Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Model de pregătire · Matematică · 2022

Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 5 pagini

Subiect · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere sesiunea iulie 2022
Domeniile: Calculatoare ¸si tehnologia informat¸iei
Ingineria sistemelor (Automatic˘a ¸si informatic˘a aplicat˘a)
Model 8 test admitere AC - 2022
Problema 1 Solut¸iile reale ale ecuat¸iei 3 x−1
2 = 9√x sunt:
(a) 9 ± 4√5
(b) 4 ± √5
(c) 1
(d) −7 ± √5
Problema 2 Consider˘am ecuat¸ia x2 − mx + m − 1 = 0. Valoarea ˆıntreag˘a a parametrului m pentru care una dintre
r˘adacinile ecuat¸iei este dubl˘a celeilalte este:
(a) m = 1
(b) m = 3
(c) m = −3
(d) m = 6
Problema 3 Valorile reale pozitive ale parametrului m astfel ˆıncˆat lg√m, 3
2 , lg m s˘a fie trei termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice sunt:
(a) 1
(b) 10
(c) 100
(d) 1000
Problema 4 Valoarea parametrului a pentru care sistemul



x + y + 2z = 0
x + 2y + az = 0
−2z − y + 3z = 0
este compatibil unic determinat este
(a) a 6 = 2
(b) a 6 = 0
(c) a 6 = 9
(d) a 6 = −3
Problema 5 Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘a legea de compozit¸ie:
x ∗ y = xy − 3x − 3y + 12.
Valoarea expresiei:
E = x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸ ︷︷ ︸
n ori
este:
(a) E = 3n − 1
(b) E = (x − 3)n + 3
1

Subiect · pagina 2

(c) E = 3x + 3n
(d) E = (x + 3)n
Problema 6 Valoarea parametrului m ∈ R astfel ˆıncˆat valoarea maxim˘a a funct¸iei f (x) = mx2 − 8x − 3 s˘a fie 5 este
(a) m = 2
(b) m = −2
(c) m = 1
(d) m = 5
Problema 7 Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex − e−x. Atunci valoarea sumei S = g(1) + g(2) + . . . g(2022)
unde g(x) = f ′(x) − f ′′
(x) este:
(a) 2 1 − e2022
e2022(1 − e)
(b) e2022 + e−2022
(c) e−2022
(d) 2 1 − e2021
e2022(1 + e)
Problema 8 Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x − 2(x − 1)
x + 1 . Atunci abscisa punctului de pe graficul
funct¸iei f ˆın care tangenta este paralel˘a cu dreapta d : y = 2
9 x este:
(a) 1
4
(b) 1
2
(c) 1
(d) 1
9
Problema 9 Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ex ln x. Atunci
(a) f este concav˘a pe (0, ∞).
(b) f este convex˘a pe (0, ∞).
(c) f este cresc˘atoare pe (0, e]
(d) f are un punct critic ˆın x = 1.
Problema 10 Valoarea parametrilor reali a ¸si b astfel ˆıncˆat lim
x→∞
(√x2 − x + 1 − ax − b) = 0 este:
(a) a = b = 1
(b) a = 1, b = − 1
2
(c) a = 2, b = 1
(d) a = 1
2 , b = 2
Problema 11 Fie funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x ln x
(1 + x2)2 . Dac˘a F este o primitiv˘a a funct¸iei F astfel ˆıncˆat F (1) = 0
atunci lim
x→∞ F (x) este:
(a) ln 2
2

Subiect · pagina 3

(b) ln 2
4
(c) ln 2
5
(d) 0
Problema 12 Valoarea expresiei S = sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . . + sin2 90◦ este
(a) 91
2
(b) 1
2
(c) 1
4
(d) 90
2
Problema 13 Valoarea parametrului real a pentru care vectorii ~u = 2~i + a~j ¸si ~v = 3~i + (a − 2)~j sunt coliniari este:
(a) a = 5
(b) a = 4
(c) a = −4
(d) a = 3
Problema 14 Consider˘am triunghiul dreptunghic ABC cu AB = 3 ¸si m˘asura unghiului C de π
6 . Care este lungimea
laturii AC ¸stiind c˘a (m(̂ BAC) = 90◦)?
(a) 3
(b) 5√3
(c) 2
(d) 3√3
Problema 15 Consider˘am triunghiul echilateral M1M2M3 cu M1(1, 0) ¸si M2(2, 1) . Atunci coordonatele vˆarfului r˘amas
sunt:
(a)
(
3 ± √3
2 , 1 ∓ √3
2
)
(b)
(
3 ∓ √3
2 , 1 ± √3
2
)
(c) (1, 2)
(d) (√3, 1)
Problema 16 Raportul dintre raza cercului ˆınscris ¸si raza cercului circumscris unui p˘atrat este
(a) 1
2
(b) 1
√2
(c) 1
4
(d) 2
3

Subiect · pagina 4

Problema 17 Valoarea parametrului m pentru care sistemul neomogen de mai jos este incompatibil este:



x + y + z = 2
x + 2y − 3z = 1
3x + 5y − 5z = m
(a) m = 4
(b) m ∈ R
(c) m ∈ R − {4}
(d) sistemul este compatibil pentru orice m.
Problema 18 Punctele (0, 1) ¸si (3, 5) sunt dou˘a vˆarfuri ale unui triunghi de arie 5 iar dreapta 3x + 4y = 0 este una
dintre ˆın˘alt¸imi. Coordonatele celui de-al treilea vˆarf din semiplanul sunt:
(a) (1, 1)
(b)
( 4
5 , 3
5
)
(c) (0, 0)
(d)
( 28
25 , − 21
25
)
Problema 19 Solut¸iile sistemului de ecuat¸ii
{
(a − b) sin(x + y) + (a + b)sin(x − y) = 0
tg x · tg y = ab sunt :
(a)
{
x = kπ ± arctg a
y = kπ ± arctg b
(b) x = y = π
2
(c)
{
x = kπ + arcsin a
y = kπ + arcsin b
(d)
{x = π
4
y = kπ
Problema 20 Solut¸ia ecuat¸iei x
4 +
π
2∫
0
cos x
1 + sin2 x dx = 0 este:
(a) x = 0
(b) x = −2(e2π + 1)
(c) x = √2
(d) x = −π
Problema 21 Consider˘am X =


a 0 0
0 a 0
0 0 a

 , a ∈ R. Valoarea parametrului a astfel ˆıncˆat X s˘a fie solut¸ie comun˘a a
ecuat¸iilor matriceale
(1 2 3) · X ·


3
2
1

 = 1 ¸si (3 2 1) · X ·


1
2
3

 = 1 este:
(a) 3
10
4

Subiect · pagina 5

(b) − 2
10
(c) 1
10
(d) 7
10
Problema 22 Dac˘a a, b, c reprezint˘a lungimile laturilor unui triunghi iar ha, hb, hc ˆın˘alt¸imile corespunz˘atoare atunci
valoarea determinantului D =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 a hb · hc
1 b ha · hc
1 c ha · hb
∣
∣
∣
∣
∣
∣ este:
(a) D = abc
(b) D = 0
(c) D = a2 + b2 + c2
(d) D = 1
2 (ab + bc + ca)
Problema 23 Valoarea sumei
S =
n∑
k=1
cos
( 2kπ
2n + 1
)
este
(a) S = 0
(b) S = 1
(c) S = − 1
2
(d) S = 1
4
Problema 24 Dac˘a num˘arul complex z ∈ C verific˘a z2 + z + 1 = 0 atunci valoarea expresiei z4 + 1
z4 este:
(a) 1
(b) i
(c) −i
(d) −1
Problema 25 Se consider˘a dezvoltarea
( √2x
16
√8 +
16
√32
√2x
)n
, n ∈ N∗. Pentru n = 8 care sunt valorile lui x pentru care
diferent¸a dintre termenii al ¸saselea ¸si al patrulea ai dezvolt˘arii s˘a fie 56?
(a) x = 0
(b) x = −1
(c) x = √2
(d) x = 4
5
Deschide documentul original
Barem · 12 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si
Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare
Admitere sesiunea iulie 2022
Domeniile: Calculatoare ¸si tehnologia informat¸iei
Ingineria sistemelor (Automatic˘a ¸si informatic˘a aplicat˘a)
Model 8 test admitere AC - 2022 - Solut¸ii
Problema 1 Solut¸iile reale ale ecuat¸iei 3 x−1
2 = 9√x sunt:
(a) 9 ± 4√5
(b) 4 ± √5
(c) 1
(d) −7 ± √5
Solut¸ie: 1 Ecuat¸ia pe care dorim s˘a o rezolv˘am este:
3 x−1
2 = 9√x
Din injectivitatea funct¸iei exponent¸iale avem:
x − 1
2 = 2√x ↔ x − 1 = 4√x → x2 − 2x + 1 = 16x
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom rezolva ecuat¸ia de gradul II
x2 − 18x + 1 = 0
Discriminantul acesteia este ∆ = 320. Obt¸inem cele dou˘a solut¸ii:



x1 = 18 + 8√5
2 = 9 + 4√5
x2 = 18 − 8√5
2 = 9 − 4√5
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 2 Consider˘am ecuat¸ia x2 − mx + m − 1 = 0. Valoarea ˆıntreag˘a a parametrului m pentru care una dintre
r˘adacinile ecuat¸iei este dubl˘a celeilalte este:
(a) m = 1
(b) m = 3
(c) m = −3
(d) m = 6
Solut¸ie: 2 Vom identifica mai ˆıntˆai solut¸iile ecuat¸iei ¸si vom purta discut¸ia ˆın funct¸ie de parametrul m. Discriminantul
ecuat¸iei este ∆ = m2 − 4m + 4 = (m − 2)2. Solut¸iile ecuat¸iei sunt:
x1,2 = m ± |m − 2|
2
Distingem de aici cazurile: 


x1 = m + (m − 2)
2
x2 = m + (−m + 2)
2
1

Barem · pagina 2

Avem de analizat solut¸iile: {
x1 = m − 1
x2 = 1
Dorim ca una dintre r˘ad˘acini s˘a fie dubl˘a celeilalte. Avem 2 situat¸ii:



x1 = 2x2 → m = 3 ∈ Z
x2 = 2x1 → m = 3
2 /∈ Z
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 3 Valorile reale pozitive ale parametrului m astfel ˆıncˆat lg√m, 3
2 , lg m s˘a fie trei termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice sunt:
(a) 1
(b) 10
(c) 100
(d) 1000
Solut¸ie: 3 Din propriet˘at¸ile unei progresii aritmetice cunoa¸stem c˘a termenul de rang n este media aritmetic˘a a termenilor
echidistanti de el. Prin urmare ne dorim ca: 3
2 = lg√m + lg m
2 .
Condit¸ia precedent˘a se rescrie sub forma:
3
2 = 3lg m
4 → lg m = 2 → m = 100.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 4 Valoarea parametrului a pentru care sistemul



x + y + 2z = 0
x + 2y + az = 0
−2z − y + 3z = 0
este compatibil unic determinat este
(a) a 6 = 2
(b) a 6 = 0
(c) a 6 = 9
(d) a 6 = −3
Solut¸ie: 4 Sistemul pe care dorim s˘a ˆıl analiz˘am este unul omogen. Este cunoscut faptul c˘a un sistem omogen este
compatibil unic determinat dac˘a ¸si numai dac˘a rangul matricei sistemului coincide cu num˘arul de necunoscute. Matricea
sistemului este:
A =

 1 1 2
1 2 a
−2 −1 3


Fiind o matrice p˘atratic˘a putem s˘a calcul˘am determinantul acesteia ¸si s˘a purt˘am discut¸ia ˆın funct¸ie de valoarea acestuia.
detA =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 2
1 2 a
−2 −1 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 9 − a.
Rangul matricei va fie egal cu 3 dac˘a determinantul este nenul, prin urmare rang A = 3 ⇔ a 6 = 9.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 5 Pe mult¸imea numerelor reale se consider˘a legea de compozit¸ie:
x ∗ y = xy − 3x − 3y + 12.
Valoarea expresiei:
E = x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸ ︷︷ ︸
n ori
este:
2

Barem · pagina 3

(a) E = 3n − 1
(b) E = (x − 3)n + 3
(c) E = 3x + 3n
(d) E = (x + 3)n
Solut¸ie: 5 Vom determina mai ˆıntˆai valoarea expresiei pentru cazuri particulare urmˆand s˘a generaliz˘am pentru a obt¸ine
rezultatul final.
S˘a analiz˘am mai ˆıntˆai dac˘a legea de compozit¸ie este asociativ˘a. Vom studia dac˘a:
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (yz − 3y − 3z + 12) = xyz − 3xy − 3xz + 12x − 3x − 3yz + 9y + 9z − 36 + 12 (1)
Analog:
(x ∗ y) ∗ z = (xy − 3x − 3y + 12) ∗ z = xyz − 3xz − 3yz + 12z − 3xy + 9x + 9y − 36 − 3z + 12 (2)
Se observ˘a c˘a legea de compozit¸ie este una asociativ˘a.
ˆ pentru n = 2 avem E = x ∗ x = x2 − 6x + 12 = (x − 3)2 + 3
ˆ pentru n = 3 avem E = x∗x∗x = (x∗x)∗x = ((x−3)2 +3)∗x = x(x−3)2 +3x−3(x−3)2 −9−3x+12 = (x−3)3 +3.
Poate fi demonstrat prin indut¸ie c˘a
E = x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸ ︷︷ ︸
n ori
= (x − 3)n + 3.
Etapa de verificare a fost parcurs˘a anterior. Pentru etapa de induct¸ie vom presupune c˘a P (k) este adev˘arat˘a ¸si vom
demonstra c˘a P (k + 1) este adev˘arat˘a.
ˆ Presupunem c˘a P (k) este adev˘arat˘a:
x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸ ︷︷ ︸
k ori
= (x − 3)k + 3
ˆ Dorim s˘a demonstr˘am c˘a P (k + 1) este adev˘arat˘a deci:
x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸ ︷︷ ︸
k+1 ori
= (x − 3)k+1 + 3.
Se observ˘a c˘a:
x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸ ︷︷ ︸
k+1 ori
= (x − 3)k + 3) ∗ x = x(x − 3)k + 3x − 3(x − 3)k − 9 − 3x + 12 = (x − 3)k+1 + 3 (3)
S-a obt¸inut P (k + 1) adev˘arat˘a deci conform principiului indut¸iei matematice rezult˘a c˘a P (n) este adev˘arat˘a.
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 6 Valoarea parametrului m ∈ R astfel ˆıncˆat valoarea maxim˘a a funct¸iei f (x) = mx2 − 8x − 3 s˘a fie 5 este
(a) m = 2
(b) m = −2
(c) m = 1
(d) m = 5
Solut¸ie: 6 ˆIncepem prin a aminti faptul c˘a dac˘a dorim s˘a determin˘am valoarea maxim˘a a unei funct¸ii de gradul al II-lea
f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c vom impune mai ˆıntˆai condit¸ia ca a < 0, adic˘a m < 0. Valoarea maxim˘a a funct¸iei este
yV = − ∆
4a . Avem
− ∆
4a = 5 ⇔ −64 − 12m = 20m → m = −2 < 0
R˘aspunsul corect este (b).
3

Barem · pagina 4

Problema 7 Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) = ex − e−x. Atunci valoarea sumei S = g(1) + g(2) + . . . g(2022)
unde g(x) = f ′(x) − f ′′
(x) este:
(a) 2 1 − e2022
e2022(1 − e)
(b) e2022 + e−2022
(c) e−2022
(d) 2 1 − e2021
e2022(1 + e)
Solut¸ie: 7 Dorim s˘a identific˘am mai ˆıntˆai expresia funct¸iei g. Pentru aceasta vom calcula mai ˆıntˆai derivatele de ordinul
I ¸si pe cele de ordinul II pentru funct¸ia f deoarece acestea apar ˆın expresia funct¸iei g.
ˆ f ′(x) = ex + e−x
ˆ f ′′
(x) = ex − e−x
Obt¸inem:
g(x) = f ′(x) − f ′′
(x) = ex + e−x − ex + e−x = 2e−x.
Suma de calculat este
S = 2
( 1
e + 1
e2 + . . . + 1
e2022
)
Putem s˘a privim expresia obt¸inut˘a ca fiind suma unei progresii geometrice de rat¸ie 1
e .
S2022 = 1
e ·
1
e2022 − 1
1
e − 1
= 1
e · 1 − e2022
e2022 · e
1 − e = 1 − e2022
e2022(1 − e)
Suma pe care noi dorim s˘a o calcul˘am este:
S = 2S2022 = 2 1 − e2022
e2022(1 − e)
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 8 Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ln x − 2(x − 1)
x + 1 . Atunci abscisa punctului de pe graficul
funct¸iei f ˆın care tangenta este paralel˘a cu dreapta d : y = 2
9 x este:
(a) 1
4
(b) 1
2
(c) 1
(d) 1
9
Solut¸ie: 8 Din punct de vedere geometric derivata unei funct¸ii ˆıntr-un punct x0, dac˘a aceasta exist˘a, reprezint˘a panta
tangentei la graficul funct¸iei ˆın punctul (x0, f (x0)).
ˆIn prim˘a faz˘a vom calcula derivata funct¸iei propuse:
f ′(x) = 1
x − 2
x + 1 + 2(x − 1)
(x + 1)2 = 1
x − 4
(x + 1)2 = (x − 1)2
x(x + 1)2
Panta dreptei d este md = 2
9 . Dorim s˘a identific˘am abscisa pentru care md = f ′(x). Obt¸inem ecuat¸ia:
(x − 1)2
x(x + 1)2 = 2
9 ⇔ 2x3 − 5x2 + 20x − 9 = 0 ⇔
(
x − 1
2
)
(2x2 − 4x + 18) = 0 → x = 1
2 .
R˘aspunsul corect este (b).
4

Barem · pagina 5

Problema 9 Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = ex ln x. Atunci
(a) f este concav˘a pe (0, ∞).
(b) f este convex˘a pe (0, ∞).
(c) f este cresc˘atoare pe (0, e]
(d) f are un punct critic ˆın x = 1.
Solut¸ie: 9 Pentru a vedea care dintre variantele prezentate este corect˘a avem nevoie de expresia derivatelor de ordinul I
¸si de ordinul al II-lea pentru funct¸ia propus˘a spre analiz˘a. Derivata funct¸iei este:
f ′(x) = (ln x + 1)ex ln x.
Observ˘am c˘a f ′(x) < 0, ∀x ∈ (0, e] prin urmare f este descresc˘atoare pe (0, e].
Cum f ′(1) = 1 → x = 1 nu este punct critic. Calcul˘am ¸si
f ′′
(x) = f (x)
(
(1 + ln x)2 + 1
x
)
> 0.
Deoarece derivata de ordinul II este pozitiv˘a rezult˘a c˘a funct¸ia este convex˘a pe (0, ∞).
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 10 Valoarea parametrilor reali a ¸si b astfel ˆıncˆat lim
x→∞
(√x2 − x + 1 − ax − b) = 0 este:
(a) a = b = 1
(b) a = 1, b = − 1
2
(c) a = 2, b = 1
(d) a = 1
2 , b = 2
Solut¸ie: 10 Limita este infinit˘a dac˘a a2 6 = 1 deoarece num˘ar˘atorul ar avea gradul mai mare decˆat numitorul. Dac˘a
a2 = 1 → a = ±1.
ˆ Dac˘a a = 1 ⇒ L = 1(1 + 2b)
2 = 0 ↔ b = − 1
2
ˆ Dac˘a a = −1 ⇒ L = lim
x→∞(√x2 + x + 1 + x − b) = ∞
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 11 Fie funct¸ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x ln x
(1 + x2)2 . Dac˘a F este o primitiv˘a a funct¸iei F astfel ˆıncˆat F (1) = 0
atunci lim
x→∞ F (x) este:
(a) ln 2
(b) ln 2
4
(c) ln 2
5
(d) 0
Solut¸ie: 11 Ne propunem s˘a identific˘am mai ˆıntˆai primitiva funct¸iei f
F (x) =
∫
f (x) dx = − 1
2
∫ ( 1
1 + x2
)′
· ln xdx = − ln x
2(1 + x2) + 1
2
∫ 1
x(1 + x2) dx
Pentru a calcula ultima integral˘a vom folosi descompunerea ˆın fract¸ii simple dup˘a cum urmeaz˘a
1
x(1 + x2) = A
x + Bx + C
1 + x2 → 1 = A(1 + x2) + (Cx + D)x →



A + B = 1
C = 0
A = 1
→



A = 1
B = −1
C = 0
5

Barem · pagina 6

Revenim la calcularea primitivei:
F (x) = − ln x
2(1 + x2) + 1
2
∫ 1
x dx − 1
2
∫ x
1 + x2 dx = − ln x
2(1 + x2) + ln x
2 − 1
4 ln(1 + x2) + C
= 1
2
x2 ln x
1 + x2 − 1
4 ln(1 + x2) + C.
(4)
Din F (1) = 0 → C = ln 2
4 .
Pentru a finaliza trebuie s˘a calcul˘am:
lim
x→∞ F (x) = lim
x→∞
( 1
2
x2 ln x
1 + x2 − 1
4 ln(1 + x2) + ln 2
4
)
(5)
Vom calcula mai ˆıntˆai:
l = lim
x→∞
( 1
2
x2 ln x
1 + x2 − 1
4 ln(1 + x2)
)
(6)
Vorbim despre o nedeterminare de tipul ∞ − ∞. Pentru a g˘asi valoarea limitei vom ˆımp˘art¸i num˘ar˘atorul ¸si numitorul la
x2.
l = 1
4 lim
x→∞
2 ln x − ln(x2+1)
x2 − ln(x2 + 1)
1 + 1
x2
(7)
Avem c˘a
lim
x→∞
ln(1 + x2)
x2
l′H
= lim
x→∞
2x
2x(1 + x2) = 0
Analog lim
x→∞
1
x2 = 0. Limita de calculat devine:
l = 1
4 lim
x→∞(2 ln x − ln(x2 + 1)) = 1
4 lim
x→∞ ln x2
x2 + 1 = 0.
Revenim la limita init¸ial˘a ¸si obt¸inem:
lim
x→∞ F (x) = ln 2
4
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 12 Valoarea expresiei S = sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . . + sin2 90◦ este
(a) 91
2
(b) 1
2
(c) 1
4
(d) 90
2
Solut¸ie: 12 Vom folosi formula sin x = cos(90◦ − x). Expresia de calculat se rescrie sub forma:
S = sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . . + sin2 90◦ = sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . . + sin2 45◦ + cos2 44◦ + . . . + cos2 1◦ + cos2 0◦.
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom face apel la identitatea fundamental˘a:
sin2 x + cos2 x = 1.
Expresia propus˘a se rescrie astfel:
S = (sin2 1◦ + cos2 1◦) + (sin2 2◦ + cos2 2◦) + . . . + (sin2 44◦ + cos2 44◦) + sin2 45◦ + cos2 0◦ = 45 + 1
2 = 91
2
R˘aspunsul corect este (a).
Problema 13 Valoarea parametrului real a pentru care vectorii ~u = 2~i + a~j ¸si ~v = 3~i + (a − 2)~j sunt coliniari este:
(a) a = 5
6

Barem · pagina 7

(b) a = 4
(c) a = −4
(d) a = 3
Solut¸ie: 13 Cei doi vectori vor fi coliniari dac˘a coordonatele lor vor fi proportionale. Prin urmare avem
~u ‖ ~v ⇔ 2
3 = a
a − 2 → 3a = 2a − 4 ⇒ a = −4.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 14 Consider˘am triunghiul dreptunghic ABC cu AB = 3 ¸si m˘asura unghiului C de π
6 . Care este lungimea
laturii AC ¸stiind c˘a (m(̂ BAC) = 90◦)?
(a) 3
(b) 5√3
(c) 2
(d) 3√3
Solut¸ie: 14 Vom utiliza teorema unghiului de 30◦ care afirm˘a c˘a ˆıntr-un triunghi dreptunghic cateta opus˘a unghiului de
30◦ este jum˘atate din ipotenuz˘a. ˆIn cazul de fat¸˘a triunghiul este dreptunghic ˆın A atunci ipotenuza are lungimea de 6
unit˘at¸i. Folosim teorema lui Pitagora ¸si obt¸inem AC = 3√3.
R˘aspunsul corect este (d).
Problema 15 Consider˘am triunghiul echilateral M1M2M3 cu M1(1, 0) ¸si M2(2, 1) . Atunci coordonatele vˆarfului r˘amas
sunt:
(a)
(
3 ± √3
2 , 1 ∓ √3
2
)
(b)
(
3 ∓ √3
2 , 1 ± √3
2
)
(c) (1, 2)
(d) (√3, 1)
Solut¸ie: 15 Vom nota coordonatele vˆarfului r˘amas cu M3(x, y).
Dorim s˘a identific˘am coordonatele vˆarfului M3 astfel ˆıncˆat triunghiul M1M2M3 s˘a fie un triunghi echilateral. Este
cunoscut faptul c˘a ˆıntr-un triunghi echilaterat lungimile celor trei laturi sunt egale. Vom avea:



M1M2 = √(xM2 − xM1 )2 + (yM2 − yM1 )2 = √2
M1M3 = √(xM3 − xM1 )2 + (yM3 − yM1 )2 = √(x − 1)2 + y2
M2M3 = √(xM3 − xM2 )2 + (yM3 − yM2 )2 = √(x − 2)2 + (y − 1)2
Vom avea de rezolvat sistemul:
{√2 = √(x − 1)2 + y2
√(x − 2)2 + (y − 1)2 = √(x − 1)2 + y2 ⇔
{
2 = x2 − 2x + 1 + y2
x2 − 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = x2 − 2x + 1 + y2 →
{
x2 − 2x + y2 − 1 = 0
x + y − 2 = 0
Vom ˆınlocui pe y din a doua ecuat¸ie ˆın prima ecuat¸ie ¸si vom obt¸ine:
{
y = 2 − x
x2 − 2x + 4 − 4x + x2 − 1 = 0 →
{
y = 2 − x
2x2 − 6x + 3 = 0
Discriminantul ecuat¸iei de gradul II ˆın x este ∆ = 36 − 24 = 12. Obt¸inem:



x1,2 = 6 ± 2√3
4 = 3 ± √3
2
y1,2 = 2 − x = 2 − 3 ± √3
2 = 1 ∓ √3
2
R˘aspunsul corect este (a).
7

Barem · pagina 8

Problema 16 Raportul dintre raza cercului ˆınscris ¸si raza cercului circumscris unui p˘atrat este
(a) 1
2
(b) 1
√2
(c) 1
4
(d) 2
Solut¸ie: 16 Consider˘am p˘atratul de latura a. Atunci raza cercului ˆınscris este jum˘atate din lungimea laturii p˘atratului,
adic˘a a
2 . Raza cercului circumscris este jum˘atate din diagonala p˘atratului a√2
2 . Obt¸inem raportul a
2 · 2
a√2 = 1
√2 .
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 17 Valoarea parametrului m pentru care sistemul neomogen de mai jos este incompatibil este:



x + y + z = 2
x + 2y − 3z = 1
3x + 5y − 5z = m
(a) m = 4
(b) m ∈ R
(c) m ∈ R − {4}
(d) sistemul este compatibil pentru orice m.
Solut¸ie: 17 Un sistem neomogen este incompatibil atunci cˆand rangul matricei extinse este mai mare decˆat rangul ma-
tricei sistemului. ˆIn cazul de fat¸˘a:
A =

1 1 1
1 2 −3
3 5 −5

 , det A = 0
Avem:
∆p =
∣
∣
∣
∣1 1
1 2
∣
∣
∣
∣ = 1 6 = 0 → rang A = 2.
∆car =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 2
1 2 1
3 5 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = m − 4 = 0 ⇔ m = 4.
Observ˘am c˘a rangul matricei sistemului este 2, iar pentru m 6 = 4 rangul matricei extinse este 3.
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 18 Punctele (0, 1) ¸si (3, 5) sunt dou˘a vˆarfuri ale unui triunghi de arie 5 iar dreapta 3x + 4y = 0 este una
dintre ˆın˘alt¸imi. Coordonatele celui de-al treilea vˆarf din semiplanul sunt:
(a) (1, 1)
(b)
( 4
5 , 3
5
)
(c) (0, 0)
(d)
( 28
25 , − 21
25
)
Solut¸ie: 18 Varianta 1: Dac˘a P (a, b) este cel d-al treilea vˆarf avem:
P ∈ (d) ⇔ 3a + 4b = 0.
Mai mult:
A∆ = 1
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 1
3 5 1
a b 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = ±5 ⇔ 3a − 4b = ±5
8

Barem · pagina 9

Avem de analizat urm˘atoarele sisteme:
{
3a + 4b = 0
−4a + 3b = 13 ⇔



a = − 32
25
b = − 24
25
{
3a + 4b − 0
−4a + 3b = −7 ⇔



a = 28
25
b = − 21
25
Deoarece dorim un vˆarf din semiplanul drept vom alege P
( 28
25 , − 24
25
)
.
Varianta 2: Vom identifica mai ˆıntˆai lungimea ˆın˘alt¸imii. S˘a observ˘am c˘a niciunul dintre cele dou˘a vˆarfuri nu apart¸ine
ˆın˘alt¸imii descrise ˆın enunt¸. S˘a calcul˘am lungimea bazei adic˘a distant¸a dintre cele doua puncte:
b = √9 + 16 = 5 → h = 2
Mai mult ecuat¸ia bazei este:
bt : x
3 = y − 1
4 → 4x − 3y + 3 = 0
Consider˘am P (a, b) coordonatele vˆarfului c˘autat.
Ecuat¸ia parametric˘a a ˆın˘alt¸imii este



x = t
y = − 3t
4
. Punctul P apart¸ine ˆın˘alt¸imii deci verific˘a ecuat¸ia acesteia: P
(
t, − 3t
4
)
Avem:
d(P, b) = |4a − 3b + 3|
5 =
∣
∣
∣
∣4t + 9t
4 + 3
∣
∣
∣
∣
5
S¸tim c˘a aceast˘a distant¸˘a este de 2 unit˘at¸i. Obt¸inem relat¸ia:
25t + 12
4 = ±10 → 25t + 12 = ±40 → t = −12 ± 40
25 .
Vom alege varianta care ne conduce c˘atre xp ≥ 0 →



a = 28
25
b = − 21
25
.
R˘aspunsul corect este (d).
Problema 19 Solut¸iile sistemului de ecuat¸ii
{
(a − b) sin(x + y) + (a + b)sin(x − y) = 0
tg x · tg y = ab sunt :
(a)
{
x = kπ ± arctg a
y = kπ ± arctg b
(b) x = y = π
2
(c)
{
x = kπ + arcsin a
y = kπ + arcsin b
(d)
{x = π
4
y = kπ
Solut¸ie: 19 Sistemul se rescrie sub forma:
{
a sin x cos y + a cos x sin y − b sin x cos y − b cos x sin y + a sin x cos y + b sin x cos y − a cos x sin y − b cos x sin y = 0
tg x · tg y = ab
sau: {
a tg y − b tg x = 0
tg x · tg y = ab ↔



tg x = ab
tg y
tg2 y = b2
→
{
tg x = ±a
tg y = ±b ⇒
{
x = kπ ± arctg a
y = kπ ± arctg b
R˘aspunsul corect este (a).
9

Barem · pagina 10

Problema 20 Solut¸ia ecuat¸iei x
4 +
π
2∫
0
cos x
1 + sin2 x dx = 0 este:
(a) x = 0
(b) x = −2(e2π + 1)
(c) x = √2
(d) x = −π
Solut¸ie: 20 Vom calcula mai ˆıntˆai valoarea integralei
π
2∫
0
cos x
1 + sin2 x dx = arctg(sin x)
∣
∣
∣
∣
π
2
0
= π
4 (8)
Ecuat¸ia de rezolvat devine: x
4 + π
4 = 0 ⇒ x = −π.
R˘aspunsul corect este (d).
Problema 21 Consider˘am X =


a 0 0
0 a 0
0 0 a

 , a ∈ R. Valoarea parametrului a astfel ˆıncˆat X s˘a fie solut¸ie comun˘a a
ecuat¸iilor matriceale
(1 2 3) · X ·


3
2
1

 = 1 ¸si (3 2 1) · X ·


1
2
3

 = 1 este:
(a) 3
10
(b) − 2
10
(c) 1
10
(d) 7
10
Solut¸ie: 21 Vom determina pe rˆand solut¸iile celor dou˘a ecuat¸ii matriceale
(1 2 3) · X ·


3
2
1

 = 1 ⇔ (1 2 3) ·


a 0 0
0 a 0
0 0 a

 ·


3
2
1

 = 1 ⇔ (a 2a 3a) ·


3
2
1

 = 1 ⇔ 10a = 1 ⇒ a = 1
10 (9)
Analog:
(3 2 1) · X ·


1
2
3

 = 1 ⇔ (3 2 1) ·


a 0 0
0 a 0
0 0 a

 ·


1
2
3

 = 1 ⇔ (3a 2a a) ·


1
2
3

 = 1 ⇔ 10a = 1 ⇒ a = 1
10 (10)
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 22 Dac˘a a, b, c reprezint˘a lungimile laturilor unui triunghi iar ha, hb, hc ˆın˘alt¸imile corespunz˘atoare atunci
valoarea determinantului D =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 a hb · hc
1 b ha · hc
1 c ha · hb
∣
∣
∣
∣
∣
∣ este:
(a) D = abc
(b) D = 0
(c) D = a2 + b2 + c2
10

Barem · pagina 11

(d) D = 1
2 (ab + bc + ca)
Solut¸ie: 22
A = b · h
2 .
ˆIn cazul de fat¸˘a vom avea urm˘atoarele relat¸ii:
A = a · ha
2 = b · hb
2 = c · hc
2 →



ha = 2A
a
hb = 2A
b
hc = 2A
c
Determinantul se rescrie sub forma:
D =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 a hb · hc
1 b ha · hc
1 c ha · hb
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 4A2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 a 1
bc
1 b 1
ac
1 c 1
ab
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 4A2
abc
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 a a
1 b b
1 c c
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0 (11)
R˘aspunsul corect este (b).
Problema 23 Valoarea sumei
S =
n∑
k=1
cos
( 2kπ
2n + 1
)
este
(a) S = 0
(b) S = 1
(c) S = − 1
2
(d) S = 1
4
Solut¸ie: 23 Vom porni de la relat¸iile:
2 sin π
2n + 1 cos 2π
2n + 1 = sin 3π
2n + 1 − sin π
2n + 1
2 sin π
2n + 1 cos 4π
2n + 1 = sin 5π
2n + 1 − sin 3π
2n + 1
. . .
2 sin π
2n + 1 cos 2nπ
2n + 1 = sin π − sin (2n − 1)π
2n + 1
Deoarece sin π = 0 adunˆand relat¸iile scrise anterior vom obt¸ine:
2 sin π
2n + 1
n∑
k=1
cos
( 2kπ
2n + 1
)
= − sin π
2n + 1
R˘aspunsul corect este (c).
Problema 24 Dac˘a num˘arul complex z ∈ C verific˘a z2 + z + 1 = 0 atunci valoarea expresiei z4 + 1
z4 este:
(a) 1
(b) i
(c) −i
(d) −1
11

Barem · pagina 12

Solut¸ie: 24 Obt¸inem z3 = 1 → z4 = z deci z + 1
z = z2 + 1
z = −1. R˘aspunsul corect este (d).
Problema 25 Se consider˘a dezvoltarea
( √2x
16
√8 +
16
√32
√2x
)n
, n ∈ N∗. Pentru n = 8 care sunt valorile lui x pentru care
diferent¸a dintre termenii al ¸saselea ¸si al patrulea ai dezvolt˘arii s˘a fie 56?
(a) x = 0
(b) x = −1
(c) x = √2
(d) x = 4
Solut¸ie: 25 Rescriem condit¸ia T6 − T4 = 56.
Avem:
C5
8
( 2 x
2
2 3
16
)8−5
·
(
2 5
16
2 x
2
)5
− C3
8
( 2 x
2
2 3
16
)8−3
·
(
2 5
16
2 x
2
)3
= 56 ⇔ 8 · 7 · 6
3 · 2 2 3x
2 − 9
16 + 25
16 − 5x
2 − 8 · 7 · 6
3 · 2 2 5x
2 − 15
16 + 15
16 − 3x
2 = 56 (12)
Din relat¸ia predecedent˘a obt¸inem:
21−x − 2x = 1 → 2
2x − 2x = 1 → 22x + 2x − 2 = 0 → 2x = 1 sau 2x = −1
Vom alege 2x = 1.
R˘aspunsul corect este (a).
12
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2022Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 7Deschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 8Deschide fișa Model de pregătire · 2022Informatică · Modelul 9Deschide fișa Model de pregătire · 2022Matematică · Modelul 7Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2022 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.