Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Model de pregătire · Matematică · 2022

Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 6 pagini

Subiect · pagina 1

Model 7 test admitere AC - 2022
1. Mul∏timea valorilor parametrului  2 R pentru care
x2  2x +  < 0
are loc pentru orice x 2 [0; 1] este:
(a) (0; 1);
(b) [0; 1];
(c) ;;
(d) (1; 0) [ (1; 1).
2. Mul∏timea valorilor reale ale lui x pentru care
px  a + px  b + px  c + d = 0; a; b; c; d 2 R; d > 0;
este:
(a) ;;
(b)
n
pja  cj; pjbj
o
;
(c)
n
pjaj; pjcj
o
;
(d)


qja+b+cj
2 ;
qja+b+cj
2

.
3. Mul∏timea solu∏tiilor inecua∏tiei r1 + 4x
x < 1
este:
(a) 1
3 ; 0;
(b) 1; 1
4
 [ (0; 1);
(c) 1
3 ; 1
4
;
(d) 1; 1
4
 [ (0; 1).
4. Mul∏timea valorilor parametrului real m pentru care func∏tia
f : R ! R; f (x) =
(
x2 + 2mx  1; x  0
mx  1; x > 1
este injectivºa pe R este:
(a) (1; 1);
(b) (1; 1);
(c) (1; 0);
(d) (0; 1). 1

Subiect · pagina 2

2
5. Valoarea expresiei
E =
q
9  4p5 +
q
9 + 4p5
este:
(a) 4;
(b) 2p5;
(c) 18;
(d) 6.
6. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale ecua∏tiei
ex + 1 = 2ex
este
(a) f0g
(b) f2; 1g;
(c) f1g;
(d) ;.
7. Dacºa log12 2 = k, atunci log6 16 are valoarea
(a) k
1k ;
(b) 1k
k ;
(c) 4k
1k ;
(d) 1k
4k .
8. Mul∏timea valorilor parametrului real m pentru care inegalitatea
(m  2)4x + (2m  3)2x+1 + m > 2
este adevºaratºa pentru orice x 2 R este:
(a) [2; 1);
(b) (2; 1);
(c) (1; 2);
(d) (1; 0) [ (2; 1).
9. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale inecua∏tiei
log3 x > log9(5x  4)
este
(a) 0; 4
5
 [ (1; 1);
(b) (0; 1) [ (4; 1);
(c) 4
5 ; 1 [ (4; 1);
(d) R.

Subiect · pagina 3

3
10. Numºarul termenilor care nu Ól con∏tin pe x Ón dezvoltarea
 4
q
xpx + 2
3
px
2022
;
este egal cu:
(a) 1;
(b) 0;
(c) 10;
(d) 237.
11. Fie matricea
A =
0
@ 1 4 0
0 3 1
2 0 1
1
A :
Valoarea lui d = det(A1) este:
(a) d = 1;
(b) d = 11;
(c) d = 1
11 ;
(d) matricea A nu este inversabilºa.
12. Dacºa an = Pn
k=2 ln 1  1
k2
, n  2, atunci:
(a) an+1 < an, limn!1 an = ln 2;
(b) an+1 < an, limn!1 an = ln 1
2 ;
(c) an < an+1, limn!1 an = 1
ln 2 ;
(d) an+1 < an, limn!1 an = 1  ln 2.
13. Fie ∏sirul de numere reale
a1 = 1; an+1 =
(
an + 1
2 ; n = par
an
3 ; n = impar:
Atunci limita limn!1 a2n+1:
(a) nu existºa;
(b) are valoarea 1
2 ;
(c) are valoarea 2
3 ;
(d) are valoarea 3
4 .
14. Se considerºa ∏sirul de numere reale
xn = 2 + (1)n
2n + (1)n ; 8n 2 N:
Atunci

Subiect · pagina 4

4
(a) ∏sirul este crescºator;
(b) nu existºa limn!1 xn ;
(c) nu existºa limn!1 xn+1
xn ;
(d) maxn2N xn = 1.
15. Valoarea limitei L = limx!1(sin(ln(x + 1))  sin(ln x)) este:
(a) L = p2
2 ;
(b) L = 1;
(c) L = 1;
(d) L = 0.
16. Valorile parametrului m 2 R pentru care func∏tia
f : R ! R; f (x) = mx  ln x2 + 1
este crescºatoare pe R sunt:
(a) m  1;
(b) m 2 (0; 1];
(c) m  1;
(d) m 2 [0; 1].
17. Fie func∏tia f : R ! R, deÖnitºa prin
f (x) = x2
e1x :
Valoarea lui n 2 N pentru care f (n)(1) = 57 este:
(a) n = 6;
(b) n = 8;
(c) n = 7;
(d) n = 10.
18. Derivata func∏tiei
f :

0; 
2

! R; f (x) = arctan
r1  cos x
1 + cos x
este:
(a) x;
(b) 2x;
(c) 1
2 ;
(d) x2.

Subiect · pagina 5

5
19. Fie I = R 2
0 f (x)dx, unde func∏tia f : [0; 2] ! R este datºa prin
f (x) = min

x; 2
1 + x2

:
Atunci:
(a) I = 1
2 + 2 arctan 2  
2 ;
(b) I = 1
2 + 2 arctan 2  
2 ;
(c) I = 2;
(d) I = 2 arctan 2.
20. Fie punctul A(4; 2) Ón plan. Punctele situate pe axa (Oy) la distan∏tºa d = 2p5 de
A sunt:
(a) (2p5; 0); (2p5; 0);
(b) (0; 2p5); (0; 2p5);
(c) (0; 0); (0; 4);
(d) (0; 0); (8; 0).
21. Dacºa Ón 4ABC avem m
 ^B

= 
6 ∏si m
 ^C

= 
4 atunci:
(a) jABj = p2jACj;
(b) 4ABC este isoscel;
(c) jACj = 1
2 jBCj;
(d) jBCj = 1
2 jACj.
22. Dreapta care trece prin punctele A(1; 1) ∏si B 3
2 ; 1 are ecua∏tia:
(a) 5x  3y + 1 = 0;
(b) 4x + 5y  1 = 0;
(c) 2x  3
2 y + 1 = 0;
(d) 2y + 7 = 0.
23. Valorile parametrului real m pentru care vectorii a = mi + 2j ∏si b = i + mj sunt
coliniari, sunt:
(a) m 2 f2; 2g;
(b) m 2 fp2; p2g;
(c) m = 2;
(d) m = p2.
24. Partea imaginarºa a numºarului E = 1 + i + i2 +    + i2022 este egalºa cu:
(a) 1;
(b) 0;
(c) 2;

Subiect · pagina 6

6
(d) 1.
25. Numºarul solu∏tiilor din intervalul [0; ] ale ecua∏tiei sin 2x = cos2 x este:
(a) 1;
(b) 2;
(c) 3;
(d) o inÖnitate.
Deschide documentul original
Barem · 8 pagini

Barem · pagina 1

Model 7 test admitere AC - 2022
1. Mul∏timea valorilor parametrului  2 R pentru care
x2  2x +  < 0
are loc pentru orice x 2 [0; 1] este:
(a) (0; 1);
(b) [0; 1];
(c) ;;
(d) (1; 0) [ (1; 1).
Solu∏tie. Considerºam ecua∏tia polinomialºa de gradul 2
x2  2x +  = 0;
cu  = 4(  1). Se studiazºa valorile posibile ale rºadºacinilor ecua∏tiei ∏si se ∏tine cont cºa
inegalitatea are loc dacºa ∏si numai dacºa  > 0 ∏si rºadºacinile x1 < x2 sunt reale, astfel Ónc‚t
[0; 1]  [x1; x2].
Rºaspuns corect: (c): 
2. Mul∏timea valorilor reale ale lui x pentru care
px  a + px  b + px  c + d = 0; a; b; c; d 2 R; d > 0;
este:
(a) ;;
(b)
n
pja  cj; pjbj
o
;
(c)
n
pjaj; pjcj
o
;
(d)


qja+b+cj
2 ;
qja+b+cj
2

.
Solu∏tie. Se observºa cºa px  a  0, px  b  0, px  c  0 ∏si se ∏tine cont cºa d > 0.
Rºaspuns corect: (a): 
3. Mul∏timea solu∏tiilor inecua∏tiei r1 + 4x
x < 1
este:
(a) 1
3 ; 0;
(b) 1; 1
4
 [ (0; 1);
(c) 1
3 ; 1
4
;
(d) 1; 1
4
 [ (0; 1).
1

Barem · pagina 2

2
Solu∏tie. Se rezolvºa inegalitºa∏tile 1+4x
x  0 ∏si 1+4x
x < 1.
Rºaspuns corect: (c): 
4. Mul∏timea valorilor parametrului real m pentru care func∏tia
f : R ! R; f (x) =
(
x2 + 2mx  1; x  0
mx  1; x > 1
este injectivºa pe R este:
(a) (1; 1);
(b) (1; 1);
(c) (1; 0);
(d) (0; 1).
Solu∏tie. Fie f1 : R ! R, f1(x) = x2 + 2mx  1. Se veriÖcºa u∏sor cºa f1 este strict
descrescºatoare pe (1; m] ∏si strict crescºatoare pe [m; 1). Pentru ca f sºa Öe injectivºa
pe R este necesar ca f1 sºa Öe injectivºa pe (1; 0], deci m  0, adicºa m  0.
Dacºa m = 0 atunci func∏tia f2 : R ! R, f2(x) = mx  1 este constantºa, deci f nu este
injectivºa.
Dacºa m < 0 atunci f2 este strict descrescºatoare pe R. Cum f1(0) = 1  1 = f2(0),
rezultºa cºa f este strict descrescºatoare pe R, deci injectivºa.
Rºaspuns corect: (c): 
5. Valoarea expresiei
E =
q
9  4p5 +
q
9 + 4p5
este:
(a) 4;
(b) 2p5;
(c) 18;
(d) 6.
Solu∏tie. Se observºa cºa 9  4p5 = (2  p5)2 ∏si 9 + 4p5 = (2 + p5)2 ∏si se ∏tine cont de
faptul cºa p5 > 2.
Rºaspuns corect: (b): 
6. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale ecua∏tiei
ex + 1 = 2ex
este:
(a) f0g
(b) f2; 1g;
(c) f1g;
(d) ;.

Barem · pagina 3

3
Solu∏tie. Notºam ex = t ∏si ob∏tinem ecua∏tia t2 + t  2 = 0, cu solu∏tiile t = 2 ∏si t = 1.
Cum t = ex > 0, rezultºa t = 1, adicºa x = 0.
Rºaspuns corect: (a): 
7. Dacºa log12 2 = k, atunci log6 16 are valoarea
(a) k
1k ;
(b) 1k
k ;
(c) 4k
1k ;
(d) 1k
4k .
Solu∏tie. Din log12 2 = k avem cºa 12k = 2 ∏si, prin urmare, 6k = 21k, adicºa 6 = 21k
k .
Notºam log6 16 = p ∏si ob∏tinem 6p = 16, adicºa 2p(1k)
k = 24.
Rºaspuns corect: (c): 
8. Mul∏timea valorilor parametrului real m pentru care inegalitatea
(m  2)4x + (2m  3)2x+1 + m > 2
este adevºaratºa pentru orice x 2 R este:
(a) [2; 1);
(b) (2; 1);
(c) (1; 2);
(d) (1; 0) [ (2; 1).
Solu∏tie. Rescriem inegalitatea
(m  2)22x + (4m  6)2x + m  2 > 0;
notºam 2x = t ∏si studiem semnul func∏tiei polinomiale f : (0; 1) ! R, f (t) = (m  2)t2 +
(4m  6)t + m  2, pe intervalul de deÖni∏tie, Ón func∏tie de valorile lui m.
Rºaspuns corect: (a): 
9. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale inecua∏tiei
log3 x > log9(5x  4)
este
(a) 0; 4
5
 [ (1; 1);
(b) (0; 1) [ (4; 1);
(c) 4
5 ; 1 [ (4; 1);
(d) R.
Solu∏tie. Se impun condi∏tiile de existen∏tºa a logaritmilor, x > 0, x > 4
5 , ∏si apoi se observºa
cºa inegalitatea din enun∏t este echivalentºa cu x2 > 5x  4.
Rºaspuns corect: (c): 

Barem · pagina 4

4
10. Numºarul termenilor care nu Ól con∏tin pe x Ón dezvoltarea
 4
q
xpx + 2
3
px
2022
;
este egal cu:
(a) 1;
(b) 0;
(c) 10;
(d) 237.
Solu∏tie. Impunem ca termenul general al dezvoltºarii, Tk+1 = Ck
2022

x3
8
2022k 
2x 1
3
k
,
sºa nu depindºa de x ∏si ob∏tinem k = 18198
17 =2 N.
Rºaspuns corect: (b): 
11. Fie matricea
A =
0
@ 1 4 0
0 3 1
2 0 1
1
A :
Valoarea lui d = det(A1) este:
(a) d = 1;
(b) d = 11;
(c) d = 1
11 ;
(d) matricea A nu este inversabilºa.
Solu∏tie. Avem det A = 11 6 = 0, deci A este inversabilºa ∏si det A det(A1) = 1.
Rºaspuns corect: (c): 
12. Dacºa an = Pn
k=2 ln 1  1
k2
, n  2, atunci:
(a) an+1 < an, limn!1 an = ln 2;
(b) an+1 < an, limn!1 an = ln 1
2 ;
(c) an < an+1, limn!1 an = 1
ln 2 ;
(d) an+1 < an, limn!1 an = 1  ln 2.
Solu∏tie. Avem an = Pn
k=2 ln 1  1
k
 1 + 1
k
 = ln 1
2
3
2
 2
3
5
3
    n1
n
n+1
n
 = ln n+1
2n
.
Astfel an+1  an = ln n2+2n
n2+2n+1 < 0 ∏si limn!1 an = limn!1 ln n+1
2n
 = ln 1
2 .
Rºaspuns corect: (b): 
13. Fie ∏sirul de numere reale
a1 = 1; an+1 =
(
an + 1
2 ; n = par
an
3 ; n = impar:
Atunci limita limn!1 a2n+1:
(a) nu existºa;

Barem · pagina 5

5
(b) are valoarea 1
2 ;
(c) are valoarea 2
3 ;
(d) are valoarea 3
4 .
Solu∏tie. Pentru u∏surin∏ta calculelor notºam r = 1
2 ∏si q = 1
3 . Calcul‚nd c‚∏tiva termeni ai
∏sirului se observºa, ∏si apoi se demonstreazºa prin induc∏tie, cºa a2n+1 = qn + r 1qn
1q .
Rºaspuns corect: (d): 
14. Se considerºa ∏sirul de numere reale
xn = 2 + (1)n
2n + (1)n ; 8n 2 N:
Atunci
(a) ∏sirul este crescºator;
(b) nu existºa limn!1 xn ;
(c) nu existºa limn!1 xn+1
xn ;
(d) maxn2N xn = 1.
Solu∏tie. Avem xn =
( 3
2n+1 ; n = par
1
2n1 ; n = impar . Astfel sub∏sirurile (x2n) ∏si (x2n+1) sunt
descrescºatoare. Prin urmare, avem maxn2N xn = maxfx0; x1g = 3 ∏si 0 < xn  3. Mai
mult, limn!1 xn = 0. Œn sfàar∏sit, se veriÖcºa u∏sor cºa
xn+1
xn
=
(1
3 ; n = par
6n3
2n+1 ; n = impar;
ceea ce aratºa cºa ∏sirul
xn+1
xn

admite douºa sub∏siruri cu limite diferite.
Rºaspuns corect: (c): 
15. Valoarea limitei L = limx!1(sin(ln(x + 1))  sin(ln x)) este:
(a) L = p2
2 ;
(b) L = 1;
(c) L = 1;
(d) L = 0.
Solu∏tie. Folosind formula diferen∏tei de sinusuri ob∏tinem
L = lim
x!1 2 sin ln(x + 1)  ln x
2 cos ln(x + 1) + ln x
2
= lim
x!1 2 sin
1
2 ln(x + 1
x )

cos ln(x + 1) + ln x
2 = 0:
Rºaspuns corect: (d): 

Barem · pagina 6

6
16. Valorile parametrului m 2 R pentru care func∏tia
f : R ! R; f (x) = mx  ln x2 + 1
este crescºatoare pe R sunt:
(a) m  1;
(b) m 2 (0; 1];
(c) m  1;
(d) m 2 [0; 1].
Solu∏tie. Calcul‚nd derivata func∏tiei se ob∏tine f 0 = m  2x
x2+1 . Deoarece f 0(x)  0 pentru
orice x 2 R, iar 2x
x2+1  1, cu egalitate pentru x = 1, rezultºa cºa m  1.
Rºaspuns corect: (c): 
17. Fie func∏tia f : R ! R, deÖnitºa prin
f (x) = x2
e1x :
Valoarea lui n 2 N pentru care f (n)(1) = 57 este:
(a) n = 6;
(b) n = 8;
(c) n = 7;
(d) n = 10.
Solu∏tie. Scriem f (x) = x2ex1 ∏si, prin calcul, deducem cºa
f (n)(x) = C0
nx2 + 2C1
nx + 2C2
n
 ex1;
de unde
f (n)(1) = n2 + n + 1:
Rºaspuns corect: (c): 
18. Derivata func∏tiei
f :

0; 
2

! R; f (x) = arctan
r1  cos x
1 + cos x
este:
(a) x;
(b) 2x;
(c) 1
2 ;
(d) x2.
Solu∏tie. Putem scrie 1cos x
1+cos x = (1cos x)2
(1+cos x)(1cos x) = (1cos x)2
sin2 x . Deoarece sin x > 0 pentru
x 2 0; 
2
, avem f (x) = arctan 1cos x
sin x .
Rºaspuns corect: (c): 

Barem · pagina 7

7
19. Fie I = R 2
0 f (x)dx, unde func∏tia f : [0; 2] ! R este datºa prin
f (x) = min

x; 2
1 + x2

:
Atunci:
(a) I = 1
2 + 2 arctan 2  
2 ;
(b) I = 1
2 + 2 arctan 2  
2 ;
(c) I = 2;
(d) I = 2 arctan 2.
Solu∏tie. Fie func∏tia g : [0; 2] ! R, g(x) = x 2
1+x2 . Atunci g0(x) = 1+ 4x
(1+x2)2 > 0, pentru
orice x 2 [0; 2], deci g este strict crescºatoare. Cum g(1) = 0, avem I = R 1
0 xdx+R 2
1
2
1+x2 dx.
Rºaspuns corect: (a): 
20. Fie punctul A(4; 2) Ón plan. Punctele situate pe axa (Oy) la distan∏tºa d = 2p5 de
A sunt:
(a) (2p5; 0); (2p5; 0);
(b) (0; 2p5); (0; 2p5);
(c) (0; 0); (0; 4);
(d) (0; 0); (8; 0).
Solu∏tie. Deoarece punctele cºautate se aáºa pe (Oy), ele vor avea coordonatele de forma
(0; y). Impun‚nd ca distan∏ta fa∏tºa de A sºa Öe egalºa cu 2p5, ob∏tinem 16 + (y  2)2 = 20.
Rºaspuns corect: (c): 
21. Dacºa Ón 4ABC avem m
 ^B

= 
6 ∏si m
 ^C

= 
4 atunci:
(a) jABj = p2jACj;
(b) 4ABC este isoscel;
(c) jACj = 1
2 jBCj;
(d) jBCj = 1
2 jACj.
Solu∏tie. Din teorema sinusurilor avem jACj
sin ^B = AB
sin ^C .
Rºaspuns corect: (a): 
22. Dreapta care trece prin punctele A(1; 1) ∏si B 3
2 ; 1 are ecua∏tia:
(a) 5x  3y + 1 = 0;
(b) 4x + 5y  1 = 0;
(c) 2x  3
2 y + 1 = 0;
(d) 2y + 7 = 0.
Solu∏tie. Ecua∏tia dreptei este x+1
3
2 +1 = y1
11 .
Rºaspuns corect: (b): 

Barem · pagina 8

8
23. Valorile parametrului real m pentru care vectorii a = mi + 2j ∏si b = i + mj sunt
coliniari, sunt:
(a) m 2 f2; 2g;
(b) m 2 fp2; p2g;
(c) m = 2;
(d) m = p2.
Solu∏tie. Vectorii sunt coliniari dacºa ∏si numai dacºa au coordonatele propor∏tionale, adicºa
m
1 = 2
m .
Rºaspuns corect: (b): 
24. Partea imaginarºa a numºarului
E = 1 + i + i2 +    + i2022
este egalºa cu:
(a) 1;
(b) 0;
(c) 2;
(d) 1.
Solu∏tie. Deoarece E este suma a 2023 de numere Ón progresie geometricºa, cu ra∏tia i,
avem E = 1i2023
1i = 1+i
1i = i.
Rºaspuns corect: (a): 
25. Numºarul solu∏tiilor din intervalul [0; ] ale ecua∏tiei
sin 2x = cos2 x
este:
(a) 1;
(b) 2;
(c) 3;
(d) o inÖnitate.
Solu∏tie. Ecua∏tia se scrie 2 sin x cos x = cos2 x. O primºa solu∏tie este x = 
2 . Dacºa x 6 = 
2
avem 2 sin x = cos x ∏si, din sin2 x + cos2 x = 1, ob∏tinem sin x = 1p5 , cos x = 2p5 sau
sin x =  1p5 , cos x =  2p5 . Œn al doilea caz x 2 ; 3
2
, deci doar douºa din cele trei solu∏tii
posibile se aáºa Ón intervalul [0; ]
Rºaspuns corect: (b): 
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2022Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 7Deschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 8Deschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 9Deschide fișa Model de pregătire · 2022Matematică · Modelul 8Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.