Despre acest subiect
Modelul 6
Sursa documentelor: Facultatea de Automatică și Calculatoare – TUIASI. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Se încarcă profesorii disponibili…
Subiect și barem
Se deschide documentul PDF… Deschide PDF
Model de pregătire · Matematică · 2021
Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI
Înapoi la arhivăSubiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 9 pagini
Subiect · pagina 1
Model 6 test admitere AC - 2021 1. Valorile parametrului m 2 R pentru care inegalitatea x2 + y2 4x 4y + m > 0 este adevºaratºa pentru orice x; y 2 R sunt: (a) m 2 (1; 0); (b) m 2 (0; 4); (c) m 2 (8; 1); (d) m 2 (4; 1). 2. Valorile reale ale lui pentru care x2 2( 1)x + + 2 > 0; 8x 2 [0; 3] sunt: (a) > 0; (b) 2 < 0; (c) 0; (d) 2. 3. Mul∏timea solu∏tiilor inecua∏tiei 1 p1 4x2 x < 3 este: (a) R; (b) 1 2 ; 0 [ 0; 1 2 ; 1
Subiect · pagina 2
(c) 0; 6 13 ; (d) 1 3 ; 1 2 . 4. Numºarul a = 3 q 6p3 10 3 q 6p3 + 10 apar∏tine mul∏timii (a) N; (b) Z; (c) R n Q; (d) R n Z. 5. Mul∏timea tuturor valorilor lui m 2 R pentru care func∏tia f : R ! R; f (x) = ( x + m; x 1 2mx 1; x > 1 este surjectivºa pe R, este: (a) (2; 0); (b) (0; 2]; (c) (0; 1); (d) (1; 0). 6. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale inecua∏tiei log5 x > log125(3x 2) este (a) (1; 0); 2
Subiect · pagina 3
(b) 2 3 ; 1; (c) (2; 1); (d) 2 3 ; 1 [ (1; 1). 7. Solu∏tiile ecua∏tiei 52x 3 5x + 2 = 0 sunt (a) x = 0, x = log5 3; (b) x = log5 2, x = 0; (c) x = 1, x = 2; (d) x = 2, x = 0. 8. Numºarul solu∏tiilor reale ale ecua∏tiei x + 2x + log2 x = 7 este (a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3. 9. Fie matricea A = 0 @ 1 1 1 1 2 1 2 1 A ; unde este o rºadºacinºa a ecua∏tiei x2 + x + 1 = 0. Matricea A2016 este: (a) 31008I3; 3
Subiect · pagina 4
(b) 31008 0 @ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A; (c) 31008 0 @ 1 1 1 1 2 1 2 1 A; (d) I3. 10. Termenul care nu Ól con∏tine pe x Ón dezvoltarea x 1 x x1 2 + x 1 x2 3 + x1 3 + 1 25 ; x > 0; x 6 = 1; este: (a) T15; (b) T16; (c) T17; (d) T31. 11. Pe mul∏timea G = (0; 1) se deÖne∏ste opera∏tia , prin x y = 2xy x + y ; 8x; y 2 G: Care din urmºatoarele aÖrma∏tii este adevºaratºa? (a) (G; ) este grup comutativ; (b) (G; ) este grup necomutativ; (c) (G; ) este monoid; (d) legea nu este asociativºa. 4
Subiect · pagina 5
12. Limita lim n!1 rn2 + 1 n + 2 ln n + 1 n ; este: (a) 1 2 ; (b) 1; (c) e; (d) 1. 13. Fie ∏sirul de numere reale xn = (1)n1 2 + 3 n ; 8n 2 N: Atunci: (a) limn!1 xn = 2; (b) (xn)n2N e ∏sir monoton; (c) minn2N xn = 7 2 ∏si maxn2N xn = 5; (d) minn2N xn = 2 ∏si maxn2N xn = 2. 14. Valoarea limitei lim x!1 ln(x2 + x + 1) + ln(1 x + x2) x2 este: (a) 3; (b) 2; (c) 1; (d) 1. 5
Subiect · pagina 6
15. Fie f : Rnf1; 1g ! R, unde f (x) = x+3 x21 . Numºarul solu∏tiilor ecua∏tiei f (5)(x) = 0 este: (a) 1; (b) 2; (c) 5; (d) 6. 16. Valorile constantelor reale a, b ∏si c pentru care func∏tia f : R ! R, deÖnitºa prin f (x) = xex + e2x; veriÖcºa egalitatea f 000(x) + af 00(x) + bf 0(x) + cf (x) = 0; x 2 R; sunt: (a) a = 1; b = 1; c = 2; (b) a = 1; b = 1; c = 3; (c) a = 0; b = 3; c = 2; (d) a = 1; b = 0; c = 3. 17. Fie func∏tia f : R ! R, deÖnitºa prin f (x) = mex (1 + m)ex 1 + ex : Sºa se precizeze valorile lui m pentru care f este strict monotonºa pe R. (a) m 2 [0; 1); (b) m 2 [0; 1]; (c) m 2 (1; 1] [ [0; 1); 6
Subiect · pagina 7
(d) m 2 R. 18. Valoarea integralei I = Z 0 x sin x 1 + cos2 xdx este: (a) 2 4 ; (b) 0; (c) 2 ; (d) p2 2 . 19. Derivata func∏tiei f : R ! R; f (x) = Z arctg x 0 etg2 tdt este: (a) f 0(x) = ex2 1+x2 ; (b) f 0 nu existºa; (c) f 0(x) = 1 1+x2 ; (d) f 0x2 . 20. O laturºa a unui triunghi este situatºa pe axa Ox, iar celelalte douºa pe dreptele de ecua∏tii 2x 3y + 6 = 0 respectiv 3x + 2y 6 = 0: Coordonatele ortocentrului sunt: (a) ( 6 13 ; 27 13 ); (b) (1 2 ; 2); (c) ( 6 13 ; 30 13 ); (d) (1 2 ; 9 4 ). 7
Subiect · pagina 8
21. Dacºa punctele A(1; 1), B(3; 2) ∏si C(m; m + 3) sunt coliniare, atunci: (a) m = 0; (b) m = 5; (c) m 2 R; (d) m = 3. 22. Datºa matricea coloanºa X = a b ; unde a; b 2 R, Ói asociem vectorul ~x = a~i+b~j: Fie matricile A(t) = cos t sin t sin t cos t ; t 2 R; B = 1 1 , U = A 12 B ∏si V = A 6 B: Atunci cosinusul unghiului dintre vectorii ~u ∏si ~v; asocia∏ti respectiv matricelor coloanºa U ∏si V; are valoarea: (a) 0; (b) p3 2 ; (c) p2 2 ; (d) 1 2. 23. Mºasura unghiului dintre vectorii a = 3i + 4j ∏si b = 8i + 6j este egalºa cu: (a) 0; (b) 2 ; (c) 3 2 ; (d) 3 . 8
Subiect · pagina 9
24. Fie n 2 N ∏si k 2 f0; 1; ; n 1g. Partea realºa a numºarului complex ctg (2k + 1) 2n + i n este egalºa cu: (a) 1; (b) 1; (c) 0; (d) 2. 25. Mul∏timea solu∏tiilor ecua∏tiei p3 sin 4x + 8 sin2 x cos2 x = 1 este: (a) (2k + 1) 6 ; k 2 Z ; (b) 2 + k 6 ; k 2 Z ; (c) 24 + k 4 ; k 2 Z ; (d) 12 + k 4 ; k 2 Z . 9
Barem · 13 pagini
Barem · pagina 1
Model 6 test admitere AC - 2021 1. Valorile parametrului m 2 R pentru care inegalitatea x2 + y2 4x 4y + m > 0 este adevºaratºa pentru orice x; y 2 R sunt: (a) m 2 (1; 0); (b) m 2 (0; 4); (c) m 2 (8; 1); (d) m 2 (4; 1). Solu∏tie. Privim inecua∏tia ca Öind o inecua∏tie Ón x ∏si impunem = y2 + 4y m + 4 < 0; 8y 2 R: Rºaspuns corect: (c): 2. Valorile reale ale lui pentru care x2 2( 1)x + + 2 > 0; 8x 2 [0; 3] sunt: (a) > 0; (b) 2 < 0; (c) 0; (d) 2. Solu∏tie. Pentru = 0 inegalitatea este veriÖcatºa pentru x 2 [0; 3]. Dacºa 6 = 0, privim termenul din st‚nga al inegalitºa∏tii ca Öind àin variabila x cu discriminantul = 4(4 + 1). Astfel, avem urmºatoarele cazuri: > 0 ∏si ecua∏tia asociatºa nu are rºadºacini reale; > 0 ∏si ecua∏tia are ambele rºadºacini negative; > 0 ∏si ecua∏tia are ambele rºadºacini mai mari ca 3; < 0 ∏si ecua∏tia are o rºadºacinºa negativºa ∏si cealaltºa mai mare decàat 3. 1
Barem · pagina 2
Rºaspuns corect: (d): 3. Mul∏timea solu∏tiilor inecua∏tiei 1 p1 4x2 x < 3 este: (a) R; (b) 1 2 ; 0 [ 0; 1 2 ; (c) 0; 6 13 ; (d) 1 3 ; 1 2 . Solu∏tie. Impunem condi∏tiile x 6 = 0, 1 4x2 0 ∏si ob∏tinem x 2 1 2 ; 0 [ 0; 1 2 . Apoi, dacºa x 2 1 2 ; 0, frac∏tia este negativºa, iar pentru x 2 0; 1 2 , inecua∏tia devine 1 3x < p1 4x2. Pentru x 2 1 3 ; 1 2 inecua∏tia e veriÖcatºa, pentru cºa 1 3x 0, iar pentru x 2 0; 1 3 , avem 13x2 6x < 0, de unde x 2 0; 6 13 . Prin urmare x 2 0; 6 13 \ 0; 1 3 . Rºaspuns corect: (b): 4. Numºarul a = 3 q 6p3 10 3 q 6p3 + 10 apar∏tine mul∏timii (a) N; (b) Z; (c) R n Q; (d) R n Z. Solu∏tie. Se calculeazºa a3 = 20 6a , (a + 2)(a2 2a + 10) = 0; de unde se ob∏tine a = 2. Rºaspuns corect: (b): 2
Barem · pagina 3
5. Mul∏timea tuturor valorilor lui m 2 R pentru care func∏tia f : R ! R; f (x) = ( x + m; x 1 2mx 1; x > 1 este surjectivºa pe R, este: (a) (2; 0); (b) (0; 2]; (c) (0; 1); (d) (1; 0). Solu∏tie. Se observºa cºa func∏tia f este continuºa pe (1; 1], deci imaginea acestui interval prin f este intervalul (1; 1 + m]. De asemenea, f este continuºa pe (1; 1), deci imaginea acestui interval prin f este (1; 2m 1) dacºa m < 0, (2m 1; 1) dacºa m > 0 ∏si f1g dacºa m = 0. Prin urmare, f este surjectivºa pe R dacºa m > 0 ∏si 2m 1 1 + m. Rºaspuns corect: (b): 6. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale inecua∏tiei log5 x > log125(3x 2) este (a) (1; 0); (b) 2 3 ; 1; (c) (2; 1); (d) 2 3 ; 1 [ (1; 1). Solu∏tie. Condi∏tiile de existen∏tºa a logaritmilor sunt x > 0, 3x 2 > 0. Se scriu ambii logaritmi Ón baza 5 ∏si ob∏tinem x3 3x + 2 > 0, adicºa (x + 2)(x 1)2 > 0. Rºaspuns corect: (d): 7. Solu∏tiile ecua∏tiei 52x 3 5x + 2 = 0 sunt 3
Barem · pagina 4
(a) x = 0, x = log5 3; (b) x = log5 2, x = 0; (c) x = 1, x = 2; (d) x = 2, x = 0. Solu∏tie. Notºam y = 5x ∏si ob∏tinem ecua∏tia y2 3y + 2 = 0; cu solu∏tiile y = 1 ∏si y = 2 Rºaspuns corect: (b): 8. Numºarul solu∏tiilor reale ale ecua∏tiei x + 2x + log2 x = 7 este (a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3. Solu∏tie. Condi∏tia de existen∏tºa a logaritmului este x > 0. Ecua∏tia are o singurºa solu∏tie, pentru cºa func∏tia f este continuºa, strict crescºatoare pentru x > 0 ∏si limx!0;x>0 = 1, limx!1 = 1. Rºaspuns corect: (b): 9. Fie matricea A = 0 @ 1 1 1 1 2 1 2 1 A ; unde este o rºadºacinºa a ecua∏tiei x2 + x + 1 = 0. Matricea A2016 este: (a) 31008I3; 4
Barem · pagina 5
(b) 31008 0 @ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A; (c) 31008 0 @ 1 1 1 1 2 1 2 1 A; (d) I3. Solu∏tie. Avem A4 = 32I3 ∏si astfel A2016 = (A4)504 = 31008I3. Rºaspuns corect: (a): 10. Termenul care nu Ól con∏tine pe x Ón dezvoltarea x 1 x x1 2 + x 1 x2 3 + x1 3 + 1 25 ; x > 0; x 6 = 1; este: (a) T15; (b) T16; (c) T17; (d) T31. Solu∏tie. Avem x1 xx 1 2 = 1 + x 1 2 ∏si x1 x 2 3 +x 1 3 +1 = x1 3 1, iar expresia din enun∏t devine x 1 2 + x1 3 25 . Deoarece Tk+1 = Ck 25 x 1 2 25k x1 3 k , se impune condi∏tia ca puterea lui x sºa Öe egalºa cu 0 ∏si se ob∏tine k = 15. Rºaspuns corect: (b): 11. Pe mul∏timea G = (0; 1) se deÖne∏ste opera∏tia , prin x y = 2xy x + y ; 8x; y 2 G: Care din urmºatoarele aÖrma∏tii este adevºaratºa? (a) (G; ) este grup comutativ; 5
Barem · pagina 6
(b) (G; ) este grup necomutativ; (c) (G; ) este monoid; (d) legea nu este asociativºa. Solu∏tie. Se veriÖcºa u∏sor cºa legea nu este asociativºa. Rºaspuns corect: (d): 12. Limita lim n!1 rn2 + 1 n + 2 ln n + 1 n ; este: (a) 1 2 ; (b) 1; (c) e; (d) 1. Solu∏tie. Expresia de sub radical se poate scrie n2 + 1 n2 + 2n ln 1 + 1 n n Rºaspuns corect: (b): 13. Fie ∏sirul de numere reale xn = (1)n1 2 + 3 n ; 8n 2 N: Atunci: (a) limn!1 xn = 2; (b) (xn)n2N e ∏sir monoton; (c) minn2N xn = 7 2 ∏si maxn2N xn = 5; (d) minn2N xn = 2 ∏si maxn2N xn = 2. 6
Barem · pagina 7
Solu∏tie. Se expliciteazºa xn = ( 2 3 n ; n = 2k; k 2 N 2 + 3 n ; n = 2k + 1; k 2 N : Cum (x2k)k2N este sub∏sir crescºator ∏si (x2k+1)k2N este descrescºator, avem x2 < x4 < : : : < x2k < : : : < 2 < 2 < : : : < x2k+1 < : : : < x3 < x1: Rºaspuns corect: (c): 14. Valoarea limitei lim x!1 ln(x2 + x + 1) + ln(1 x + x2) x2 este: (a) 3; (b) 2; (c) 1; (d) 1. Solu∏tie. Se aplicºa regula lui líHÙspital. Rºaspuns corect: (d): 15. Fie f : Rnf1; 1g ! R, unde f (x) = x+3 x21 . Numºarul solu∏tiilor ecua∏tiei f (5)(x) = 0 este: (a) 1; (b) 2; (c) 5; (d) 6. 7
Barem · pagina 8
Solu∏tie. Descompunem f (x) = 2 x1 1 x+1 , de unde ob∏tinem f (5)(x) = 5! 2 (x1)6 1 (x+1)6 = 0, adicºa x1 x+1 6 = 2, x 2 R n f1; 1g. Rºaspuns corect: (b): 16. Valorile constantelor reale a, b ∏si c pentru care func∏tia f : R ! R, deÖnitºa prin f (x) = xex + e2x; veriÖcºa egalitatea f 000(x) + af 00(x) + bf 0(x) + cf (x) = 0; x 2 R; sunt: (a) a = 1; b = 1; c = 2; (b) a = 1; b = 1; c = 3; (c) a = 0; b = 3; c = 2; (d) a = 1; b = 0; c = 3. Solu∏tie. Calcul‚nd derivatele ∏si Ónlocuind Ón egalitatea din enun∏t, se ob∏tine sistemul 8 >< >: a + b + c + 1 = 0 2a + b + 3 = 0 4a 2b + c 8 = 0: Rºaspuns corect: (c): 17. Fie func∏tia f : R ! R, deÖnitºa prin f (x) = mex (1 + m)ex 1 + ex : Sºa se precizeze valorile lui m pentru care f este strict monotonºa pe R. (a) m 2 [0; 1); (b) m 2 [0; 1]; 8
Barem · pagina 9
(c) m 2 (1; 1] [ [0; 1); (d) m 2 R. Solu∏tie. Calculºam derivata func∏tiei f ∏si avem f 0(x) = mex + (1 + m)ex + 2(1 + m) (1 + ex)2 : Dacºa m 0, atunci f 0(x) > 0, pentru orice x 2 R, iar dacºa m 1, atunci f 0(x) < 0, pentru orice x 2 R. Pentru 1 < m < 0, deÖnim g(x) = mex + (1 + m)ex + 2(1 + m) ∏si avem limx!1 g(x) = 1 ∏si limx!1 g(x) = 1, deci f 0(x) are semn variabil ∏si nu este monotonºa. Rºaspuns corect: (c): 18. Valoarea integralei I = Z 0 x sin x 1 + cos2 xdx este: (a) 2 4 ; (b) 0; (c) 2 ; (d) p2 2 . Solu∏tie. Fºac‚nd schimbarea de variabilºa x = t se ob∏tine I = Z 0 ( t) sin t 1 + cos2 t dt = Z 0 sin t 1 + cos2 tdt I; de unde I = 2 arctg(cos t)j 0 : Rºaspuns corect: (a): 19. Derivata func∏tiei f : R ! R; f (x) = Z arctg x 0 etg2 tdt este: 9
Barem · pagina 10
(a) f 0(x) = ex2 1+x2 ; (b) f 0 nu existºa; (c) f 0(x) = 1 1+x2 ; (d) f 0x2 . Solu∏tie. Considerºam func∏tia g : 2 ; 2 ! R, g(t) = etg2 t. Deoarece g este continuºa pe 2 ; 2 , admite primitive pe acest interval. Fie G una din aceste primitive. Atunci f (x) = G(arctg x) G(0); de unde rezultºa f 0(x) = G0(arctg x) 1 1 + x2 = g(arctg x) 1 1 + x2 : Rºaspuns corect: (a): 20. O laturºa a unui triunghi este situatºa pe axa Ox, iar celelalte douºa pe dreptele de ecua∏tii 2x 3y + 6 = 0 respectiv 3x + 2y 6 = 0: Coordonatele ortocentrului sunt: (a) ( 6 13 ; 27 13 ); (b) (1 2 ; 2); (c) ( 6 13 ; 30 13 ); (d) (1 2 ; 9 4 ). Solu∏tie. Observºam cºa cele douºa drepte sunt perpendiculare, deci triunghiul este drep- tunghic iar ortocentrul se aáºa la intersec∏tia acestor drepte. Rºaspuns corect (c). 21. Dacºa punctele A(1; 1), B(3; 2) ∏si C(m; m + 3) sunt coliniare, atunci: (a) m = 0; (b) m = 5; (c) m 2 R; (d) m = 3. 10
Barem · pagina 11
Solu∏tie. Din condi∏tia de coliniaritate 1 1 1 3 2 1 m m + 3 1 = 0 se ob∏tine m = 5. Rºaspuns corect: (b): 22. Datºa matricea coloanºa X = a b ; unde a; b 2 R, Ói asociem vectorul ~x = a~i+b~j: Fie matricile A(t) = cos t sin t sin t cos t ; t 2 R; B = 1 1 , U = A 12 B ∏si V = A 6 B: Atunci cosinusul unghiului dintre vectorii ~u ∏si ~v; asocia∏ti respectiv matricelor coloanºa U ∏si V; are valoarea: (a) 0; (b) p3 2 ; (c) p2 2 ; (d) 1 2. Solu∏tie. Observºam cºa ~x ~y = XT Y ∏si jj~xjj2 = XT X: Apoi, matricile U ∏si V corespun- zºatoare vectorilor ~u ∏si ~v sunt: U = A( 12) B = cos 12 sin 12 sin 12 cos 12 1 1 = cos 12 sin 12 sin 12 + cos 12 ∏si V = A( 6 ) B = cos 6 sin 6 sin 6 cos 6 1 1 = cos 6 + sin 6 sin 6 + cos 6 : cos(~u; ~v) = ~u ~v jj~ujj jj~vjj = U T V pU T U pV T V = 2 cos 4 p2p2 = p2 2 : Rºaspuns corect: (c): 23. Mºasura unghiului dintre vectorii a = 3i + 4j ∏si b = 8i + 6j este egalºa cu: 11
Barem · pagina 12
(a) 0; (b) 2 ; (c) 3 2 ; (d) 3 . Solu∏tie. Avem cos( ca; b) = a b jajjbj = 0: Rºaspuns corect: (b): 24. Fie n 2 N ∏si k 2 f0; 1; ; n 1g. Partea realºa a numºarului complex ctg (2k + 1) 2n + i n este egalºa cu: (a) 1; (b) 1; (c) 0; (d) 2. Solu∏tie. Folosind formula lui Moivre, avem ctg (2k + 1) 2n + i n = cos (2k+1) 2 + i sin (2k+1) 2 sin (2k+1) 2n n = i sin (2k+1) 2 sin (2k+1) 2n n Rºaspuns corect: (c): 25. Mul∏timea solu∏tiilor ecua∏tiei p3 sin 4x + 8 sin2 x cos2 x = 1 este: 12
Barem · pagina 13
(a) (2k + 1) 6 ; k 2 Z ; (b) 2 + k 6 ; k 2 Z ; (c) 24 + k 4 ; k 2 Z ; (d) 12 + k 4 ; k 2 Z . Solu∏tie. Folosind formulele sin 2x = 2 sin x cos x ∏si sin2 2x = 1cos 4x 2 , se ob∏tine ecua∏tia p3 sin 4x cos 4x = 0; de unde x = 1 4 arctg 1 p3: Rºaspuns corect: (c): 13
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2021Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 1Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 2Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 3Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 4Deschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă model de pregătire din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.
