m. Avem
lim
m→∞ x1m = lim
m→∞(m + 1 − pm2 − m) = lim
m→∞
(m + 1)2 − m2 + m
m + 1 + √m2 − m = lim
m→∞
3m + 1
m + 1 + √m2 − m = 3
2 .
R˘aspunsul corect este D).
15. Fie a, b ∈ R ¸si f : R → R funct¸ia definit˘a prin
f (x) =
 aex + b + e−x, dac˘a x ≤ 0
x2, dac˘a x > 0
¸si fie x0 = 0. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A) Exist˘a o infinitate de perechi (a, b) pentru care f este continu˘a ˆın punctul x0.
B) f este derivabil˘a ˆın punctul x0 ⇔ (a = 1 ¸si b = −2).
C) f este continu˘a ˆın punctul x0 ⇔ a + b = −3.
6

Barem · pagina 7

D) f este derivabil˘a ˆın punctul x0 ⇔ (a = −2 ¸si b = 1).
Solut¸ie: 15 Avem lim
x↗0 f (x) = a + b + 1 = f (0) ¸si lim
x↘0 f (x) = 0. Drept urmare, f este continu˘a ˆın x0 = 0 dac˘a ¸si
numai dac˘a a + b = −1, deci exist˘a o infinitate de perechi (a, b) pentru care f este continu˘a ˆın x0. De asemenea, f
este derivabil˘a pe R\{0}, iar
f ′(x) = aex − e−x pentru orice x < 0,
f ′(x) = 2x pentru orice x > 0.
Se constat˘a imediat c˘a lim
x↗0 f ′(x) = a − 1 ¸si lim
x↘0 f ′(x) = 0. Presupunˆand c˘a a + b = −1 (adic˘a f este continu˘a ˆın
0), ˆın baza unei consecint¸e a teoremei de medie a lui Lagrange rezult˘a c˘a f ′
s(0) = a − 1 ¸si f ′
d(0) = 0. Drept urmare,
f este derivabil˘a ˆın x0 = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a a + b = −1 ¸si a − 1 = 0, adic˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a = 1 ¸si b = −2.
R˘aspunsul corect este B).
16. Fie funct¸ia f : R → R o funct¸ie derivabil˘a ¸si lim
x→∞ xn · f (x) = l, l finit˘a ¸si n ∈ N fixat. Dac˘a limita lim
x→∞ xn+1f ′(x)
exist˘a atunci valoarea ei este:
A) −nl
B) nl
C) 0
D) ∞
Solut¸ie: 16 Vom utiliza regula lui L’Hospital
l = lim
x→∞ xn · f (x) = lim
x→∞
f (x)
x−n = lim
x→∞
f ′(x)
−nxn−1 = − 1
n lim
x→∞ xn+1f ′(x) → lim
x→∞ xn+1f ′(x) = −nl.
R˘aspunsul corect este A).
17. Fie F : R∗ → R astfel ˆıncˆat F ′(x) = 1
x , pentru orice x ∈ R∗ cu F (−1) = 1 ¸si F (1) = 0. Atunci F (e) + F (−e) este:
A) 1
B) 0
C) 3
D) 2
Solut¸ie: 17 Din enunt¸ rezult˘a c˘a F (x) =
(
ln(−x) + c1, x < 0
ln x + c2, x > 0 . DIn F (−1) = 1 → c1 = 1, iar din F (1) = 0 →
c2 = 0. Deci
F (x) =
(
ln(−x) + 1, x < 0
ln x, x > 0 .
Rezult˘a F (e) + F (−e) = 3.
R˘aspunsul corect este B).
18. Fie L = lim
a→∞
Z a
0
xe−x dx. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a.
A) L = ∞.
B) L = 1.
C) L = e.
D) L nu exist˘a.
7

Barem · pagina 8

Solut¸ie: 18 Putem calcula integrala propus˘a spre analiz˘a:
aZ
0
−x(e−x)′dx = −xe−x
a
0
− e−x
a
0
= −ae−a − e−a + 1 (4)
Deci L = 1.
R˘aspunsul corect este B).
19. Valoarea integralei
Z 1
−1
x arctg(x)
1 + ex dx este:
A) π
2 − 1
B) π
2 + 1
C) π
4 − 1
2
D) π
4 + 1
2
Solut¸ie: 19 Deoarece integrarea se face pe un interval simetric fat¸˘a de origine vom realiza schimbarea de variabil˘a
x = −t → dx = −dt. (
x = 1 → t = −1
x = −1 → t = 1
Z 1
−1
x arctg(x)
1 + ee dx =
1Z
−1
t
arctg t 1 + e−tdt =
1Z
−1
ett arctg t
1 + et dt =
1Z
−1
xex arctg x
1 + ex dx
Se obt¸ine:
Z 1
−1
x arctg(x)
1 + ee dx +
1Z
−1
xex arctg x
1 + ex dx =
1Z
−1
x arctg x dx =
1Z
−1
 x2
2
′
arctg x dx = x2
2 arctg x
1
−1
−
1Z
−1
x2
2(x2 + 1) dx
= π
4 − x
2
1
−1
+ 1
2 arctg x
1
−1
= π
4 − 1 + π
4 = π
2 − 1.
Deorece
Z 1
−1
x arctg(x)
1 + ee dx =
1Z
−1
xex arctg x
1 + ex dx obt¸inem
Z 1
−1
x arctg(x)
1 + ee dx = 1
2
 π
2 − 1

.
R˘aspunsul corect este C).
20. Fie vectorii⃗a =⃗ i +⃗ j,⃗ b =⃗ i −⃗ j ¸si⃗u = 6⃗i + 2⃗ j. S˘a se determine p, q ∈ R astfel ˆıncˆat⃗u = p⃗a + q⃗b.
A) p = −3, q = −2;
B) p = 0, q = 0;
C) p = 4, q = 2;
D) p = 7, q = 1;
Solut¸ie: 20 ˆInlocuind⃗a,⃗ b ¸si⃗u ˆın ultima egalitate, obt¸inem:
6⃗i + 2⃗ j = p(⃗ i +⃗ j) + q(⃗ i −⃗ j) ⇔ (p + q − 6)⃗i + (p − q − 2)⃗j = 0
Se observ˘a c˘a⃗ i = 1
2 (⃗a +⃗ b),⃗ j = 1
2 (⃗a −⃗ b), deci:⃗
u = 6⃗i + 2⃗ j = 6 · 1
2 (⃗a +⃗ b) + 2 · 1
2 (⃗a −⃗ b) = 3(⃗a +⃗ b) +⃗a −⃗ b = 4⃗a + 2⃗ b ⇒ p = 4, q = 2
R˘aspunsul corect este C).
21. Fie punctele A(1, 1), B(2, −3), C(6, 0). Coordonatele punctului D astfel ˆıncˆat ABCD este paralelogram sunt
A) (−4, 5)
8

Barem · pagina 9

B) (4, 5)
C) (−5, −4)
D) (5, 4)
Solut¸ie: 21 Patrulaterul ABCD este paralelogram dac˘a ¸si numai dac˘a diagonalele se ˆınjum˘at˘a¸stesc. Mijlocul
diagonalei AC are coordonatele
 7
2 , 1
2

. Punctul obt¸inut anterior este ¸si mijlocul diagonalei BD.Se obt¸ine D (5, 4) .
R˘aspunsul corect este D).
22. Distant¸a minim˘a de la punctul M de pa parabola x2 = 64y la dreapta 3x + 4y + 37 = 0 este:
A) 1
5
B) 1
2
C) 1
3
D) 1
4
Solut¸ie: 22 Dac˘a punctul M este pe parabola x2 = 64y atunci M

a, a2
64

. Utiliz˘am formula pentru distant¸a de la
un punct la o dreapt˘a ¸si obt¸inem
d =
3a + 4 · a2
64 + 37
√9 + 16 =
3a + a2
16 + 37
5 .
Definim funct¸ia f : R → R, f (x) = x2
16 +3x+37 care are minimul egal cu 1 care este obt¸inut pentru x = − b
2a = −24
deci distant¸a minim˘a va fi 1
5 .
R˘aspunsul corect este A).
23. Dac˘a tg α = 1, atunci valoarea expresiei E = cos α − sin α este:
A)
√3 − √2
2 ;
B)
√3
3 ;
C) 0 ;
D) 1 ;
Solut¸ie: 23 Folosind ˆın egalitatea din enunt¸ relat¸ia tg α = sin α
cos α , rezult˘a
sin α
cos α = 1 ⇒ sin α = cos α ⇒ cos α − sin α = 0.
R˘aspunsul corect este C).
24. Fie f : R → R∗ o funct¸ie care admite primitive ¸si verific˘a relat¸iile cos f (x) = 1, ∀x ∈ R ¸si |f (π) − π| ≤ π. Atunci
f (π) este:
A) 0
B) π
C) 2π
D) 4π
9

Barem · pagina 10

Solut¸ie: 24 Din cos f (x) = 1 → f (x) = 2kπ, k ∈ Z. Deoarece funct¸ia f admite primitive rezult˘a c˘a f este constant˘a
(altfel f (R) = {2kπ|k ∈ Z} care nu este interval). Deci ∃k0 ∈ Z astfel ˆıncˆat f (x) = 2k0π, ∀x ∈ R. Din a doua
condit¸ie obt¸inem (2k0π − π) ≤ π → −1 ≤ 2k0 − 1 ≤ 1 → k0 ∈ {0, 1}. Observ˘am c˘a k0 = 0 nu convine deoarece
f : R → R∗, deci k0 = 1 → f (x) = 2π → f (π) = 2π.
R˘aspunsul corect este C).
25. Fie a ¸si b dou˘a numere reale astfel ˆıncˆat sin a + sin b = 1 ¸si cos a + cos b = 1
2 . S˘a se calculeze cos(a − b).
A) − 3
8
B) 1
C) 3
8
D) 3
16
Solut¸ie: 25 Prin ridicarea la p˘atrat a ambelor relat¸ii obt¸inem:



sin2 a + 2 sin a sin b + sin2 b = 1
cos2a + 2 cos a cos b + cos2 b = 1
4
→ cos(a − b) = − 3
8
R˘aspunsul corect este A).
10
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2025Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2025Informatică · Modelul 11Deschide fișa Model de pregătire · 2025Informatică · Modelul 12Deschide fișa Model de pregătire · 2025Matematică · Modelul 11Deschide fișa Examen de admitere · 2026Informatică · Varianta ADeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2025 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.