Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Model de pregătire · Matematică · 2021

Facultatea de Automatică și Calculatoare · TUIASI

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 5 pagini

Subiect · pagina 1

Model 1 test admitere AC - 2021
1. Trinomul
x2 + 2ax + b; a; b 2 R
are rºadºacinile strict negative dacºa:
(a) a  0 ∏si a2  b; (b) a  0 ∏si b  0;
(c) 0 < b  a2 ∏si a > 0; (d) a  0 ∏si b  a2.
2. Mul∏timea S a tuturor solu∏tiilor sistemului
 xy + x + y = 11
x2y + xy2 = 30
este:
(a) S = f(2; 3) ; (3; 2) ; (1; 5) ; (5; 1)g; (b) S = f(3; 2) ; (1; 5)g;
(c) S = f(1; 5) ; (5; 1)g ; (d) S = f(2; 3) ; (1; 5)g :
3. Mul∏timea valorilor lui x 2 R care sunt solu∏tii ale inecua∏tiei
x2 + 3x + 2
x2  4x + 3 < 1
este:
(a) (1; 3) ; (b) (1; 1) [ (1; 3) ; (c)
1
7; 3

; (d)

1; 1
7

:
4. Rela∏tia dintre numerele:
a = 3
q
2 + p3; b =
q
1 + p2
este:
(a) numerele nu pot Ö comparate; (b) a = b; (c) a > b; (d) a < b:
5. Mul∏timea tuturor valorilor lui x 2 R pentru care jx  1j ; 1; j3x  5j sunt Ón
progresie geometricºa Ón aceastºa ordine este:
(a) ;; (b)
2
3; 2

; (c)
2
3; 1

; (d) f0; 2g.
6. Numºarul de solu∏tii reale ale ecua∏tiei
2x + 2x+1 + 2x+2 = 6x + 6x+1
1

Subiect · pagina 2

este:
(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3:
7. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale inecua∏tiei
log1x(x + 1)  2
este:
(a) (1; 0) [ (3; 1) ; (b) (0; 3) ; (c) ;; (d) (1; 0) [ (0; 1) :
8. Numºarul termenilor ra∏tionali din dezvoltarea binomialºa:
p3 + 3
p2
90
este:
(a) 15; (b) 14; (c) 17; (d) 16:
9. Mul∏timea valorilor lui x 2 R pentru care este adevºaratºa inegalitatea
1 1 1
2 x2  6x + 11 x
1 x2  4x + 5 x  2
 0
este:
(a) [2; 1) ; (b) (1; 0) [ (2; 1) ; (c) (0; 2) ; (d) R:
10. Valorile parametrului real pentru care sistemul de ecua∏tii este incompatibil:
8
<
:
2x + y  z =
x  y + 2z = 1
4x  y + 3z = 2 +
sunt:
(a) 2 (1; 1] ; (b) = 1; (c) 2 R; (d) nu existºa:
11. Pe mul∏timea R a numerelor reale se considerºa legea de compozi∏tie ? deÖnitºa prin
x ? y = mx + ny  1; 8x; y 2 R;
Ón care m ∏si n sunt constante reale. Valorile parametrilor m ∏si n astfel Ónc‚t (M; ?) sºa Öe
grup comutativ sunt:
(a) m = 1; n = 2; (b) m = 1; n = 1; (c) nu existºa; (d) m = 1; n = 1:
2

Subiect · pagina 3

12. Fie
l = lim
n!1
 1
n2 + 2
n2 +    + n
n2

:
Atunci:
(a) l = 1; (b) l = 1
2 ; (c) l = 0; (d) l = 1:
13. Fie suma
Sn = C1
n + 2C2
n + 3C3
n + ::: + nCn
n :
Valoarea limitei lim
n!1
n2021Sn
3n este:
(a) 1; (b) 0; (c) 1; (d) 2:
14. Fie (xn)n2N ∏si (yn)n2N douºa ∏siruri de numere ra∏tionale ce veriÖcºa rela∏tia

3 + p7
n
= xn + yn
p7; 8n 2 N:
Dacºa l = lim
n!1
xn
yn
atunci:
(a) l = 3; (b) l = 0; (c) l = p3; (d) l = p7:
15. Mul∏timea punctelor de continuitate ale func∏tiei f : R ! R, unde
f (x) =
 x, dacºa x 2 Q
x2, dacºa x 2 RnQ
este:
(a) f0; 1g ; (b) [0; 1] ; (c) Q; (d) ;:
16. Fie
l = lim
x!0
esin x  etg x
esin 2x  etg 2x :
Atunci:
(a) l = 0; (b) l = 1
8 ; (c) l = 1
2 ; (d) limita nu existºa:
17. Fie func∏tia f : [1; 1) ! R, f (x) = px + 1: Sºa se determine abscisa x0 a
punctului de pe graÖcul func∏tiei f unde tangenta este paralelºa cu dreapta care une∏ste
punctele de pe graÖc de abscise 0 ∏si 3:
(a) 1
3 ; (b) 1
4 ; (c)  5
6 ; (d) 5
4 :
18. Fie
I =
Z dx
(x2 + 1)2 :
3

Subiect · pagina 4

Atunci:
(a) I = 1
2 arctg x + x
2(x2 + 1) + C;
(b) I = 1
2 arctg x  x
2(x2 + 1) + C;
(c) I = 1
2 arctg x + C;
(d) I = x
2(x2 + 1) + C:
19. Pentru Öecare n 2 N, notºam In =
Z 1
0
x2021  en2x2
dx: Atunci
lim
n!1 n2021  In
are valoarea:
(a) 2021; (b) 1
2021; (c) 0; (d) 1.
20. Coordonatele punctului comun dreptelor
2x  3y  5 = 0; 3x + 4y  16 = 0; 4x  23y + 7 = 0
sunt:
(a) (4; 1); (b) (4; 1); (c) (1; 1); (d) (2; 2):
21. Se considerºa punctul A de coordonate (4; 2) : Punctele situate pe axa Oy aáate la
distan∏ta d = 2p5 fa∏tºa de A au coordonatele:
(a) (2p5; 0); (2p5; 0); (b) (0; 2p5); (0; 2p5); (c) (0; 0); (0; 4); (d) (0; 0); (8; 0):
22. Ecua∏tia dreptei care trece prin punctul A (2; 7) ∏si formeazºa cu axa Ox un unghi
de 60 este:
(a) y + xp3 = 7; (b) y  7 =  1p3 (x  2);
(c) y + 7 =  1p3 (x + 2); (d) y  x 1p3 = 7  2p3:
23. Se dau vectorii !a = 3 !
i + 2!
j ∏si !
b = !
i + 3
2
!
j ; ; 2 R: Condi∏tia ca vectorii
!a ∏si !
b sºa Öe perpendiculari este:
(a) = = 0; (b) = 1; (c) = 1; (d) + = 1:
24. Fie sin  + cos  = a
sin5  + cos5  = b:
Rela∏tia dintre a ∏si b este:
4

Subiect · pagina 5

(a) a(5  a4) = 4b; (b) a(3  a4) = 2b;
(c) a4  3 = a3b; (d) a5 + a3  1 = b.
25. Valoarea expresiei:
E = sin 700 cos 500 + sin 2600 cos 2800
este:
(a) E = 1
2; (b) E =
p3
2 ; (c) E =
p3
4 ; (d) E = 1:
5
Deschide documentul original
Barem · 9 pagini

Barem · pagina 1

Model 1 test admitere AC - 2021 ñsolu∏tii
1. Trinomul
x2 + 2ax + b; a; b 2 R
are rºadºacinile strict negative dacºa:
(a) a  0 ∏si a2  b; (b) a  0 ∏si b  0;
(c) 0 < b  a2 ∏si a > 0; (d) a  0 ∏si b  a2.
Solu∏tie. Se impun condi∏tiile  = 4(a2  b)  0; S = 2a < 0; P = b > 0:
Rºaspuns corect: (c). 
2. Mul∏timea S a tuturor solu∏tiilor sistemului
 xy + x + y = 11
x2y + xy2 = 30
este:
(a) S = f(2; 3) ; (3; 2) ; (1; 5) ; (5; 1)g; (b) S = f(3; 2) ; (1; 5)g;
(c) S = f(1; 5) ; (5; 1)g ; (d) S = f(2; 3) ; (1; 5)g :
Solu∏tie. Notºam x + y = s ∏si xy = p: Se ob∏tine p + s = 11 ∏si ps = 30; de unde s = 5; p = 6
sau s = 6; p = 5 etc.
Rºaspuns corect: (a). 
3. Mul∏timea valorilor lui x 2 R care sunt solu∏tii ale inecua∏tiei
x2 + 3x + 2
x2  4x + 3 < 1
este:
(a) (1; 3) ; (b) (1; 1) [ (1; 3) ; (c)
1
7; 3

; (d)

1; 1
7

:
Solu∏tie. Inegalitatea este echivalentºa cu 1 < x2 + 3x + 2
x2  4x + 3 < 1 ,
8
>><
>>:
2x2  x + 5
(x  1)(x  3) > 0
7x  1
(x  1)(x  3) < 0
,
8
<
:
x 2 (1; 1) [ (3; +1)
x 2

1; 1
7

[ (1; 3) :
Rºaspuns corect: (d). 
1

Barem · pagina 2

4. Rela∏tia dintre numerele:
a = 3
q
2 + p3; b =
q
1 + p2
este:
(a) numerele nu pot Ö comparate; (b) a = b; (c) a > b; (d) a < b:
Solu∏tie. a = 6
p7 + p48 < b = 6
p7 + p50:
Rºaspuns corect: (d). 
5. Mul∏timea tuturor valorilor lui x 2 R pentru care jx  1j ; 1; j3x  5j sunt Ón
progresie geometricºa Ón aceastºa ordine este:
(a) ;; (b)
2
3; 2

; (c)
2
3; 1

; (d) f0; 2g.
Solu∏tie. Condi∏tia ca cele trei numere sºa Öe Ón progresie geometricºa este: jx  1j j3x  5j =
(1)2 : Se expliciteazºa modulele, se rezolvºa ecua∏tiile ob∏tinute ∏si se ∏tine seama de intervalele
considerate.
Rºaspuns corect: (b). 
6. Numºarul de solu∏tii reale ale ecua∏tiei
2x + 2x+1 + 2x+2 = 6x + 6x+1
este:
(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3:
Solu∏tie. Ecua∏tia se mai scrie 2x + 2  2x + 22  2x = 6x + 6  6x sau 7  2x = 7  6x; adicºa
2x  (1  3x) = 0: Cum 2x 6 = 0; 8x 2 R; rezultºa cºa 3x = 1; deci singura solu∏tie este x = 0:
Rºaspuns corect: (b) : 
7. Mul∏timea solu∏tiilor reale ale inecua∏tiei
log1x(x + 1)  2
este:
(a) (1; 0) [ (3; 1) ; (b) (0; 3) ; (c) ;; (d) (1; 0) [ (0; 1) :
Solu∏tie. Condi∏tiile de existen∏tºa ale logaritmilor implicºa x 2 (1; 0) [ (0; 1) :
i) Dacºa 0 < 1  x < 1 ) x 2 (0; 1) ; inecua∏tia devine x + 1  (1  x)2 ) x 2
(1; 0) [ (3; 1)-imposibil.
ii) Dacºa 1 < 1  x ) x 2 (1; 0); inecua∏tia devine x + 1  (1  x)2 ) x 2 (0; 3)-
imposibil.
2

Barem · pagina 3

Rºaspuns corect: (c). 
8. Numºarul termenilor ra∏tionali din dezvoltarea binomialºa:
p3 + 3
p2
90
este:
(a) 15; (b) 14; (c) 17; (d) 16:
Solu∏tie. Tk+1 = Ck
90
p390k  3
p2k = Ck
90390k
2 2k
3 ; de unde k = 6l; 0  6l  90; deci
l = 90
6
 + 1 = 16:
Rºaspuns corect: (d). 
9. Mul∏timea valorilor lui x 2 R pentru care este adevºaratºa inegalitatea
1 1 1
2 x2  6x + 11 x
1 x2  4x + 5 x  2
 0
este:
(a) [2; 1) ; (b) (1; 0) [ (2; 1) ; (c) (0; 2) ; (d) R:
Solu∏tie. Valoarea determinantului este: 3x2 + 15x  19:
Rºaspuns corect: (d). 
10. Valorile parametrului real pentru care sistemul de ecua∏tii
8
<
:
2x + y  z =
x  y + 2z = 1
4x  y + 3z = 2 +
este incompatibil sunt:
(a) 2 (1; 1] ; (b) = 1; (c) 2 R; (d) nu existºa:
Solu∏tie. Determinantul sistemului este egal cu zero. Se cautºa un determinant principal
diferit de zero,  = 2 1
1 1 6 = 0; iar determinantul caracteristic este egal cu zero
independent de :
Rºaspuns corect: (c). 
11. Pe mul∏timea R a numerelor reale se considerºa legea de compozi∏tie ? deÖnitºa prin
x ? y = mx + ny  1; 8x; y 2 R;
3

Barem · pagina 4

Ón care m ∏si n sunt constante reale. Valorile parametrilor m ∏si n astfel Ónc‚t (M; ?) sºa Öe
grup comutativ sunt:
(a) m = 1; n = 2; (b) m = 1; n = 1; (c) nu existºa; (d) m = 1; n = 1:
Solu∏tie. Din proprietatea de comutativitate rezultºa m = n: Din condi∏tia de asociativitate
rezultºa m = 1: Deci x ? y = x + y  1: Se gºase∏ste elementul neutru e = 1: Elementul invers
x ? x = 1 ) x + x  1 = 1 ) x = 2  x:
Rºaspuns corect: (d). 
12. Fie
l = lim
n!1
 1
n2 + 2
n2 +    + n
n2

:
Atunci:
(a) l = 1; (b) l = 1
2 ; (c) l = 0; (d) l = 1:
Solu∏tie. Utilizºam formula 1 + 2 + : : : + n = 1
2 n (n + 1).
Rºaspuns corect: (b). 
13. Fie suma
Sn = C1
n + 2C2
n + 3C3
n + ::: + nCn
n :
Valoarea limitei lim
n!1
n2021Sn
3n este:
(a) 1; (b) 0; (c) 1; (d) 2:
Solu∏tie. Valoarea sumei (se deriveazºa binomul lui Newton (1 + x)n = Pn
k=0 Ck
n xk ∏si se
ia x = 1) este
Sn = n2n1:
Rezultºa limita egalºa cu 0:
Rºaspuns corect: (b). 
14. Fie (xn)n2N ∏si (yn)n2N douºa ∏siruri de numere ra∏tionale ce veriÖcºa rela∏tia

3 + p7
n
= xn + yn
p7; 8n 2 N:
Dacºa l = lim
n!1
xn
yn
atunci:
(a) l = 3; (b) l = 0; (c) l = p3; (d) l = p7:
Solu∏tie. Utiliz‚nd dezvoltarea binomului lui Newton se observºa cºa:

3 + p7
n
= xn + yn
p7; 8n 2 N )

3  p7
n
= xn  yn
p7; 8n 2 N:
4

Barem · pagina 5

Atunci xn = (3+p7)n+(3p7)n
2 ∏si yn = (3+p7)n(3p7)n
2p7 ; de unde
xn
yn
=
p7
h3 + p7n + 3  p7ni
3 + p7n  3  p7n = p7  1+
 3p7
3+p7
n
1
 3p7
3+p7
 :
Cum 3  p7
3 + p7 < 1 ) lim
n!1
xn
yn
= p7  1 + 0
1  0 = p7: 
15. Mul∏timea punctelor de continuitate ale func∏tiei f : R ! R, unde
f (x) =
 x, dacºa x 2 Q
x2, dacºa x 2 RnQ
este:
(a) f0; 1g ; (b) [0; 1] ; (c) Q; (d) ;:
Solu∏tie. Consider‚nd ∏siruri de argumente ra∏tionale respectiv ira∏tionale se constatºa cºa
punctele de continuitate sunt doar cele unde x2 = x.
Rºaspuns corect: (a). 
16. Fie
l = lim
x!0
esin x  etg x
esin 2x  etg 2x :
Atunci:
(a) l = 0; (b) l = 1
8 ; (c) l = 1
2 ; (d) limita nu existºa:
Solu∏tie. Avem
l = lim
x!0
etg x(esin xtg x  1)
etg 2x(esin 2xtg 2x  1)
= lim
x!0
etg x
etg 2x
esin xtg x  1
sin x  tg x
sin 2x  tg 2x
esin 2xtg 2x  1
sin x  tg x
sin 2x  tg 2x
= lim
x!0
sin x  tg x
sin 2x  tg 2x = lim
x!0
cos x  1
cos2 x
2 cos 2x  2
cos2 2x
= 1
2 lim
x!0
cos3 x  1
cos3 2x  1 = 1
8:
Rºaspuns corect: (b) : 
5

Barem · pagina 6

17. Fie func∏tia f : [1; 1) ! R, f (x) = px + 1: Sºa se determine abscisa x0 a
punctului de pe graÖcul func∏tiei f unde tangenta este paralelºa cu dreapta care une∏ste
punctele de pe graÖc de abscise 0 ∏si 3:
(a) 1
3 ; (b) 1
4 ; (c)  5
6 ; (d) 5
4 :
Solu∏tie. Punctele de abscise 0 ∏si 3 sunt A(0; 1) ∏si B(3; 2): Ecua∏tia dreptei AB este:
y = x
3 + 1:
Ecua∏tia tangentei Ón (x0; f (x0)) este
y = f 0(x0)(x  x0) + f (x0):
Pentru ca dreptele sºa Öe paralele, trebuie ca
f 0(x0) = 1
3;
adicºa 1
2px0 + 1 = 1
3:
Rezultºa x0 = 5
4:
Rºaspuns corect: (d). 
18. Fie
I =
Z dx
(x2 + 1)2 :
Atunci:
(a) I = 1
2 arctg x + x
2(x2 + 1) + C;
(b) I = 1
2 arctg x  x
2(x2 + 1) + C;
(c) I = 1
2 arctg x + C;
(d) I = x
2(x2 + 1) + C:
Solu∏tie. Avem
I =
Z (x2 + 1  x2) dx
(x2 + 1)2 =
Z dx
(x2 + 1) 
Z
x xdx
(x2 + 1)2
= arctg x + 1
2
Z
x
 1
x2 + 1
0
dx
= arctg x + 1
2
 x
x2 + 1 
Z 1
x2 + 1dx

:
6

Barem · pagina 7

Rºaspuns corect: (a) : 
19. Pentru Öecare n 2 N, notºam In =
Z 1
0
x2021  en2x2
dx: Atunci
lim
n!1 n2021  In
are valoarea:
(a) 2021; (b) 1
2021; (c) 0; (d) 1.
Solu∏tie. Avem
n2021  In =
Z 1
0
(nx)2021  e(nx)2
dx:
Fºac‚nd schimbarea de variabilºa nx = y; ob∏tinem
n2021  In =
Z n
0
y2021  ey2
dy
n :
Cum func∏tia
F (t) =
Z t
0
y2021  ey2
dy
este derivabilºa pe R ∏si
F 0(t) = t2021  et2
;
rezultºa aplic‚nd regula lui LíHÙpital mai sus cºa
lim
n!1 n2021  In = lim
n!1 n2021  en2
= 0:
Rºaspuns corect: (c). 
20. Coordonatele punctului comun dreptelor
2x  3y  5 = 0; 3x + 4y  16 = 0; 4x  23y + 7 = 0
sunt:
(a) (4; 1); (b) (4; 1); (c) (1; 1); (d) (2; 2):
Solu∏tie. Rezolvºam sistemul
8
<
:
2x  3y  5 = 0
3x + 4y  16 = 0
4x  23y + 7 = 0
: Solu∏tia este: [x = 4; y = 1] :
Rºaspuns corect: (b). 
7

Barem · pagina 8

21. Se considerºa punctul A de coordonate (4; 2) : Punctele situate pe axa Oy aáate la
distan∏ta d = 2p5 fa∏tºa de A au coordonatele:
(a) (2p5; 0); (2p5; 0); (b) (0; 2p5); (0; 2p5); (c) (0; 0); (0; 4); (d) (0; 0); (8; 0):
Solu∏tie. Observºam cºa B(0; m); AB = 2p5 ) p16 + (m  2)2 = 2p5 ) m = 0; m = 4:
Rºaspuns corect: (c). 
22. Ecua∏tia dreptei care trece prin punctul A (2; 7) ∏si formeazºa cu axa Ox un unghi
de 60 este:
(a) y + xp3 = 7; (b) y  7 =  1p3 (x  2);
(c) y + 7 =  1p3 (x + 2); (d) y  x 1p3 = 7  2p3:
Solu∏tie. Existºa douºa drepte care satisfac cerin∏tele problemei av‚nd pantele m1 = tg 
6 =
1p3 ∏si respectiv, m2 = tg(  
6 ) =  1p3 : Deci ecua∏tiile dreptelor sunt: y  7 =  1p3 (x  2):
Rºaspuns corect: (b). 
23. Se dau vectorii !a = 3 !
i + 2!
j ∏si !
b = !
i + 3
2
!
j ; ; 2 R: Condi∏tia ca vectorii
!a ∏si !
b sºa Öe perpendiculari este:
(a) = = 0; (b) = 1; (c) = 1; (d) + = 1:
Solu∏tie. Condi∏tia de perpendicularitate este ca produsul scalar !a  !
b = 0; adicºa 3 +
3 = 0 ()  1 = 0:
Rºaspuns corect: (c). 
24. Fie sin  + cos  = a
sin5  + cos5  = b:
Rela∏tia dintre a ∏si b este:
(a) a(5  a4) = 4b; (b) a(3  a4) = 2b;
(c) a4  3 = a3b; (d) a5 + a3  1 = b.
Solu∏tie. Ridic‚nd la pºatrat prima rela∏tie se ob∏tine
sin  cos  = 1
2 (a2  1):
Apoi descompunem
sin5  + cos5  = (sin  + cos )(sin4   sin3  cos  + sin2  cos2   sin  cos3  + cos4 ):
Folosind rela∏tia sin2  + cos2  = 1 se ob∏tine a(5  a4) = 4b:
Rºaspuns corect: (a). 
25. Valoarea expresiei:
E = sin 700 cos 500 + sin 2600 cos 2800
8

Barem · pagina 9

este:
(a) E = 1
2; (b) E =
p3
2 ; (c) E =
p3
4 ; (d) E = 1:
Solu∏tie. ∏Tinem seama de egalitºa∏tile: sin 700 = cos 200; sin 2600 =  cos 100; cos 2800 =
sin 100; de unde rezultºa
E = cos 200 cos 500  cos 100 sin 100
= 1
2
cos 700 + cos 300  sin 200 = 1
2 cos 300 =
p3
4 :
Rºaspuns corect: (c) : 
9
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2021Informatică · Varianta ADeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Varianta ADeschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 1Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 2Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 3Deschide fișa Model de pregătire · 2021Informatică · Modelul 4Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.