Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Model de pregătire · Matematică · 2022

Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 5 pagini

Subiect · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere sesiunea iulie 2022
Domeniile: Calculatoare ¸si tehnologia informat¸iei
Ingineria sistemelor (Automatic˘a ¸si informatic˘a aplicat˘a)
Model 9 test admitere AC - 2022
Problema 1 Produsul solut¸iilor ecuat¸iei √1 − x + √x = 1 este:
(a) 0
(b) 2
(c) −1
(d) 1
Problema 2 Dac˘a a, b, c sunt determinate astfel ˆıncˆat s˘a aib˘a loc egalitatea lim
x→0
1
x3
x∫
0
(a + b cos 2t + c sin t) dt = 1
3
atunci S = |a| + |b| + |c| este egal˘a cu:
(a) 4
(b) 1
(c) 3
(d) 2
Problema 3 Mult¸imea valorilor lui a ∈ R pentru care ecuat¸ia ln(1 + 2x) − x2 = a are o singur˘a solut¸ie strict negativ˘a
este:
(a) (−∞, 0)
(b)
(
−∞, 1
2
)
(c) (1, e + 1)
(d) (−∞, 1)
Problema 4 Valoarea parametrului a ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul



ax − y + z = 0
2x + y − z = 0
x + y + 2z = 0
s˘a aib˘a ¸si solut¸ii nenule este:
(a) a = −1
(b) a = 4
(c) a = −2
(d) a = 0
Problema 5 Valoarea num˘arului x ∈ R astfel ˆıncˆat numerele x, 8, 3x+2 s˘a fie (ˆın aceast˘a ordine) ˆın progresie aritmetic˘a
este:
(a) 7
2
(b) 2
(c) 1
1

Subiect · pagina 2

(d) 5
2
Problema 6 Fie M mult¸imea valorilor parametrului m ∈ R pentru care dreptele de ecuat¸ii d1 : mx + y = 2 ¸si d2 :
x + my = 1 sunt paralele. Atunci:
(a) M = {−1, 1}
(b) M = ∅
(c) M = {1, 2}
(d) M = {−1, 2}
Problema 7 Rangul matricei A =
(2 a −5
b 3 −1
)
este 1 pentru:
(a) a = 15, b = 2
5
(b) a = 3, b = 1
(c) a = 5, b = 1
(d) a = −15, b = −2.
Problema 8 Valoarea parametrului m ∈ R pentru care vectorii ~u = (2m + 1)~i + 3~j ¸si ~v = –~i + ~j sunt ortogonali este:
(a) m = −1
(b) m = 0
(c) m = 1
(d) m = 2
Problema 9 Se consider˘a triunghiul ABC de vˆarfuri A(0, 2), B(2, 0) ¸si C(4, 0). Centrul cercului circumscris triunghiului
ABC are coordonatele
(a) (0, 0)
(b) (3, 3)
(c) (2, 1)
(d) (2, 3)
Problema 10 Valoarea expresiei E = lg3 5 + lg3 20 + lg 8 · lg 0, 25 este:
(a) 2
(b) −1
(c) 5
(d) 4
Problema 11 Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel de arie 18 este:
(a) 4
(b) 9
(c) 3
(d) 6
Problema 12 Unghiurilê A,̂ B,̂ C ale triunghiului ABC satisfac condit¸ia
ctg A + ctg B = 2ctg C.
Care este relat¸ia verificat˘a de laturile a, b, c ale triunghiului ABC?
2

Subiect · pagina 3

(a) a2 + b2 = c2
(b) a2 − b2 = 2c2
(c) a2 + b2 = 2c2
(d) a2 · b2 = 2c2
Problema 13 Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie x∗y = xy+2ax+by. Relat¸ia dintre a ¸si b care asigur˘a comutativitatea
legii de compozit¸ie este:
(a) a − b = 2
(b) a = b
2
(c) nu exist˘a
(d) a = b
Problema 14 Suma solut¸iilor ecuat¸iei
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 x 0
x −1 x
2 −5 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0 este:
(a) 5
(b) 2
(c) 6
(d) −1
Problema 15 Fie f : C → C, f (z) = z2 + z + 1. Atunci f
(
−1 + i√3
2
)
este:
(a) i
(b) 0
(c) 3i
(d) −2i
Problema 16 Suma numerelor naturale mai mari sau egale cu 2 care satisfac inegalitatea
(
1 + 1
n
)
· C2
n < 8 este:
(a) 6
(b) 25
(c) 9
(d) 8
Problema 17 Cea mai mic˘a valoarea posibil˘a a integralei
1∫
−1
(x2 − ax + b)2dx pentru a, b ∈ R este:
(a) 0
(b) 8
45
(c) 4
45
(d) 1
Problema 18 Pentru ce valori ale lui m matricea A =
( 1 m
m 4
)
admite invers˘a?
(a) m 6 = 0
3

Subiect · pagina 4

(b) m 6 = ±1
(c) m 6 = ±2
(d) m 6 = ±4
Problema 19 Media aritmetic˘a a punctelor critice ale funct¸iei f : R∗ → R, f (x) = x + 1
x este:
(a) −1
(b) 1
(c) 2
(d) 0
Problema 20 Valoarea ˆıntreag˘a a num˘arului x astfel ˆıncˆat al treilea termen al dezvolt˘arii (x + xlg x)5 s˘a fie 106 este
(a) x = 10
(b) x = 6
(c) x = 100
(d) x = 8
Problema 21 Fie matricele A =
(1 0
2 3
)
¸si B =
(2 2
1 6
)
. Dac˘a X = 3A − B atunci determinantul matricei X este:
(a) 13
(b) 2
(c) 0
(d) 20
Problema 22 Valoarea expresiei E = cos 23π
12 sin π
12 este:
(a) 1
2
(b) 1
4
(c) 1
8
(d) 1
3
Problema 23 Valoarea limitei:
lim
x→ π
4
tgn x − 1
2 sin2 x − 1 este
(a) 0
(b) n
(c) 1
(d) ∞
Problema 24 Valoarea maxim˘a a funct¸iei f (x) = sin2m x · cos2n x cu m, n ∈ N se atinge pentru:
(a) sin2 x = 0
(b) sin2 x = 1
(c) sin2 x = m
n + m
4

Subiect · pagina 5

(d) sin2 x = −1
Problema 25 Consider˘am matricea A =


1 0 0
0 3 0
0 0 5

 ∈ M3(R). Atunci An −


0 0 0
0 3n 0
0 0 5n

 este:
(a)


1 2n 0
0 3n 4n
0 0 5n


(b)


1 0 0
0 0 0
0 0 0


(c) I3
(d) O3
5
Deschide documentul original
Barem · 10 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere sesiunea iulie 2022
Domeniile: Calculatoare ¸si tehnologia informat¸iei
Ingineria sistemelor (Automatic˘a ¸si informatic˘a aplicat˘a)
Model 9 test admitere AC - 2022 - Solut¸ii
Problema 1 Produsul solut¸iilor ecuat¸iei √1 − x + √x = 1 este:
(a) 0
(b) 2
(c) −1
(d) 1
Solut¸ie: Condit¸iile de existent¸˘a pentru cei doi radicali sunt:
{
1 − x ≥ 0
x ≥ 0 →
{
x ≤ 1
x ≥ 0 → x ∈ [0, 1].
Izol˘am un radical ¸si obt¸inem √1 − x = 1 − √x. Prin ridicarea la p˘atrat a relat¸iei precedente obt¸inem:
1 − x = 1 − 2√x + x → 2√x = 2x → √x = x.
Ridic˘am ˆınc˘a o dat˘a la p˘atrat ¸si obt¸inem:
x2 − x = 0 → x(x − 1) = 0 →
{
x1 = 0
x2 = 1
Observ˘am c˘a {0, 1} ⊂ [0, 1] prin urmare ambele solut¸ii convin, produsul acestora fiind 0.
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 2 Dac˘a a, b, c sunt determinate astfel ˆıncˆat s˘a aib˘a loc egalitatea lim
x→0
1
x3
x∫
0
(a + b cos 2t + c sin t) dt = 1
3
atunci S = |a| + |b| + |c| este egal˘a cu:
(a) 4
(b) 1
(c) 3
(d) 2
Solut¸ie: Vom calcula mai ˆıntˆai valoarea integralei:
I(x) =
x∫
0
(a + b cos 2t + c sin t) dt = at
∣
∣
∣
∣
x
0
+ b sin 2t
2
∣
∣
∣
∣
x
0
− c cos t
∣
∣
∣
∣
x
0
= ax + b sin 2x
2 − c cos x + c (1)
Vom trece acum la calcularea limitei:
L = lim
x→0
1
x3
x∫
0
(a + b cos 2t + c sin t) dt = lim
x→0
1
x3
(
ax + b sin 2x
2 − c cos x + c
)
(2)
Observ˘am c˘a pentru x → 0 vom obt¸ine cazul de nedeterminare 0
0 , prin urmare vom calcula limita folosind regula lui
l’Hospital:
L = lim
x→0
1
3x2 (a + b cos 2x + c sin x) (3)
1

Barem · pagina 2

Acum dac˘a a + b 6 = 0 am obt¸ine c˘a L = ∞ contradict¸ie cu cerint¸a problemei. Prin urmare vom considera a + b = 0 ¸si
vom aplica din nou regula lui l’Hospital.
L = lim
x→0
1
6x (−b sin 2x + c cos x) (4)
Dorim ca limita s˘a fie una finit˘a deci vom impune condit¸ia ca c = 0. Limita de calculat devine:
L = lim
x→0
( −b sin 2x
6x
)
= − b
3 lim
x→0
sin 2x
2x = − b
3 (5)
Avem acum de rezolvat ecuat¸ia:
− b
3 = 1
3 → b = −1
Revenim la condit¸iile impuse pe parcusul rezolv˘arii pentru a determina parametrii r˘ama¸si:
{
a + b = 0
c = 0 →



a = 1
b = −1
c = 0
Atunci:
S = |a| + |b| + |c| = 1 + 1 + 0 = 2.
R˘aspunsul corect este (d).
Problema 3 Mult¸imea valorilor lui a ∈ R pentru care ecuat¸ia ln(1 + 2x) − x2 = a are o singur˘a solut¸ie strict negativ˘a
este:
(a) (−∞, 0)
(b)
(
−∞, 1
2
)
(c) (1, e + 1)
(d) (−∞, 1)
Solut¸ie: Din condit¸iile de existent¸˘a pentru logaritm obt¸inem 1 + 2x > 0 → 2x > −1 → x ∈
(
− 1
2 , ∞
)
.
Studiem acum funct¸ia f (x) = ln(1 + 2x) − x2, f :
(
− 1
2 , ∞
)
→ R.
Avem:
f ′(x) = 2
1 + 2x − 2x = −2(2x2 + x − 1)
1 + 2x .
Se observ˘a c˘a f ′(x) = 0 ↔ 2x2 + x − 1 ⇔



x1 = −1
x2 = 1
2
.
Din cele dou˘a solut¸ii scrise anterior cea care convine este 1
2 ∈
(
− 1
2 , ∞
)
. Dorim s˘a ˆıntocmim tabelul de variat¸ie pentru
funct¸ia f . Pentru aceasta avem:
ˆ f
( 1
2
)
= ln 2 − 1
4 ¸si f (0) = 0
ˆ lim
x→− 1
2
f (x) = lim
x→− 1
2
ln(1 + 2x) − x2 = −∞ − 1
4 = −∞
ˆ L = lim
x→∞ f (x) = lim
x→∞ x2
( ln(1 + 2x)
x2 − 1
)
Mai ˆıntˆai observ˘am c˘a:
lim
x→∞
ln(1 + 2x)
x2
l′H
= 2
2x(1 + 2x) = 0.
Revenim la limita precedent˘a ¸si obt¸inem:
L = ∞ · (−1) = −∞
2

Barem · pagina 3

Se observ˘a c˘a ln 2 − 1
4 > 0 (inegalitatea revine, ˆın urma exponent¸ierii la 16 ¿ e, adev˘arat), deci punctul de maxim al
funct¸iei f se afl˘a deasupra axei Ox. Folosind graficul funct¸iei f , examin˘am ecuat¸ia f (x) = a. Distingem urm˘atoarele
cazuri:
(i) pentru a > ln 2 − 1
4 , dreapta y = a nu intersecteaz˘a graficul funct¸iei f deci a nu ˆıntrune¸ste condit¸ia impus˘a de
definit¸ia mult¸imii M;
(ii) pentru a = ln 2 − 1
4 , dreapta intersecteaz˘a graficul ˆıntr-un punct dublu de abscis˘a nenegativ˘a x1 = x2 = 1
2 , deci
a /∈ M ;
(iii) pentru a ∈
(
0, ln 2 − 1
4
)
dreapta intersecteaz˘a graficul ˆın dou˘a puncte de abscise strict pozitive x1,2 > 0, deci
a /∈ M ;
(iv) pentru a = 0, dreapta intersecteaz˘a graficul ˆın dou˘a puncte de abscise x1 = 0 respectiv x2 > 0, deci a /∈ M ;
(v) pentru a < 0, dreapta intersecteaz˘a graficul ˆın dou˘a puncte de abscise x1 ∈
(
− 1
2 , 0
)
, respectiv x2 > 0, deci a ∈ M ,
singurul caz favorabil.
ˆIn concluzie, M = (−∞, 0). R˘aspunsul corect este (a).
Problema 4 Valoarea parametrului a ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul



ax − y + z = 0
2x + y − z = 0
x + y + 2z = 0
s˘a aib˘a ¸si solut¸ii nenule este:
(a) a = −1
(b) a = 4
(c) a = −2
(d) a = 0
Solut¸ie: Sistemul este omogen ¸si admite ¸si solut¸ii nebanale dac˘a ¸si numai dac˘a rangul matricei coeficient¸ilor necunos-
cutelor este mai mic decˆat num˘arul de necunoscute. ˆIn cazul nostru, aceast˘a condit¸ie revine la anularea determinantului
matricei coeficient¸ilor necunoscutelor. Avem:
A =


a −1 1
2 1 −1
1 1 2


Fiind vorba despre o matrice p˘atratic˘a putem s˘a calcul˘am valoarea determinantului ata¸sat pentru ca ulterior s˘a purt˘am
discut¸ia legat˘a de rang ˆın funct¸ie de valoarea obt¸inut˘a. Avem det A = 3a + 6. Obt¸inem rang A = 2 pentru a = −2.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 5 Valoarea num˘arului x ∈ R astfel ˆıncˆat numerele x, 8, 3x+2 s˘a fie (ˆın aceast˘a ordine) ˆın progresie aritmetic˘a
este:
(a) 7
2
(b) 2
(c) 1
(d) 5
2
Solut¸ie: Pentru ca cele trei numere s˘a fie ˆın progresie artimetic˘a al doilea num˘ar trebuie s˘a reprezinte media aritmetic˘a
a celorlalte dou˘a. Avem:
8 = x + 3x + 2
2 → 4x + 2 = 16 → x = 7
2 .
R˘aspunsul corect este (a).
3

Barem · pagina 4

Problema 6 Fie M mult¸imea valorilor parametrului m ∈ R pentru care dreptele de ecuat¸ii d1 : mx + y = 2 ¸si d2 :
x + my = 1 sunt paralele. Atunci:
(a) M = {−1, 1}
(b) M = ∅
(c) M = {1, 2}
(d) M = {−1, 2}
Solut¸ie: Condit¸ia de paralelism revine la m
1 = 1
m 6 = 2
1 . Obt¸inem deci m ± 1, iar M = {−1, 1}.
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 7 Rangul matricei A =
(2 a −5
b 3 −1
)
este 1 pentru:
(a) a = 15, b = 2
5
(b) a = 3, b = 1
(c) a = 5, b = 1
(d) a = −15, b = −2.
Solut¸ie: Rangul unei matrice reprezint˘a ordinul celui mai mare minor nenul al matricei propuse. ˆIn cazul exercit¸iului de
fat¸˘a rangul va fi 1 dac˘a tot¸i minorii de ordinul 2 vor fi nuli. Avem de analizat:
∆1 =
∣
∣
∣
∣2 a
b 3
∣
∣
∣
∣ = 6 − ab
∆2 =
∣
∣
∣
∣2 −5
b −1
∣
∣
∣
∣ = −2 + 5b
Avem de rezolvat sistemul: {
6 − ab = 0
−2 + 5b = 0 ⇔



a = 15
b = 2
5
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 8 Valoarea parametrului m ∈ R pentru care vectorii ~u = (2m + 1)~i + 3~j ¸si ~v = –~i + ~j sunt ortogonali este:
(a) m = −1
(b) m = 0
(c) m = 1
(d) m = 2
Solut¸ie: Condit¸ia de ortogonalitate se scrie cu ajutorul produsului scalar. Avem ~u ⊥ ~v ⇔ 〈~u, ~v〉 = 0. Pe de alt˘a parte
folosind definit¸ia produsului scalar avem 〈~u, ~v〉 = −2m − 1 + 3 = −2m + 2. Observ˘am c˘a produsul scalar va fi nul pentru
m = 1.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 9 Se consider˘a triunghiul ABC de vˆarfuri A(0, 2), B(2, 0) ¸si C(4, 0). Centrul cercului circumscris triunghiului
ABC are coordonatele
(a) (0, 0)
(b) (3, 3)
(c) (2, 1)
(d) (2, 3)
4

Barem · pagina 5

Solut¸ie: Amintim faptul c˘a centrul cercului circumscris unui triunghi se afl˘a la intersect¸ia mediatoarelor. Mediatoarea era
perpendiculara dus˘a prin mujlocul laturii. Mijlocul segmentului AB este M (1, 1), panta dreptei AB este m = yB − yA
xB − xA
=
−1, deci mediatoarea segmentului AB (perpendicularea pe AB care trece prin M) are ecuat¸ia m1 : y−yM = −1
m (x−xM ) →
y = x. Mijlocul segmentului BC este N (3, 0), deci mediatoarea segmentului BC (perpendicularea pe BC care trece prin
N) are ecuat¸ia m2 : x = 3. Centrul c˘autat se afl˘a la intersect¸ia celor dou˘a mediatoare, deci este solut¸ie a sistemului:
{
y = x
x = 3 →
{
x = 3
y = 3
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 10 Valoarea expresiei E = lg3 5 + lg3 20 + lg 8 · lg 0, 25 este:
(a) 2
(b) −1
(c) 5
(d) 4
Solut¸ie: Pentru a determina valoarea expresiei vom folosi urm˘atoarele notat¸ii:
a = lg 5, b = lg 2 → a + b = 1.
Rescriem acum cantit˘at¸ile care apar ˆın expresie ˆın funct¸ie de a ¸si b:



lg3 5 = a3
lg3 20 = (a + 2b)3
lg 8 = 3b
lg 0, 25 = lg 1
4 = −2b
Expresia de calculat devine:
E = a3 + (a + 2b)3 + 3b · (−2b) = (a + a + 2b) · (a2 − a(a + 2b) + (a + 2b)2) − 6b2
= [2(a + b)] · [(a + b)2 + 3b2] − 6b2 = 2(1 + 3b2) − 6b2 = 2
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 11 Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel de arie 18 este:
(a) 4
(b) 9
(c) 3
(d) 6
Solut¸ie: Notˆand cu c lungimea celor dou˘a catete egale ale unui triunghi dreptunghic isoscel ¸si cu A aria acestuia, are loc
relat¸ia:
A = c2
2
ˆInlocuind aria dat˘a, obt¸inem 18 = c2
2 → c = 6.
R˘aspunsul corect este (d).
Problema 12 Unghiurilê A,̂ B,̂ C ale triunghiului ABC satisfac condit¸ia
ctg A + ctg B = 2ctg C.
Care este relat¸ia verificat˘a de laturile a, b, c ale triunghiului ABC?
(a) a2 + b2 = c2
5

Barem · pagina 6

(b) a2 − b2 = 2c2
(c) a2 + b2 = 2c2
(d) a2 · b2 = 2c2
Solut¸ie: Rescriem mai ˆıntˆai relat¸ia din enunt¸ folosind definit¸ia pentru funct¸ia trigonometric˘a cotangent˘a:
cos A
sin A + cos B
sin B = 2 cos C
sin C ⇔ cos A sin B + cos B sin A
sin a sin B = 2 cos C
sin C
Vom rescrie acum num˘ar˘atorul expresiei din primul membru folosind formula pentru sinusul sumei:
cos A sin B + cos B sin A = sin(A + B) A+B+C=π
= sin(π − C) = sin C
ˆIn baza celor scrise anterior condit¸ia din ipotez˘a devine:
sin C
sin A · sin B = 2 cos C
sin C
ˆIn relat¸ia precedent˘a aplic˘am teorema cosinusului pentru unghiul C ¸si teorema sinusului pentru toate unghiurile.
c
2R
a
2R · b
2R
= 2
a2+b2−c2
2ab
c
2R
⇒ 2c2 = a2 + b2.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 13 Pe R se define¸ste legea de compozit¸ie x∗y = xy+2ax+by. Relat¸ia dintre a ¸si b care asigur˘a comutativitatea
legii de compozit¸ie este:
(a) a − b = 2
(b) a = b
2
(c) nu exist˘a
(d) a = b
Solut¸ie: Legea de compozit¸ie este comutativ˘a dac˘a x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ R. Obt¸inem:
xy + 2ax + by = yx + 2ay + bx ⇔ (2a − b)(x − y) = 0 ⇒ a = b
2 .
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 14 Suma solut¸iilor ecuat¸iei
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 x 0
x −1 x
2 −5 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0 este:
(a) 5
(b) 2
(c) 6
(d) −1
Solut¸ie: Vom determina mai ˆıntˆai valoarea determinantului pentru a putea identifica solut¸iile ecuat¸iei propuse. Se obt¸ine:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 x 0
x −1 x
2 −5 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0 ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 →



x1 = 5 − 3
2 = 1
x2 = 5 + 3
2 = 4
Suma solut¸iilor este x1 + x2 = 5.
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 15 Fie f : C → C, f (z) = z2 + z + 1. Atunci f
(
−1 + i√3
2
)
este:
6

Barem · pagina 7

(a) i
(b) 0
(c) 3i
(d) −2i
Solut¸ie: Pentru ˆınceput observ˘am c˘a (2z + 1)2 = (i√3)2 = −3 ⇔ 4z2 + 4z + 1 = −3 ↔ z2 + z + 1 = 0.
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 16 Suma numerelor naturale mai mari sau egale cu 2 care satisfac inegalitatea
(
1 + 1
n
)
· C2
n < 8 este:
(a) 6
(b) 25
(c) 9
(d) 8
Solut¸ie: Existent¸a fract¸iei din enunt¸ duce la condit¸ia n > 0, care ˆımpreun˘a cu condit¸ia din enunt¸ implic˘a n ∈ N, n ≥ 2.
Inecuat¸ia se rescrie sub forma:
n + 1
n · n(n − 1)
2 < 8 ⇔ n2 − 17 < 0 → n ∈ (−√17, √17).
Prin urmare
n ∈ (−√17, √17) ∩ {2, 3, 4, 5, . . .} = {2, 3, 4}.
Solut¸ia c˘autat˘a este 2 + 3 + 4 = 9.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 17 Cea mai mic˘a valoarea posibil˘a a integralei
1∫
−1
(x2 − ax + b)2dx pentru a, b ∈ R este:
(a) 0
(b) 8
45
(c) 4
45
(d) 1
Solut¸ie: Vom calcula mai ˆıntˆai valoarea integralei:
1∫
−1
(x2 − ax + b)2dx =
1∫
−1
(x4 + a2x2 + b2x2 − 2bx3 − 2ax2 + 2abx) dx =
( x5
5 + a2x3
3 + b2x3
3 − 2b x4
4 − 2a x3
3 + 2ab x2
2
) ∣
∣
∣
∣
1
−1
= 2a2 − 4a
3 + 2
5 + 2b2
3 = 2
(
a − 1
3
)2
+ 2b2
3 + 8
45 ≥ 8
45 .
(6)
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 18 Pentru ce valori ale lui m matricea A =
( 1 m
m 4
)
admite invers˘a?
(a) m 6 = 0
(b) m 6 = ±1
(c) m 6 = ±2
(d) m 6 = ±4
7

Barem · pagina 8

Solut¸ie: Matricea A admite invers˘a dac˘a determinantul s˘au este nenul. Avem:
det M = 4 − m2 → det M 6 = 0 ⇔ m 6 = ±2.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 19 Media aritmetic˘a a punctelor critice ale funct¸iei f : R∗ → R, f (x) = x + 1
x este:
(a) −1
(b) 1
(c) 2
(d) 0
Solut¸ie: Punctele critice sunt solut¸iile ecuat¸iei f ′(x) = 0. Cal cul˘am mai ˆıntˆai derivata funct¸iei:
f ′(x) = 1 − 1
x2 = x2 − 1
x2 .
Din f ′(x) = 0 obt¸inem x = ±1. Media aritmetic˘a este 0.
R˘aspunsul corect este (d).
Problema 20 Valoarea ˆıntreag˘a a num˘arului x astfel ˆıncˆat al treilea termen al dezvolt˘arii (x + xlg x)5 s˘a fie 106 este
(a) x = 10
(b) x = 6
(c) x = 100
(d) x = 8
Solut¸ie: Avem Tk+1 = Ck
nan−kbk, a = x, b = xlg x. Impunem condit¸ia ca
T3 = C2
5 x3(xlg x)2 = 10 · x3+2lg x = 106 → x3+2lg x = 105
Din relat¸ia anterioar˘a obt¸inem:
(3 + 2lg x)lg x = 5
Avem de rezolvat ecuat¸ia de gradul al II-lea ˆın lg x:
2lg2x + 3lg x − 5 = 0
Obt¸inem solut¸iile: 


lg x = − 5
2
lg x = 1
Prima solut¸ie nu convine, prin urmare x = 10.
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 21 Fie matricele A =
(1 0
2 3
)
¸si B =
(2 2
1 6
)
. Dac˘a X = 3A − B atunci determinantul matricei X este:
(a) 13
(b) 2
(c) 0
(d) 20
Solut¸ie: Vom identifica mai ˆıntˆai component¸a matricei X:
X = 3
(1 0
2 3
)
−
(2 2
1 6
)
=
(1 −2
5 3
)
, det X = 13
R˘aspunsul corect este (a).
8

Barem · pagina 9

Problema 22 Valoarea expresiei E = cos 23π
12 sin π
12 este:
(a) 1
2
(b) 1
4
(c) 1
8
(d) 1
3
Solut¸ie: Avem:
cos 23π
12 = cos
(
π − π
12
)
= cos π
12 .
Expresia de calculat se rescrie sub forma:
E = cos π
12 sin π
12 = 1
2 sin π
6 = 1
4 .
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 23 Valoarea limitei:
lim
x→ π
4
tgn x − 1
2 sin2 x − 1 este
(a) 0
(b) n
(c) 1
(d) ∞
Solut¸ie:
lim
x→ π
4
tgn x − 1
2 sin2 x − 1 = lim
x→ π
4
(tg x − 1)(tgn−1 x + tgn−2 x + · · · + 1)
2 (sin x − sin π
4
) (sin x + sin π
4
) = lim
n→ π
4
n
2√2
tg x − tg π
4
sin x − sin π
4
= lim
x→ π
4
n
2√2 · sin (x − π
4
)
2 cos x cos π
4 sin x − π
4
2 cos x + π
4
2
= lim
x→ π
4
n
2√2
2 sin x − π
4
2 cos x − π
4
2
sin x − π
4
2 cos x + π
4
2
= n
(7)
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 24 Valoarea maxim˘a a funct¸iei f (x) = sin2m x · cos2n x cu m, n ∈ N se atinge pentru:
(a) sin2 x = 0
(b) sin2 x = 1
(c) sin2 x = m
n + m
(d) sin2 x = −1
Solut¸ie: Not˘am cu sin2 x = u, u ∈ [0, 1]. Deci funct¸ia de analizat devine:
f (x) = F (u) = um(1 − u)n.
Calcul˘am derivata
F ′(u) = mum−1(1 − u)n − num(1 − u)n−1 = um−1(1 − u)n−1(m − mu − nu)
9

Barem · pagina 10

Observ˘am c˘a aceast˘a derivat˘a se anuleaz˘a pentru:



u = 0
u = 1
u = m
n + m
Pentru u = 0 ¸si u = 1 obt¸inem f (x) = 0. Pentru u = m
n + m funct¸ia f ia valoarea f = mm · nn
(m + n)m+n .
Pentru a stabili natura extremului calcul˘am a dou˘a derivat˘a a funct¸iei F ¸si obt¸inem:
F ′′
= [um−1(1 − u)n−1]′[m − u(m + n)] + um−1(1 − u)n−1[−m − n]
Observ˘am c˘a F ′′
( m
m + n
)
= mm−1
(m + n)m−1
nn−1
(m + n)n−1 [−m − n] < 0 deci acesta este un punct de maxim.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 25 Consider˘am matricea A =


1 0 0
0 3 0
0 0 5

 ∈ M3(R). Atunci An −


0 0 0
0 3n 0
0 0 5n

 este:
(a)


1 2n 0
0 3n 4n
0 0 5n


(b)

1 0 0
0 0 0
0 0 0


(c) I3
(d) O3
Solut¸ie: Vom calcula mai ˆıntˆai An. Pentru aceasta observ˘am:
A2 =


1 0 0
0 3 0
0 0 5

 ·


1 0 0
0 3 0
0 0 5

 =


1 0 0
0 9 0
0 0 25

 , A3 =


1 0 0
0 27 0
0 0 125

 , A4 =


1 0 0
0 81 0
0 0 625

 . . . An =


1 0 0
0 3n 0
0 0 5n


R˘aspunsul corect este (b).
10
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2022Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 7Deschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 8Deschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 9Deschide fișa Model de pregătire · 2022Matematică · Modelul 7Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.