Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Model de pregătire · Matematică · 2025

Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 4 pagini

Subiect · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere – sesiunea iulie 2025
Domeniile: Calculatoare ¸si Tehnologia Informat¸iei
Ingineria Sistemelor (Automatic˘a ¸si Informatic˘a Aplicat˘a)
Model 11 de subiect pentru testul gril˘a de Matematic˘a
1. R˘ad˘acinile ecuat¸iei 4x2 + 2mx + 3 = 0, m ∈ R sunt reale strict negative dac˘a:
(a) m ∈ 2√3, ∞; (b) m ≥ 0; (c) m ∈ (−∞, −4]; (d) m ≤ 0.
2. Se consider˘a ecuat¸ia de gradul al doilea
(1 + α2)x2 − (1 + α)x + α(1 − α) = 0,
cu r˘ad˘acinile x1, x2̸ = 0. Mult¸imea tuturor valorilor lui α ∈ R pentru care
−1 ≤ 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x1x2
≤ 0
este:
(a) (−∞, 1]; (b) (−∞, −1) ∪ (0, 1); (c) (−∞, −1]; (d) (−∞, 0) ∪ (1, +∞).
3. Num˘arul de elemente ale mult¸imii
A =

z ∈ Q | z = x
(x + 1) (x + 2), x ∈ Z, |x| ≤ 10

.
este:
(a) 21; (b) 19; (c) 18; (d) 17.
4. Mult¸imea tuturor numerelor reale care satisfac inecuat¸ia:
x√x > √xx
este:
(a) R; (b) (1, 4); (c) [1, 4]; (d) nu exist˘a.
5. Toate numerele complexe z ∈ C care verific˘a ecuat¸ia |z| − z = 1 − 2i sunt:
(a) z = −1
2 + i; (b) z = 3
2, z = 3
2 + 2i; (c) z = 3
2 + 2i; (d) z = 5
2 − 2i.
6. Coeficientul lui x2 din dezvoltarea
(1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + ... + (1 + x)25
este:
(a) 2600; (b) 2601; (c) 2599; (d) 2598.
1

Subiect · pagina 2

7. Fie A ∈ M3 (Z) o matrice care verific˘a relat¸ia
 1 1 + x 1 + x2  =  1 x x2  A
pentru orice x ∈ R. Atunci An, n ∈ N∗, este:
(a)


1 n n
0 1 0
0 0 1

; (b)


1 n n
0 1 n
0 0 1

; (c)


1 n n
1 1 0
0 1 1

; (d)


1 n −n
0 1 0
0 0 1

.
8. Presupunem c˘a x1, x2, x3, x4 sunt 4 numere consecutive. Determinantul
1 + x1 x2 x3 x4
x1 1 + x2 x3 x4
x1 x2 1 + x3 x4
x1 x2 x3 1 + x4
este de forma:
(a) 4k; (b) 4k + 1; (c) 4k + 2; (d) 4k + 3.
9. Pentru ce valori ale parametrilor reali a ¸si b sistemul de mai jos este compatibil nedeterminat?



2x + 3y + 4z = 5
ax + (a + 1) y + (a + 2) z = a + 3
x + by + b2z = b3.
(a) a = 2 ¸si b = 1; (b) a = 2, b ∈ R;
(c) a ∈ R, b = 1; (d) a = 2, b ∈ R sau a ∈ R, b = 1.
10. Fie matricea p˘atratic˘a A de ordin 2 cu elemente reale pentru care suma elementelor pe fiecare
linie este 5, iar suma elementelor pe fiecare coloan˘a este 5. Atunci suma tuturor elementelor matricei
A2 este:
(a) 50; (b) 25; (c) 100; (d) 10.
11. Fie n ∈ N un num˘ar natural impar. Pe R definim legea de compozit¸ie:
x ⋆ y = n
√xn + yn.
Atunci limita
ℓ = lim
n→∞ 2025 ⋆ 2025 ⋆ ... ⋆ 2025| {z }
de n ori
are valoarea:
(a) 2025; (b) 0; (c) ∞; (d) 1.
12. Fie ¸sirul (xn)n∈N dat prin relat¸ia de recurent¸˘a:
xn+1 = xn + 18
xn
, ∀n ∈ N, x0 = 1.
Valoarea limitei lim
n→∞
xn
√n este:
2

Subiect · pagina 3

(a) 0; (b) +∞; (c) 6; (d) 2.
13. Valoarea limitei
ℓ = lim
x→0
tg3 x − x3
x5
este:
(a) 1
4; (b) 1; (c) 0; (d) 1
2.
14. Consider˘am funct¸ia polinomial˘a f : R → R dat˘a prin
f (x) = (x − 1) (x − 2) · ... · (x − 2026), ∀x ∈ R.
Valoarea lui k ∈ N pentru care derivata f (k) are exact k r˘ad˘acini reale este:
(a) 2026; (b) 2024; (c) 1013; (d) 1.
15. Pentru ce valori ale parametrului a > 0, inegalitatea 2x + ax ≥ 2 are loc pentru orice x ∈ R?
(a) a = 2; (b) a ≥ 2; (c) a = 1
2; (d) a < 1
2.
16. Fie
f : R \ {−1, 0} → R, f (x) = 2x + 1
x2 (x + 1)2 .
Precizat¸i care afirmat¸ie este adev˘arat˘a:
(a) f ′(x) = 2 (3x2 + 3x + 1)
x3 (x + 1)3 ; (b) f funct¸ie par˘a;
(c) f are puncte de extrem; (d) f are un punct de inflexiune.
17. Valoarea integralei nedefinite
I =
Z x
√1 − x2 earcsin x dx,
pentru x ∈ (−1, 1), este:
(a) I = −1
2
√1 − x2earcsin x + x
2 earcsin x + C; (b) I = x
4 earcsin x + C;
(c) I = √1 − x2earcsin x + C; (d) I = √1 − x2earcsin x + xearcsin x + C.
18. Fie funct¸ia
f : [0, 1] → R, f (x) = cos(n arccos x).
Valoarea num˘arului n natural pentru care volumul corpului obt¸inut prin rotirea graficului funct¸iei f ˆın
jurul axei Ox s˘a fie egal˘a cu π
6 este:
(a) 1; (b) 0; (c) 3; (d) 2.
19. Valoarea limitei
ℓ = lim
t→∞
1
t
Z t
0
|sin x| dx
este:
3

Subiect · pagina 4

(a) 2
π ; (b) π
2 ; (c) 0; (d) ∞.
20. Valoarea expresiei
E = sin (a + b) − sin (a − b)
sin (a + b) + sin (a − b)
este:
(a) sin a cos b − cos a sin b; (b) ctg a · tg b; (c) tg 2b; (d) tg a · ctg b.
21. Fie x ∈ R astfel ˆıncˆat cos x̸ = 0 ¸si
cos x
a = cos 3x
b , unde a, b ∈ (0, ∞) , a ≥ b.
Atunci valoarea lui tg2 x este:
(a) a + b
3a + b; (b) a − b
3a + b; (c) 2a + b
2a ; (d) a − b
2a + b.
22. Num˘arul solut¸iilor din intervalul [0, 2π) ale ecuat¸iei
cos3 x + sin2 x = 0
este:
(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4.
23. Fie triunghiul ABC cu D, E, F mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB. Atunci vectorul
−−→
AD + −−→
BE + −→
CF este egal cu:
(a) −→
0 ; (b) −→
AB + −→
AC; (c) −→
AC; (d) −−→
BC.
24. Se consider˘a triunghiul cu vˆarfurile A (−2, 0) , B (2, 0) , C (0, 6) . Coordonatele centrului cercului
circumscris ¸si raza acestui cerc sunt:
(a) (1, 1) , 2; (b) (0, 2) , 2√2; (c) (0, 8/3) , 10/3; (d) (2, 2) , 10/3.
25. ˆIn planul xOy consider˘am punctele A(3, √3) ¸si B(4, 0). Atunci unghiul dintre ˆın˘alt¸imea ¸si
mediana ∆AOB care pleac˘a din unghiul A are m˘asura egal˘a cu:
(a) π
12; (b) π
4 ; (c) π
3 ; (d) π
6 .
4
Deschide documentul original
Barem · 10 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere – sesiunea iulie 2025
Domeniile: Calculatoare ¸si Tehnologia Informat¸iei
Ingineria Sistemelor (Automatic˘a ¸si Informatic˘a Aplicat˘a)
Model 11 de subiect pentru testul gril˘a de Matematic˘a
1. R˘ad˘acinile ecuat¸iei 4x2 + 2mx + 3 = 0, m ∈ R sunt reale strict negative dac˘a:
(a) m ∈ 2√3, ∞; (b) m ≥ 0; (c) m ∈ (−∞, −4]; (d) m ≤ 0.
Solut¸ie. Condit¸iile impuse sunt ∆ = 4(m2 − 12) ≥ 0, S = x1 + x2 = −m
2 < 0 ¸si, respectiv P = x1x2 =
3
4 > 0.
R˘aspuns corect: (a). □
2. Se consider˘a ecuat¸ia de gradul al doilea
(1 + α2)x2 − (1 + α)x + α(1 − α) = 0,
cu r˘ad˘acinile x1, x2̸ = 0. Mult¸imea tuturor valorilor lui α ∈ R pentru care
−1 ≤ 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x1x2
≤ 0
este:
(a) (−∞, 1]; (b) (−∞, −1) ∪ (0, 1); (c) (−∞, −1]; (d) (−∞, 0) ∪ (1, +∞).
Solut¸ie. Inecuat¸ia din enunt¸ este echivalent˘a cu
−1 ≤ 2 + α + α2
α(1 − α) ≤ 0.
Rezult˘a numitorul strict negativ, deci α ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞), ¸si
α2 − α ≥ 2 + α + α2,
de unde α ∈ (−∞, −1].
R˘aspuns corect: (c). □
3. Num˘arul de elemente ale mult¸imii
A =

z ∈ Q | z = x
(x + 1) (x + 2), x ∈ Z, |x| ≤ 10

.
este:
(a) 21; (b) 19; (c) 18; (d) 17.
Solut¸ie. A este mult¸imea valorilor funct¸iei f (x) = x
(x + 1) (x + 2) definit˘a pe mult¸imea
{−10, −9, ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10} \ {−2, −1} .
1

Barem · pagina 2

Dac˘a funct¸ia ar fi injectiv˘a num˘arul valorilor ar fi 21 − 2 = 19.
Determin˘am num˘arul perechilor pentru care f (x) = f (y), x̸ = y.
f (x) − f (y) = 0 ⇔ x
(x + 1) (x + 2) − y
(y + 1) (y + 2) = − (x − y) (xy − 2)
(x + 2) (x + 1) (y + 2) (y + 1) = 0
⇔ − (x − y) (xy − 2) = 0 ⇒ xy = 2, x, y ∈ Z, |x| ≤ 10, |y| ≤ 10 ⇒ (x, y) ∈ {(−2, −1) (1, 2)} .
A¸sadar pentru x = 1 ¸si x = 2 se obt¸ine acela¸si z = 1
6, deci r˘amˆan doar 19 − 1 = 18 valori distincte ˆın
mult¸imea A.
R˘aspuns corect: (c). □
4. Mult¸imea tuturor numerelor reale care satisfac inecuat¸ia:
x√x > √xx
este:
(a) R; (b) (1, 4); (c) [1, 4]; (d) nu exist˘a.
Solut¸ie. Condit¸ii existent¸˘a x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Vom avea:
ln x√x > ln √xx ⇒ √x ln x > x ln √x ⇒ √x ln x − 1
2x ln x > 0
√x ln x

1 − 1
2
√x

> 0 ⇒ x ∈ (1, 4) .
R˘aspuns corect: (b). □
5. Toate numerele complexe z ∈ C care verific˘a ecuat¸ia |z| − z = 1 − 2i sunt:
(a) z = −1
2 + i; (b) z = 3
2, z = 3
2 + 2i; (c) z = 3
2 + 2i; (d) z = 5
2 − 2i.
Solut¸ie. Pentru z = x + iy obt¸inem px2 + y2 − x − iy = 1 − 2i, de unde y = 2 ¸si √x2 + 4 = x + 1,
deci x = 3
2 .
R˘aspuns corect: (c). □
6. Coeficientul lui x2 din dezvoltarea
(1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + ... + (1 + x)25
este:
(a) 2600; (b) 2601; (c) 2599; (d) 2598.
Solut¸ie. Avem:
25X
k=3
C2
k =
25X
k=3
k (k − 1)
2 =
25X
k=1
k (k − 1)
2 − 1 = 1
2
25X
k=1
k (k − 1) − 1
= 1
2
25X
k=1
k2 −
25X
k=1
k
!
− 1 = 1
2
25 · 26 · 51
6 − 1
2
25 · 26
2 − 1 = 2599.
R˘aspuns corect: (c). □
2

Barem · pagina 3

7. Fie A ∈ M3 (Z) o matrice care verific˘a relat¸ia
 1 1 + x 1 + x2  =  1 x x2  A
pentru orice x ∈ R. Atunci An, n ∈ N∗, este:
(a)


1 n n
0 1 0
0 0 1

; (b)


1 n n
0 1 n
0 0 1

; (c)


1 n n
1 1 0
0 1 1

; (d)


1 n −n
0 1 0
0 0 1

.
Solut¸ie. Pentru orice x ∈ R avem:
 1 1 + x 1 + x2  =  1 x x2 


a b c
d e f
g h k


=  gx2 + dx + a hx2 + ex + b kx2 + f x + c 
deci g = d = h = f = 0, a = b = e = k = c = 1. de unde
A =


1 1 1
0 1 0
0 0 1

 .
Calcul˘am A2 =


1 2 2
0 1 0
0 0 1

 ¸si A3 =


1 3 3
0 1 0
0 0 1

.
Prin induct¸ie se verific˘a
Ak+1 = AkA =


1 k k
0 1 0
0 0 1




1 1 1
0 1 0
0 0 1

 =


1 k + 1 k + 1
0 1 0
0 0 1

 .
R˘aspuns corect: (c). □
8. Presupunem c˘a x1, x2, x3, x4 sunt 4 numere consecutive. Determinantul
1 + x1 x2 x3 x4
x1 1 + x2 x3 x4
x1 x2 1 + x3 x4
x1 x2 x3 1 + x4
este de forma:
(a) 4k; (b) 4k + 1; (c) 4k + 2; (d) 4k + 3.
Solut¸ie. Se observ˘a c˘a determinantul este egal cu 1 + x1 + x2 + x3 + x4 = 1 + 4k + 6 = 4m + 3.
R˘aspuns corect: (d). □
9. Pentru ce valori ale parametrilor reali a ¸si b sistemul de mai jos este compatibil nedeterminat?



2x + 3y + 4z = 5
ax + (a + 1) y + (a + 2) z = a + 3
x + by + b2z = b3.
(a) a = 2 ¸si b = 1; (b) a = 2, b ∈ R;
3

Barem · pagina 4

(c) a ∈ R, b = 1; (d) a = 2, b ∈ R sau a ∈ R, b = 1.
Solut¸ie. Determinantul sistemului este ∆ = (b − 1)2 (a − 2) . Pentru a ∈ R\ {2} , b ∈ R\ {1} , sistemul
are solut¸ie unic˘a.
Pentru a = 2, primele dou˘a ecuat¸ii coincid ¸si minorul
∆1 = 2 3
1 b = 2b − 3
poate fi considerat minor principal, dac˘a b̸ = 3/2. Atunci
rang A = rang A = 2
¸si sistemul este compatibil nedeterminat. Dac˘a b = 3/2, atunci minorul principal se poate lua ∆2 =
2 4
1 9/4̸ = 0 ¸si avem de asemenea un sistem compatibil nedeterminat.
Pentru b = 1, lu˘am drept minor principal pe ∆3 = 2 3
1 1 = −1. Determinantul caracteristic este
ˆın acest caz
∆c =
2 3 5
a a + 1 a + 3
1 1 1
= 0,
deci sistemul este din nou compatibil nedeterminat, ∀a ∈ R.
R˘aspuns corect: (d). □
10. Fie matricea p˘atratic˘a A de ordin 2 cu elemente reale pentru care suma elementelor pe fiecare
linie este 5, iar suma elementelor pe fiecare coloan˘a este 5. Atunci suma tuturor elementelor matricei
A2 este:
(a) 50; (b) 25; (c) 100; (d) 10.
Solut¸ie. Elementul (i, j) al matricei A2 este 2P
k=1
aikakj .
S¸tim c˘a 2P
i=1
aij = 5, 2P
j=1
aij = 5. Atunci:
2X
i=1
2X
j=1
2X
k=1
aikakj
!
=
2X
i=1
2X
k=1
aik
2X
j=1
akj
!!
= 5
2X
i=1
2X
k=1
aik
!
= 50.
R˘aspuns corect: (a). □
11. Fie n ∈ N un num˘ar natural impar. Pe R definim legea de compozit¸ie:
x ⋆ y = n
√xn + yn.
Atunci limita
ℓ = lim
n→∞ 2025 ⋆ 2025 ⋆ ... ⋆ 2025| {z }
de n ori
are valoarea:
(a) 2025; (b) 0; (c) ∞; (d) 1.
4

Barem · pagina 5

Solut¸ie. Se observ˘a c˘a
x ⋆ x ⋆ ... ⋆ x| {z }
de n ori
= x n
√n, ∀x ∈ R.
Rezult˘a limita c˘autat˘a are valoarea 2025.
R˘aspuns corect: (a). □
12. Fie ¸sirul (xn)n∈N dat prin relat¸ia de recurent¸˘a:
xn+1 = xn + 18
xn
, ∀n ∈ N, x0 = 1.
Valoarea limitei lim
n→∞
xn
√n este:
(a) 0; (b) +∞; (c) 6; (d) 2.
Solut¸ie. Se observ˘a c˘a ¸sirul este strict cresc˘ator, deci are limit˘a, finit˘a sau infinit˘a. Dac˘a ar fi finit˘a,
obt¸inem contradict¸ie. Calcul˘am, folosind Teorema Cesaro-Stolz,
lim
n→∞
x2
n
n
C−S
= lim
n→∞
x2
n+1 − x2
n
1 = lim
n→∞
18
xn

2xn + 18
xn

= 36.
Atunci limita c˘autat˘a este 6.
R˘aspuns corect: (c). □
13. Valoarea limitei
ℓ = lim
x→0
tg3 x − x3
x5
este:
(a) 1
4; (b) 1; (c) 0; (d) 1
2.
Solut¸ie. Se poate scrie limita ca
ℓ = lim
x→0
tg x − x
x3 · tg2 x + x tg x + x2
x2 .
Avem
lim
x→0
tg2 x + x tg x + x2
x2 = 3
¸si
lim
x→0
tg x − x
x3 = lim
x→0
sin x − x cos x
x3 = lim
x→0
cos x − cos x + x sin x
3x2 = 1
3.
Rezult˘a c˘a limita c˘autat˘a are valoarea 1.
R˘aspuns corect: (b). □
14. Consider˘am funct¸ia polinomial˘a f : R → R dat˘a prin
f (x) = (x − 1) (x − 2) · ... · (x − 2026), ∀x ∈ R.
Valoarea lui k ∈ N pentru care derivata f (k) are exact k r˘ad˘acini reale este:
(a) 2026; (b) 2024; (c) 1013; (d) 1.
5

Barem · pagina 6

Solut¸ie. Aplicˆand Teorema lui Rolle pentru f pe fiecare interval de tipul [k, k + 1] , k = 1, 2025, vom
g˘asi ck ∈ (k, k + 1) , k = 1, 2025 astfel ˆıncˆat f ′ (ck) = 0. Cum f ′ este un polinom de grad 2025, rezult˘a
c˘a are exact 2025 r˘ad˘acini reale. Aplicˆand din nou Teorema lui Rolle pentru f ′ pe intervalele de tipul
[ck, ck+1] , k = 1, 2024, g˘asim dk ∈ (ck, ck+1) , k = 1, 2024 astfel ˆıncˆat f ′′ (dk) = 0. Va rezulta inductiv c˘a
f (k) are 2026 − k r˘ad˘acini reale, ¸si de aici k = 2026 − k, deci k = 1013.
R˘aspuns corect: (c). □
15. Pentru ce valori ale parametrului a > 0, inegalitatea 2x + ax ≥ 2 are loc pentru orice x ∈ R?
(a) a = 2; (b) a ≥ 2; (c) a = 1
2; (d) a < 1
2.
Solut¸ie. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = 2x + ax − 2, ∀x ∈ R. Inegalitatea din enunt¸ este echivalent˘a
cu f (x) ≥ f (0) , ∀x ∈ R. Cu alte cuvinte, x0 = 0 este punct de minim pentru funct¸ia f, deci f ′ (0) = 0
sau ln a + ln 2 = 0. Se obt¸ine a = 1
2.
Valoarea g˘asit˘a satisface condi?iile problemei:
2x + 1
2x − 2 =

2x
2 − 1
2x
2
2
≥ 0, ∀x ∈ R.
R˘aspuns corect: (c). □
16. Fie
f : R \ {−1, 0} → R, f (x) = 2x + 1
x2 (x + 1)2 .
Precizat¸i care afirmat¸ie este adev˘arat˘a:
(a) f ′(x) = 2 (3x2 + 3x + 1)
x3 (x + 1)3 ; (b) f funct¸ie par˘a;
(c) f are puncte de extrem; (d) f are un punct de inflexiune.
Solut¸ie. f (−x) = −2x + 1
x2 (−x + 1)2̸ = f (x).
f ′(x) = 2
x2 (x + 1)2 − 2
x2
2x + 1
(x + 1)3 − 2
x3
2x + 1
(x + 1)2 = − 2
x3 (x + 1)3 (3x2 + 3x + 1)̸ = 0.
f ′′(x) = 6
x4 (x + 1)4 (4x3 + 6x2 + 4x + 1).
4x3 + 6x2 + 4x + 1 = 0 ⇒ x = −1
2.
R˘aspuns corect: (d). □
17. Valoarea integralei nedefinite
I =
Z x
√1 − x2 earcsin xdx,
pentru x ∈ (−1, 1), este:
(a) I = −1
2
√1 − x2earcsin x + x
2 earcsin x + C; (b) I = x
4 earcsin x + C;
(c) I = √1 − x2earcsin x + C; (d) I = √1 − x2earcsin x + xearcsin x + C.
6

Barem · pagina 7

Solut¸ie. Aplic˘am metoda de integrare prin p˘art¸i:
I =
Z 
−√1 − x2
′
earcsin xdx = −√1 − x2 · earcsin x +
Z √1 − x2 · earcsin x · 1
√1 − x2 dx
= −√1 − x2 · earcsin x +
Z
x′ · earcsin xdx
= −√1 − x2 · earcsin x + x · earcsin x −
Z
x · earcsin x · 1
√1 − x2 dx
= −√1 − x2 · earcsin x + x · earcsin x − I.
R˘aspuns corect: (a). □
18. Fie funct¸ia
f : [0, 1] → R, f (x) = cos(n arccos x).
Valoarea num˘arului n natural pentru care volumul corpului obt¸inut prin rotirea graficului funct¸iei f ˆın
jurul axei Ox s˘a fie egal˘a cu π
6 este:
(a) 1; (b) 0; (c) 3; (d) 2.
Solut¸ie. Vom avea:
V = π
1Z
0
cos2(n arccos x)dx.
Cu schimbarea de variabil˘a arccos x = t, x = cos t, dx = − sin tdt, x = 0 ⇒ t = π
2 , x = 1 ⇒ t = 0,
obt¸inem:
V = π
0Z
π
2
cos2(nt) (− sin t) dt = π
2
π
2Z
0
(1 + cos 2nt) sin tdt
= π
2
π
2Z
0

sin t + 1
2 (sin(2n + 1)t + sin(−2n + 1)t)

dt
= π
2 − cos t|π
2
0 + 1
2

− 1
2n + 1 cos (2n + 1) t

−

− 1
2n − 1 cos (2n − 1) t
 π
2
0
!
= π
2

1 − 1
4n2 − 1

= π
2
2n2 − 1
4n2 − 1.
Deci π
2
2n2 − 1
4n2 − 1 = π
6 , n = 1
R˘aspuns corect (a). □
19. Valoarea limitei
ℓ = lim
t→∞
1
t
Z t
0
|sin x| dx
7

Barem · pagina 8

este:
(a) 2
π ; (b) π
2 ; (c) 0; (d) ∞.
Solut¸ie. Funct¸ia f : R → R, f (x) = |sin x| este o funct¸ie periodic˘a de perioad˘a π ¸si pentru orice
k ∈ N⋆, Z kπ
(k−1)π
|sin x| dx = 2.
Pentru orice t > 0, exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat
(n − 1)π ≤ t < nπ.
Atunci 1
nπ < 1
t ≤ 1
(n − 1)π
¸si Z (n−1)π
0
|sin x| dx ≤
Z t
0
|sin x| dx <
Z nπ
0
|sin x| dx.
Deci
2(n − 1) ≤
Z t
0
|sin x| dx ≤ 2n,
de unde 2(n − 1)
nπ ≤ 1
t
Z t
0
|sin x| dx ≤ 2n
(n − 1)π .
F˘acˆand t → ∞, rezult˘a n → ∞ ¸si
ℓ = 2
π .
R˘aspuns corect: (a). □
20. Valoarea expresiei
E = sin (a + b) − sin (a − b)
sin (a + b) + sin (a − b)
este:
(a) sin a cos b − cos a sin b; (b) ctg a · tg b; (c) tg 2b; (d) tg a · ctg b.
Solut¸ie. Avem
E = sin a cos b + cos a sin b − sin a cos b + cos a sin b
sin a cos b + cos a sin b + sin a cos b − cos a sin b =
= 2 cos a sin b
2 sin a cos b = ctg a · tg b.
R˘aspuns corect: (b). □
21. Fie x ∈ R astfel ˆıncˆat cos x̸ = 0 ¸si
cos x
a = cos 3x
b , unde a, b ∈ (0, ∞) , a ≥ b.
Atunci valoarea lui tg2 x este:
8

Barem · pagina 9

(a) a + b
3a + b; (b) a − b
3a + b; (c) 2a + b
2a ; (d) a − b
2a + b.
Solut¸ie. cos x
a = cos 3x
b = cos x + cos 3x
a + b = 2 cos x cos 2x
a + b ⇒
cos 2x = a + b
2a ⇒ 2 cos2 x − 1 = a + b
2a ⇒ cos2 x = 3a + b
4a
tg2 x = −1 + 1
cos2 x = −1 + 4a
3a + b = a − b
3a + b.
R˘aspuns corect: (b). □
22. Num˘arul solut¸iilor din intervalul [0, 2π) ale ecuat¸iei
cos3 x + sin2 x = 0
este:
(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4.
Solut¸ie. Prin substitut¸ia cos x = y ∈ [−1, 1] , ecuat¸ia devine
y3 − y2 + 1 = 0.
Folosind tabelul de variat¸ie al funct¸iei f (y) = y3 − y2 + 1 pe [−1, 1] , obt¸inem c˘a f are o unic˘a r˘ad˘acin˘a
ˆın intervalul (−1, 0) , pe care o not˘am cu y0. Deducem c˘a ecuat¸ia cos x = y0 are 2 r˘ad˘acini ˆın intervalul
[0, 2π) .
R˘aspuns corect: (b). □
23. Fie triunghiul ABC cu D, E, F mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB. Atunci vectorul
−−→
AD + −−→
BE + −→
CF este egal cu:
(a) −→
0 ; (b) −→
AB + −→
AC; (c) −→
AC; (d) −−→
BC.
Solut¸ie. Vom avea:
−−→
AD = 1
2
−→
AB + −→
AC

,
−−→
BE = 1
2
−−→
BC + −→
BA

,
−→
CF = 1
2
−→
CA + −−→
CB

,
de unde suma c˘autat˘a este −→
0 .
R˘aspuns corect: (a). □
24. Se consider˘a triunghiul cu vˆarfurile A (−2, 0) , B (2, 0) , C (0, 6) . Coordonatele centrului cercului
circumscris ¸si raza acestui cerc sunt:
(a) (1, 1) , 2; (b) (0, 2) , 2√2; (c) (0, 8/3) , 10/3; (d) (2, 2) , 10/3.
Solut¸ie. Observ˘am c˘a mediatoarea segmentului AB este chiar axa Oy. Centrul M al cercului circum-
scris va avea coordonatele M (0, x) . Cum AM = BM = CM ⇒ √4 + x2 = √4 + x2 = 6 − x, deci
x = 8/3. Raza cercului este R = M C = 6 − 8
3 = 10
3 .
R˘aspuns corect: (c). □
25. ˆIn planul xOy consider˘am punctele A(3, √3) ¸si B(4, 0). Atunci unghiul dintre ˆın˘alt¸imea ¸si
mediana ∆AOB care pleac˘a din unghiul A are m˘asura egal˘a cu:
9

Barem · pagina 10

(a) π
12; (b) π
4 ; (c) π
3 ; (d) π
6 .
Solut¸ie. S˘a not˘am cu D piciorul perpendicularei care pleac˘a din punctul A ¸si cu C punctul de intersect¸ie
dintre mediana care pleac˘a din punctul A ¸si axa Ox. Atunci C(2, 0) ¸si D(3, 0). Rezult˘a c˘a
sin \DAC = CD
AC = 1
2.
Rezult˘a c˘a m
\DAC

= π
6 .
R˘aspuns corect: (d). □
10
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2025Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2025Informatică · Modelul 11Deschide fișa Model de pregătire · 2025Informatică · Modelul 12Deschide fișa Model de pregătire · 2025Matematică · Modelul 12Deschide fișa Examen de admitere · 2026Informatică · Varianta ADeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2025 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.