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Model de pregătire · Matematică · 2016

Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică · UCV

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Subiect · 12 pagini

Subiect · pagina 1

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
Model 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: ሺ2 ݔ൅ 5ሻଶ ൌ 16
2. Determinați numărul real m pentru care vârful parabolei asociate funcției݂  :  ࡾ→ ࡾ,݂ 
ሺݔሻ ൌ 2ݔ ଶ െ 5 ݔ݉൅ 3 are abscisa egală cu ଵ
ସ.
3. Să se determine soluția reală a ecuației: log ଷ ሺ5 ݔ൅ 6ሻ ൌ 2
4. Calculați : ௉ఱ
஼ల
మ ା஺ఱ
య
5. Se consideră vectorii : ݒଵሬሬሬሬԦ ൌ ଓԦ ൅ 2ଔԦ și ݒଶሬሬሬሬԦ ൌ 3ଓԦ െ ଔԦ. Determinați coordonatele vectorului
ݓሬሬԦ ൌ ݒଵሬሬሬሬԦ ൅ 3ݒଶሬሬሬሬԦ.
6. Calculați perimetrul triunghiului ABC, știind că : AB=3, AC=5 și ܥܣܤ෣ ൌ 60°.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Pentru fiecareܽ ࡾ ∈ se consideră matricea ൭
െ1 ܽ2
2 ܽܽܽെ1
2
൱ și sistemul ൝
െ ݔ൅ 2 ݕ൅ ݖ ܽൌ 1
ܽ1 ൌ ݖ ܽ൅ ݕ െ ݔ2
 ݔ൅ ݕ ܽ൅ 2 ݖൌ 1
.
a) Să se calculeze determinantul matricei A(a),ܽ  ࡾ ∈ .
b) Să se determineܽ  ࡾ ∈ pentru care sistemul dat poate fi rezolvat prin metoda Cramer.
c) Pentru a=0, să se rezolve sistemul.
2. Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție:  ݔ∗  ݕൌ  ݕݔെ 5 ݔെ 5 ݕ൅ 30,
pentru orice ࡾ ∈ ݕ ,ݔ.
a) Să se arate că :  ݔ∗  ݕൌ ሺ ݔെ 5ሻሺ ݕെ 5ሻ ൅ 5 , pentru orice ࡾ ∈ ݕ ,ݔ.
b) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația: 3 ௫ ∗ 3 ௫ ൌ 21.
c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea "*".
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Se consideră funcția݂  :  ࡾ→ ࡾ,݂  ሺݔሻ ൌ ൜ܽ ݔെ 3,  ݔ൏ 3
2√ ݔ ,ݔ൒ 3
a) Să se determine valoarea reală a lui a, astfel încât funcția f să fie continuă în punctul x 0 =3.
b) Să se calculeze݂  ᇱ ሺ9ሻ.
c) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul A(9,6).
2. Se consideră funcțiile݂  ௠ :  ࡾ→ ࡾ,݂  ௠ ݉ൌ ሻݔሺ ଶ ݔ ଶ ൅ ݔ ݉൅ 2, ݉∈ ࡾ ∗
a) Să se demonstreze că primitivele funcțiilor݂  ௠ sunt funcții crescătoare, pentru orice݉  ࡾ ∈ ∗.
b) Să se calculeze: ݂ሺ ׬ ଵ ሺݔሻ െ ݔ ଶ െ 2ሻ݁ ݀௫ ݔ
ଵ
଴
c) Să se determine݉  ࡾ ∈ ∗ pentru care aria suprafeței plane determinate de graficul funcției݂  ௠,
axa Ox și dreptele x=0, x=1 are valoare minimă.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
Model 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Să se afle partea reală a numărului complex  ݖൌ ሺ2 െ 3√2݅ሻ ଶ.
2. Determinați numărul real m astfel încât soluțiile ecuației ݔ ଶ ൅ ݔ ݉െ ሺ ݉൅ 1 ሻ ൌ 0 să verifice
relația ݔଵଶ ݔ ൅ଶଶ ݔ ൌଵ ݔଶ െ 2.
3. Să se determine soluția reală a ecuației: 2 ଶ௫ െ 9 ∙ 2 ௫ ൅ 8 ൌ 0.
4. Să se afle termenul dezvoltării binomului ܽሺ√ ൅ ଶ
√௔
య ሻ଼଴ , ܽ൐ 0 care nu conține pe a.
5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A(2,3) și B(-1,0). Scrieți ecuația dreptei
AB.
6. Știind că sin ݔ ൌ ଵ
ଷ și  ݔ∈ ሺ0, గ
ଶ ሻ , calculați sin 2ݔ.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Se consideră matricea ቀ2 3
5 6ቁ.
a) Verificați că : ܣଶ െ 8 ܣൌ 3ܫଶ, unde I 2 este matricea unitate.
b) Arătați că matricea ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ este inversa matricei A.
c) Demonstrați că ecuația AX=XA are o infinitate de soluții.
2. Se consideră polinomul :݂  ݔ ൌ ଷ ݔ9 െ ଶ ൅ ݔ ܽെ 24 ∈ ࡾሾܺሿ , cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 ࡾ ∈.
a) Demonstrați că expresia ଵ
௫ భ ௫ మ
൅ ଵ
௫ మ ௫ య
൅ ଵ
௫ భ ௫ య
nu depinde de a.
b) Determinațiܽ  ࡾ ∈ știind că restul împărțirii polinomului f la X-1 este egal cu -6.
c) Aflațiܽ  ࡾ ∈ și rădăcinile polinomului f știind că x1 +x 3 =2x2 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. Se consideră funcția݂  : ሺ0, ∞ሻ → ࡾ,݂  ሺݔሻ ൌ ଶ௫ିଵ
√௫ , oricare ar fi x>0.
a) Verificați că:݂  ᇱ ሺݔሻ ൌ ଶ௫ାଵ
ଶ௫√௫, oricare ar fi x>0.
b) Arătați că 25√14 ൏ 27√13.
c) Calculați lim௫→ஶ
௙൫௫ భయ ൯ା௫ భఱ ା௙ሺ భ
రೣ భయ ሻ
௫ భఱ .
2. Se consideră funcția݂  : ሺ0, ∞ሻ → ࡾ , definită prin݂  ሺݔሻ ൌ ln ݔ.
a) Să se demonstreze că orice primitivă a funcției f este convexă pe ሺ0, ∞ሻ.
b) Calculați ݂׬ ݔሺ ଶ ݁∙ ௫ ݔ݀ሻ
௘ మ
௘ .
c) Determinați volumul corpului de rotație al funcției݃  : ݁,ሾ1 ሿ → ࡾ,݃ ݂ൌ ሻݔሺ ሺݔሻ ∙ ݔ.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 3

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati partea ^ntreaga a numarului A = 1
1  2 + 1
2  3 + ... + 1
2015  2016.
5p 2. Rezolvati ^n Z inecuatia x2  2x  3  0.
5p 3. A ati numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1 + 4
p2)40 .
5p 4. Calculati cosinusul unghiului A al ∆ABC, ^n care AB = 10, AC = 8 si
BC = 12.
5p 5. Se considera punctele A (2, 3) , B (1, 5) si C (6, 3) . Determinati coordonatele
punctului D, astfel ^nc^at patrulaterul ABCD sa e paralelogram.
5p 6. Sa se determine sin 2a, stiind ca sin a = 1
3 si a 2
(π
2 , π
)
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Pentru ecare x 2 R, se considera matricea A (x) =
0
@
1 x x
0 1 x
x  1 0 1
1
A .
5p a) Calculati det A (1) .
5p b) Daca B (1) = A (1)  I3, calculati B (1)3 .
5p c) Calculati A (1)2016 .
2. Pe R se de neste legea x ◦ y = xy  (x + y) p2 + 2 + p2, 8x, y 2 R.
5p a) Veri cati daca x ◦ y = (x  p2) (y  p2) + p2.
5p b) Aratati ca multimea (p2, 1) este parte stabila a lui R, ^n raport cu legea ,,◦".
5p c) Calculati a = (p2016) ◦ (p2015) ◦ ... ◦ p2015 ◦ p2016.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : R ! R, f (x) = ln x2 + 5
x2 + 1.
5p a) Calculati f ′ (x), x 2 R.
5p b) Determinati asimptotele la gra cul functiei f.
5p c) Scrieti ecuatia dreptei tangente la gra cul functiei f ^n punctul de abscisa
x0 = 0.
2. Se considera functia f : R ! R, f (x) = e5xpx2 + 5.
5p a) Daca F : R ! R este o primitiva oarecare a functiei f , studiati monotonia
functiei F.
5p b) Calculti
1∫
0
e5xf (x) dx.
5p c) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia gra cului functiei g : [0, 1] ! R,
g (x) = e5x 4
px2 + 5  f (x) ^n jurul axei Ox.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati suma S = log5
1
2 + log5
2
3 + ... + log5
624
625.
5p 2. Rezolvati ^n R inecuatia 2x + 1
x  1 < 0.
5p 3. Rezolvati ^n R ecuatia log2
3 x  5 log3 x + 4 = 0.
5p 4. ^In reperul cartezian xOy consideram punctele A (0, 5) si B (4, 1) . Scrieti ecuatia
mediatoarei segmentului AB.
5p 5. Calculati distanta de la v^arful parabolei asociate functiei f : R ! R,
f (x) = x2  3x  4 la axa Ox.
5p 6. Rezolvati ^n R ecuatia px + x = 2.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ^In M2 (R) se considera matricea A =
( 5 10
2 4
)
si multimea
H = fX (a) j a 2 R, X (a) = I2 + a  Ag .
5p a) Aratati ca I2 2 H.
5p b) Aratati ca X (a)  X (b) = X ((a + 1) (b + 1)  1) , 8a, b 2 R.
5p c) Aratati ca X (1)  X (2)  ...  X (2015) = X (2016!  1) .
2. Se considera polinomul f = 3X4  aX3  aX + 3, a 2 R si e x1, x2, x3 si x4
radacinile sale.
5p a) Calculati x1 + x2 + x3 + x4 + 1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
+ 1
x4
.
5p b) Aratati ca polinomul f nu e divizibil cu X2  1, pentru nicio valoare realaa a
lui a.
5p c) Calculati x3
1 + x3
2 + x3
3 + x3
4.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R, f (x) = e2016x + 15x + 1.
5p a) Calculati lim
x!0
f (x)  2
x .
5p b) Demonstrati ca f este bijectiva.
5p c) Studiati convexitatea si concavitatea functiei f.
2. Se considera functia f : R ! R, f (x) = x3
x4 + 5.
5p a) Calculati
1∫
0
f (x)dx.
5p b) Calculati
5∫
0
5f (x) + x4f (x)
x8 + 25 dx.
5p c) A ati lim
x!5
1
x  5
x∫
5
f (t)dt.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati suma primilor 15 termeni ai progresiei aritmetice (an)n1, stiind ca
a1 = 2 si a2 = 6.
5p 2. Determinati coordonatele v^arfului parabolei asociate functiei f : R ! R,
f (x) = x2 + 5x + 8.
5p 3. Determinati coe cientul binomial al termenului care contine pe x2 ^n dez-
voltarea binomului
(
x + 2
x
)32
, x > 0.
5p 4. Scrieti ecuatia dreptei ce trece prin punctul A (4, 2) si este perpendiculara pe
dreapta d de ecuatie 2x  4y + 5 = 0.
5p 5. Determinati tg (2a), stiind ca sin a = 4
5 si a 2
(π
2 , π
)
.
5p 6. Fie x1, x2 solutiile ecuatiei x2 + x + 1 = 0. Calculati x3
1 + x3
2.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricele B =
0
@
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1
A si A = a  I3 + b  B, a, b 2 R.
5p a) Calculati B2.
5p b) Calculati B1.
5p c) Demonstrati ca 8a, b 2 R, (a  b)  det A  0.
2. Se considera polinomul f = X4 + aX3 + 2X2  2X + 1 2 R [X] si a un numar
real.
5p a) A ati a, stiind ca x1 + x2 + x3 + x4 + 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) = 0.
5p b) Pentru a = 2 a ati radacinile polinomului f.
5p c) Veri cati egalitatea S4 + aS3 + 2S2 = S1  a  4, unde Sn = xn
1 + xn
2 + xn
3 + xn
4 ,
n 2 N.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : Rn f5g ! R, f (x) = x + 5
x  5.
5p a) Calculati lim
x!0
f (x)  f (0)
x .
5p b) Determinati intervalele de monotonie ale functiei f.
5p c) A ati ecuatia dreptei tangente la gra cul functiei f ^n punctul de abscisa x0 = 0.
2. Fie functia fn : [0, 1) ! R, fn (x) =
x∫
0
tn  et3
dt, unde n 2 N.
5p a) Calculati f2 (x) , x 2 [0, 1).
5p b) Studiati monotonia functiei f3.
5p c) Determinati punctele de in exiune ale gra cului functiei f3.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 6

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati p2 + √2 + p3 + √2  p3.
5p 2. Determinati numarul termenilor irationali ai dezvoltarii binomului (p3 + 1)100 .
5p 3. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia log2 x + log4 x + log8 x = 11
6 .
5p 4. Se considera vectorii !u = (a + 3) !
i + !
j si !v = a!
i + !
j , a 2 R. Determinati
valorile lui a, astfel ^nc^at !u si !v sa e perpendiculari.
5p 5. Determinati modulul numarului complex z =
(1 + 3i
3  i
)25
.
5p 6. Calculati suma S = 2 + 5 + 8 + ... + 122.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se considera matricea A =
0
@
2 2 4
1 3 4
1 2 3
1
A .
5p a) Calculati det A.
5p b) Calculati An, unde n 2 N.
5p c) Aratati ca Bn̸ = O3, 8n 2 N, unde B = (a  1)  C + A, C =
0
@
1 0 0
0 0 0
0 0 0
1
A si
a 2 R.
2. Fie multimea M =
8
<
:A(x) j A(x) =
0
@
1 0 x
0 3x 0
0 0 1
1
A , x 2 R
9
=
; .
5p a) Aratati ca M este parte stabila a lui M3 (R) ^n raport cu ^nmultirea matricelor,
,,".
5p b) Aratati ca (M, ) este grup.
5p c) Calculati A(x)n, unde n 2 N, x 2 R.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : R ! R, f (x) = 5ex + x2  6x + 2.
5p a) Calculati lim
x!+1 f (x) .
5p b) Calculati lim
x!+1
f (x + 1)
f (x) .
5p c) Aratati ca functia f este convexa pe R.
2. Se considera functia f : [5, 5] ! R, f (x) = p25  x2.
5p a) Calculati
5∫
5
x2015f (x) dx.
5p b) A ati volumul corpului obtinut prin rotatia gra cului functiei f ^n jurul axei
Ox.
5p c) Calculati
5∫
0
x3f (x) dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 7

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculati ratia progresiei geometrice (bn)n1 cu termenii pozitivi, daca b4 = 16
si b2 = 4.
5p 2. Rezolvati ^n R inecuatia
(1
2
)x1
<
(1
2
)3x+7
.
5p 3. A ati termenul din dezvoltarea binomului
( 3
px2  x
4
)12
, care contine pe x10.
5p 4. Calculati distanta de la punctul A (1, 0) la dreapta d de ecuatie 4x+3y+1 = 0.
5p 5. Aratati ca parabola asociata functiei f : R ! R, f (x) = x2 + x + 1 este situata
deasupra axei Ox.
5p 6. Determinati sin 2a, c^and cos a = 1
3 si a 2
(π
2 , π
)
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se considera determinantul D (a) =
a  5 1 1
1 a  5 1
1 1 a  5
.
5p a) Calculati D (7) .
5p b) Aratati ca D (a) = (a  7) (a  4)2 , 8a 2 R.
5p c) Determinati numerele reale x, pentru care D
(
7x2
)
= 0.
2. Se considera multimea G = (5, 1) si legea de compozitie x◦y = xy5x5y+30.
5p a) Aratati ca (G, ◦) este grup.
5p b) Aratati ca functia f : G ! R, f (x) = ln (x  5) este un izomor sm ^ntre
grupurile (G, ◦) si (R, +) .
5p c) Calculati a = 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ ... ◦ 2016.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se considera functia f : R ! R, f (x) = x
x2 + 9.
5p a) Calculati f ′ (x) , x 2 R.
5p b) Determinati punctele de extrem ale functiei f.
5p c) Determinati punctele de in exiune ale gra cului functiei f .
2. Se considera functia f : R ! R, f (x) = 5x + 5 arctg x.
5p a) Aratati ca f este bijectiva.
5p b) Calculati
1∫
0
f (x) dx.
5p c) Calculati
1∫
0
f (x)
x2 + 1dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1
2 + 1
2i. Calculati z2016.
5p 2. Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2  5x + 4 = 0, atunci sa se calculeze
x3
1 + x3
2
x1 + x2
.
5p 3. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia 3x2  1
9 = 0.
5p 4. Determinati numarul submultimilor cu doua elemente ale multimii 1, 2, 3, . . .,
2016.
5p 5. ^In reperul cartezian xOy se considera punctele A(1, 1), B(1, 0), C(1, 1).
Calculati aria triunghiului ABC.
5p 6. Determinati sin 2α, stiind ca cos α = 1
2, α 2 (0, π).
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie G multimea tuturor matricilor patratice de ordinul trei, cu elemente numere
reale, de forma Ma,b =
0
@
a b b
b a b
b b a
1
A .
5p a) Calculati det Ma,b.
5p b) Aratati ca H = fMa,b 2 Gj det Ma,b = 1g este o parte stabila a lui M3(R) fata
de ^nmultirea matricilor ,,".
5p c) Aratati ca (H, ) este un grup .
2. Fie sistemul de ecuatii liniare omogene
8
<
:
x + y + 2z = 0
x + y + 2z = 0
2x + 2y + 4z = 0 .
5p a) Determinati rangul matricii sistemului.
5p b) Precizati doua solutii pentru acest sistem.
5p c) Determinati multimea tuturor solutiilor acestui sistem.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : (0, 1) ! R, f (x) = ln x  1
x.
5p a) Aratati ca functia f este strict crescatoare.
5p b) Scrieti ecuatia tangentei la gra cului functiei f ^n punctul de abscisa x0 = 1,
situat pe gra cul lui f .
5p c) Calculati
e∫
1
xf (x) dx.
2. Fie functiile fn : R ! R, n 2 N, de nite astfel: f1(x) = 1, fn+1(x) =
x∫
1
fn(t) dt, n  1.
5p a) Calculati f2(x) si f3(x), x 2 R.
5p b) Folosind metoda inductiei matematice, aratati ca fn(x) = (x  1)n1
(n  1)! , oricare
ar n 2 N.
5p c) Daca an = fn+1(2), atunci aratati ca lim
n!1 an = 0.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 9

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 2  i. Calculati modulul lui (z + 2)2016.
5p 2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie cu axa Ox a gra cului functiei
de gradul doi f : R ! R, f (x) = x2  x  2.
5p 3. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia p3x + 4 = 2.
5p 4. Determinati numarul numerelor naturale n pentru care n!  720.
5p 5. ^In reperul cartezian xOy se considera punctul A(1, 1) si dreapta d de ecuatie
x + y + 1 = 0. Calculati distanta de la A la dreapta d.
5p 6. Daca BC = 5, AB = 4 si AC = 3, atunci determinati raza cercului ^nscris ^n
triunghiul ABC.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Pe multimea numerelor reale R se de neste legea de compozitie data de x ◦ y =
xy + 2x + 2y + 2.
5p a) Aratati ca x ◦ y = (x + 2)(y + 2)  2 pentru orice numere reale x, y.
5p b) Determinati elementele simetrizabile fata de legea de compozitie ◦.
5p c) Aratati ca x ◦ x ◦    ◦ x| {z }
de n ori
= (x + 2)n  2 pentru orice n 2 N, n  2.
2. Se considera polinomul f = X3 + X2 + X + 1 2 R[X].
5p a) Aratati ca f divide polinomul g = (X2  1)(X2 + 1).
5p b) Determinati radacinile x1, x2, x3 ale polinomului f .
5p c) Calculati x2
1x2
2 + x2
2x2
3 + x2
3x2
1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R de nita prin f (x) = min
(
x, 2
1 + x2
)
.
5p a) Aratati ca f (x) =
{ x, daca x  1,
2
1 + x2 , daca x > 1.
5p b) Aratati ca f admite primitive si determinati o primitiva F a lui f .
5p c) Calculati I =
2∫
0
xf (x) dx.
2. Pentru orice n 2 N, se da functia fn : [0, 1) ! R, fn(x) =
1 + x + x2 +    + xn
1 + xn .
5p a) Calculati lim
n!1 fn(1).
5p b) Studiati continuitatea si derivabilitatea functiei f : [0, 1) n f1g ! R, f (x) =
lim
n!1 fn(x).
5p c) Calculati I =
1∫
0
[f2(x)  f1(x)] dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1 + i. Calculati log2 jzj.
5p 2. Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2 + 1 = 0, atunci sa se calculeze x2016
1 +
x2016
2 .
5p 3. Rezolvati ecuatia 3
px3 + 3x2 + 3x + 1  27 = 0.
5p 4. Se considera experienta aruncarii simultane cu doua zaruri identice.
Determinati probababilitatea de a obtine suma zarurilor egala cu 7.
5p 5. Scrieti ecuatia dreptei g care trece prin punctul A(1, 1) si este perpendiculara
pe dreapta d de ecuatie 2x + y  1 = 0.
5p 6. Daca ^n triunghiul ABC se cunosc lungimile laturilor BC = 10, AB = 6,
AC = 7, atunci calculati cos A.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie legea de compozitie pe  : R  R ! R, x  y = x + y + xy.
5p a) Calculati x  0 si x  (1), x 2 R.
5p b) Veri cati daca (R, ) este un grup abelian sau nu.
5p c) Rezolvati ^n R ecuatia x  x  x  x  x = 1.
2. ^In Z5[X] se considera polinomul f = X3 + X + b1, unde Z5 = fb0, b1, b2, b3, b4g.
5p a) Calculati f (b0), f (b1), f (b2), f (b3), f (b4).
5p b) Determinati radacinile din Z5 ale polinomului ef = f + b1.
5p c) Determinati c^atul si restul ^mpartirii polinomului f la polinomul g = X2 + b1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R n f1g ! R, f (x) = x2 + mx + 1
x  1 , m 2 R.
5p a) Pentru m = 0, calculati f ′
(x), x 2 R n f1g.
5p b) Determinati m astfel ^nc^at dreapta y = x + 2 sa e o asimptota la gra cul lui
f .
5p c) Pentru m = 1, calculati
0∫
1
f (x) dx.
2. Fie functia f : (0, 1) ! R, f (x) = ln x  x .
5p a) Determinati abscisa punctului de extrem al functiei f .
5p b) Scrieti ecuatia tangentei la gra cului functiei f ^n punctul M (e, f (e)).
5p c) Calculati
e∫
1
f (x) dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 11
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1 + i
1  i  1  i
1 + i . Calculati jzj2016.
5p 2. Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei x2 + x + m = 0 si veri ca relatia x2
1 + x2
2 =
1, atunci sa se determine parametrul real m.
5p 3. Determinati cel mai mare numar natural par, de trei cifre, care se poate forma
cu cifrele 1, 2, 3, 4 si 5.
5p 4. Rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia log3(px2 + 3x + 1) = 2 log9 x.
5p 5. Determinati numarul real m stiind ca vectorii !a = !
i + 2m!
j si !
b = !
i  !
j
sunt coliniari.
5p 6. Daca cos a = 1
p3, a 2 (0, π), atunci calculati sin a + cos a
sin a  cos a.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =
0
@
1 2 3
m 1 3
0 0 1
1
A , unde m este un numar real.
5p a) Determinati m astfel ^nc^at matricea A sa aiba rangul doi.
5p b) Pentru m = 1, determinati A1.
5p c) Gasiti doua matrici patratice, de ordinul trei, A1 simetrica si A2 antisimetrica
astfel ^nc^at A = A1 + A2.
2. Fie polinomul f = X(X + 1)2n+1 + (m  1)Xn, n 2 N, n  3, m 2 R.
5p a) Calculati f (ε), unde ε este o radacina complexa a polinomului X3  1 = 0.
5p b) Determinati m astfel ^nc^at f sa e divizibil cu X2 + X + 1.
5p c) Pentru n = 3 si m = 1 rezolvati ^n multimea numerelor reale ecuatia f (x) = 0.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R, f (x) = jx  1j  1.
5p a) Determinati coordonatele punctelor de intersectie cu axa Ox a gra cului functiei
f .
5p b) Studiati continuitatea si derivabilitatea functiei f .
5p c) Calculati
2∫
0
f (x) dx.
2. Fie functiile f, g : R ! R, f (x) = x3 + x, g(x) = ex
x2 + 1.
5p a) Calculati f ′(x) si g′(x), x 2 R.
5p b) Calculati In =
1
n∫
0
(f (x)  g(x)) dx, n 2 N.
5p c) Calculati lim
n!1 n2 (In  1).
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

Subiect · pagina 12

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
Model 12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numarul complex z = 1
2 + i
p3
2 . Calculati z2016 + z2016.
5p 2. Daca x1, x2 si x3 sunt radacinile ecuatiei x3  x2 + x  1 = 0, atunci sa se
calculeze x2016
1 + x2016
2 + x2016
3 .
5p 3. Rezolvati ecuatia e2x  2ex  8 = 0.
5p 4. Calculati suma C0
2n  3C1
2n + 9C2
2n  27C3
2n +    + 32nC2n
2n , n 2 N.
5p 5. Scrieti ecuatia dreptei g care trece prin punctul A(1, 1) si este paralela cu
dreapta d de ecuatie 2x + y + 2016 = 0.
5p 6. Ordonati crescator numerele reale cos 1, cos 2, cos 3.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A =
0
@
1 1 1
a1 a2 a3
a2
1 a2
2 a2
3
1
A 2 M3 (R).
5p a) Calculati det(A  At).
5p b) Determinati inversa matricii A, pentru a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3.
5p c) Rezolvati sistemul liniar omogen de matrice A, pentru a1 = 1, a2 = a3 = 1.
2. ^In Z[X] se considera polinomul f = 4X4  4X2 + 1.
5p a) Calculati f
(
 1
p2
)
.
5p b) Determinati radacinile reale ale polinomului f .
5p c) Sa se descompuna polinomul f ^n factori ireductibili ^n Z[X].
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie functia f : R ! R, f (x) = x + ex, x 2 R.
5p a) Calculati f ′(x) si f ′′(x), x 2 R.
5p b) Determinati punctele de extrem pentru functia f : R ! R, g(x) = f (x)+f (x).
5p c) Calculati
1∫
0
g(x) dx.
2. Fie functia f : R n f0g ! R, f (x) = xe 1
x .
5p a) Calculati limitele lim
x↗0 f (x) si lim
x↘0 f (x).
5p b) Determinati punctele de extrem local si global pentru functia f .
5p c) Calculati
2∫
1
x2f
( 1
x
)
dx.
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
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Barem · 18 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE
Model 1
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului
indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 ݔ൅ 5 ൌ േ4 ...........................................................................................................................
x 1 =-1/2, x2 =-9/2 ..................................................................................................................
2. െ ௕
ଶ௔ ൌ ହ௠
ସ ൌ ଵ
ସ ...........................................................................................................................݉
ൌ ଵ
ହ ...........................................................................................................................
3. 5x+6 > 0 ..................................................................................................................
5 ݔ൅ 6 ൌ 9 ...........................................................................................................................
ൌ ݔ ଷ
ହ ...........................................................................................................................
4.ܲ  ହ ൌ 120 ...........................................................................................................................
ܥ଺
ଶ ܣ ൅ ହ
ଷ ൌ 75 ...........................................................................................................................
௉ఱ
஼ల
మ ା஺ఱ
య ൌ଼ ହ ...........................................................................................................................
5. ݓሬሬԦ ൌ ݒଵሬሬሬሬԦ ൅ 3ݒଶሬሬሬሬԦ ൌ 10ଓԦ െ ଔԦ .................................................................................................................
6. BC = √19 ...........................................................................................................................ܲ
ൌ 8 ൅ √19 ...........................................................................................................................
3p
2p
3p
2p
1p
3p
1p
1p
3p
1p
5p
3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) det  ܣൌ 6ሺܽ ଶ െ 1ሻ .................................................................................................................
b)݁݀  0 ്ܣݐ .................................................................................................................്ܽ 
േ1 .................................................................................................................
c) ∆ ௫ ൌ െ6; ∆ൌ െ6;  ݔൌ 1 .................................................................................................................
∆௬ ൌ െ6; ∆ൌ െ6;  ݕൌ 1 .................................................................................................................
∆௭ ൌ െ3; ∆ൌ െ6;  ݖൌ 1/2 .................................................................................................................
2. a)  ݔ∗  ݕൌ ሺ ݔെ 5ሻሺ ݕെ 5ሻ ൅ 5 , pentru orice ࡾ ∈ ݕ ,ݔ .....................................................................
b) ሺ3 ௫ െ 5ሻଶ ൌ 16 .................................................................................................................
3 ௫ െ 5 ൌ േ4 .................................................................................................................
x 1 =2, x 2 =0 .................................................................................................................
c) e = 6 element neutru .................................................................................................................
ݔ ᇱ ൌ ହ௫ିଶସ
௫ିହ , ∀ ݔ് 5 .................................................................................................................
5p
3p
2p
2p
2p
1p
5p
2p
2p
1p
2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)݈  ௦ ሺ3ሻ ൌ݈ ௗ ሺ3ሻ ;ܽ  ൌ ଷାଶ√ଷ
ଷ ...................................................................................................
b)݂  ᇱ ሺ9ሻ ൌ 1/3 .................................................................................................................
c)  ݕെ 6 ൌ 1/3 ∙ ሺ ݔെ 9ሻ .................................................................................................................
2. a) ܨ ᇱ௠ ݂ൌ ሻݔሺ ௠ ሺݔሻ ൐ 0, ∀  ݔ∈ ࡾ deci Fm este strict crescătoare pe R, ∀  ݉∈ ࡾ ∗ ......................
b) ݂ሺ ׬ ଵ ሺݔሻ െ ݔ ଶ െ 2ሻ݁ ݀௫ ݔ
ଵ
଴ ݁ݔ ׬ ൌ ݀௫ ݔ
ଵ
଴ ൌ 1 ...................................................................................
c) ൌ ܽ݅ݎܣ ௠ మ
ଷ ൅ ௠
ଶ ൅ 2 .................................................................................................................
m = -3/4 .................................................................................................................
5p
5p
5p
5p
5p
3p
2p

Barem · pagina 2

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică
Examen de admitere la licență - Sesiunea iulie 2016
Proba scrisă la matematică
Model 2
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului
indicat în barem.
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Re z = -14 .............................................................................................................................
2. ݔଵ ݔ ൅ଶ ; ݉ൌ ݔ ଵ ݔଶ ൌ ݉൅ 1 .........................................................................................................
ݔଵଶ ݔ ൅ଶଶ ݔ ൌଵ ݔଶ െ 2 ↔ ݉ ଶ െ 3 ݉െ 1 ൌ 0 .....................................................................................݉ 
ଵ,ଶ ൌ ଷേ√ଵଷ
ଶ .........................................................................................................................................
3. 2 ௫ ݐ ൌ ................................................................................................................................................
2 ଶ௫ െ 9 ∙ 2 ௫ ൅ 8 ൌ 0 ↔ ݐ ଶ െ 9 ݐ൅ 8 ൌ 0 .........................................................................................
x 1 =3, x 2 =0 ...................................................................................................................................
4. ଼ ଴ି௞
ଶ െ ௞
ଷ ൌ 0 .....................................................................................................................................
k = 48; termenul este T49 .............................................................................................................
5. y = x+1 ...................................................................................................................................
6. cos ݔ ൌ ଶ√ଶ
ଷ .....................................................................................................................................
sin 2ݔ ൌ ସ√ଶ
ଽ .........................................................................................................................................
5p
2p
2p
1p
2p
2p
1p
3p
2p
5p
3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) Calcul direct .........................................................................................................................
b) ܣ ∙ ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ ൌ ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ ∙  ܣൌ ܫଶ, deci ଵ
ଷ ሺ ܣെ 8ܫଶ ሻ este inversa matricei A ……………………
c) Dacăܺ ܾ݀ܿܽሺ ൌ ሻ, AX = XA ܺ↔ ܾܽሺ ൌ ହ
ܾܽଷ ൅ ସ
ܾଷ
ሻ, deci există o infinitate de soluții................
2. a) ଵ
௫ భ ௫ మ
൅ ଵ
௫ మ ௫య
൅ ଵ
௫ భ ௫ య
ൌ ଷ଼ , deci nu depinde de a. .............................................................................
b) f(1) = -6; deci a = 26...............................................................................................................
c) x 1 +x3 =2x2 , rezultă x2 = 3 ......................................................................................................
f(3) = 0, rezultă a = 26 ...............................................................................................................
ሺ ݔെ 3ሻሺݔ ଶ െ 6 ݔ൅ 8 ൌ 0ሻ , rezultă x1=4, x 3 =2......................................................................................
5p
5p
5p
5p
5p
1p
1p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)݂  ᇱ ሺݔሻ ൌ ଶ௫ାଵ
ଶ௫√௫, oricare ar fi x>0……………………………………………………………………………
b)݂  ᇱ ሺݔሻ ൐ 0, oricare ar fi  ݔ൐ 0, deci f este strict crescătoare, de unde 25√14 ൏ 27√13 …………
c)݂  ቀ ଵ
ସ௫ ቁ ൌ െ݂ሺݔሻ ...............................................................................................................................
lim௫→ஶ
௙൫௫ భయ ൯ା௫ భఱ ା௙ሺ భ
రೣ భయ ሻ
௫ భఱ = 1 .............................................................................................................
2. a) ܨ " ሺݔሻ ൌ ଵ
௫ ൐ 0, ∀  ݔ∈ ሺ0, ∞ሻ ........................................................................................................
F este convexă pe ሺ0, ∞ሻ ......................................................................................................................
b) ݂׬ ݔሺ ଶ ݁∙ ௫ ݔ݀ሻ
௘ మ
௘ = ௘ మ ሺ௘ మ ାଷሻ
ଶ ............................................................................................................
c)ܸ  ߨ ൌ ݈݋ ݔ ׬ ଶ ሺln ݔሻ ݀ଶ ݔ
௘
ଵ ൌ గሺହ௘ యି ଶሻ
ଶ଻ ...............................................................................................
5p
5p
3p
2p
4p
1p
5p
5p

Barem · pagina 3

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 3
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. A = 2015
2016 2 (0, 1) , deci [A] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. x 2 (1, 3) ∩ Z = f0, 1, 2g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. (Tk+1 = Ck
402k/4 2 Q) ,
(
k ... 4
)
. Rezulta 11 termeni rationali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. cos A = AB2 + AC2  BC2
2AB  AC = 1
8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. xA + xC
2 = xB + xD
2 , yA + yC
2 = yB + yD
2 , de unde D (3, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. sin 2a =  4p2
9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) det A (1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) B (1)3 = O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) A (1)2016 = C0
2016I3 + C1
2016B (1) + C2
2016B (1)2 =
0
@
1 C1
2016 C1
2016 + C2
2016
0 1 C1
2016
0 0 1
1
A . . . . . . . . . . 5p
2. a) Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) x ◦ y  p2 = (x  p2) (y  p2) > 0, 8x, y > p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) a = α ◦ p2 ◦ β = p2 ◦ β = p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) f ′ (x) = 8x
(x2 + 1) (x2 + 5) , x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) y = 0 asimptota orizontala la +1 si 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) y = ln 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) F ′ (x) = f (x) > 0, 8x 2 R, deci F este strict crescatoare pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b)
1∫
0
√x2 + 5dx = 5 ln (p6 + 1)
2  5 ln 5
4 +
p6
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Vol = π
1∫
0
(x2 + 5)3/2 dx = π
( 75 ln (p6 + 1)
8  75 ln 5
16 + 27p6
8
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

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Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 4
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. S = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. x 2 ( 1
2 , 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. x 2 f3, 81g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. y = x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. yV =  ∆
4a =  25
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) I2 = X (0) 2 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Prin inductie matematica, X (1)  X (2)  ...  X (n) = X ((n + 1)!  1) , 8n 2 N, n  2 . . . . 5p
2. a) S1 + S3
S4
= 2a
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Daca f ... (X2  1), atunci 6  2a = f (1) = 0 si 6 + 2a = f (1) = 0, fals . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) x3
1 + x3
2 + x3
3 + x3
4 = a3
27 + a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) lim
x!0
f (x)  2
x = 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Din f ′ (x) > 0, f este strict crescatoare, deci injectiva. Din f continua si lim
x!+1 f (x) = +1,
lim
x!1 f (x) = 1, f este surjectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Din f ′′ (x) > 0, f este convexa pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a)
1∫
0
f (x) dx = 1
4 ln 6
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b)
5∫
0
5f (x) + x4f (x)
x8 + 25 dx =
p5
20 arctg 57/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) lim
x!5
1
x  5
x∫
5
f (t) dt = f (5) = 25
126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

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Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 5
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. r = 4 si S15 = 15 (a1 + a15)
2 = 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. V
( 5
2 , 57
4
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. Din Tk+1 = 2kCk
32x322k, obtinem k = 15. Coe cientul cerut este C15
32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. 2x + y + 10 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. tg (2a) = 24
7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. x3
1 + x3
2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) B2 = I3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) B1 = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
c) (a  b) det A = (a  b) det
0
@
a + b 0 0
0 a b
0 b a
1
A=(a2  b2)2  0, 8a, b 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) a = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) x1 = x2 = 1, x3 = i, x4 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Calcul direct, folosind relatiile lui Viete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)  2
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Cum f ′ (x) =  10
(x  5)2 < 0, 8x 2 Rn f5g , f este strict descrescatoare pe R. . . . . . . . . . . . . 5p
c) 2x + 5y + 5 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) f2 (x) = 1  ex3
3 , 8x  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Cum f ′
3 (x) = x3ex3
 0, 8x  0, f3 este crescatoare pe [0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Cum f ′′
3 (x) = 3x2 (1  x) (x2 + x + 1) ex3
, 8x  0, x = 1 este punctul de in exiune . . . . . 5p

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Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 6
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. p2 (1 + p3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. (Tk+1 = Ck
1003k/2 2 Q) ,
(
k ... 2
)
. Rezulta 50 de temeni irationali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. a 2 f2, 1g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. jzj = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6. Progresie aritmetica, a1 = 2, r = 3, S = S41 = 41 (2 + 122)
2 = 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) det A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Prin inductie matematica se arata ca An = A, 8n 2 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Daca a = 1, B = A si Bn = An = A̸ = O3, 8n 2 N. Daca a̸ = 1, det B = 1  a̸ = 0 si
Bn̸ = O3, 8n 2 N (altfel, det Bn = det O3 = 0 = det B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) A(x)  A(y) = A(x + y), 8x, y 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Veri carea axiomelor grupului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
c) A (x)n = A (nx) , 8n 2 N, x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) lim
x!+1 f (x) = +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) lim
x!+1
f (x + 1)
f (x) = e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) Din f ′′ (x) = 5ex + 2 > 0, 8x 2 R, f este convexa pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a)
5∫
5
x2015f (x) dx = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Vol = 500π
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c)
5∫
0
x3f (x) dx = 1250
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 7
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. q = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
2. x 2 (0, +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
3. Din Tk+1 = Ck
12
(
 1
4
)k
x8+k/3, obtinem k = 6. Termenul cerut este T7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
4. 3
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
5. a = 1 > 0 si ∆ < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
6.  4p2
9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a) D (7) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) Calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) x 2 f log7 4, 1, 1, log7 4g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) Veri carea axiomelor grupului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
b) f mor sm de grupuri si bijectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) x ◦ y = (x  5) (y  5) + 5. Deci a = α ◦ 5 ◦ β = 5 ◦ β = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) f ′ (x) = 9  x2
(x2 + 9)2 , 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b) 3, 3 sunt punctele de extrem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c) 3p3, 0, 3p3 sunt punctele de in exiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
2. a) Din f ′ (x) > 0, f este strict crescatoare, deci injectiva. Din f continua si lim
x!+1 f (x) = +1,
lim
x!1 f (x) = 1, f este surjectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
b)
1∫
0
f (x) dx = 5π
4 + 5 (1  ln 2)
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
c)
1∫
0
f (x)
x2 + 1 dx = 5π2
32 + 5 ln 2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

Barem · pagina 8

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 8
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
z2 = 1
2 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
i4 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
z2016 = 1
21008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
x1 + x2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x1x2 = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2  2x1x2 = 25  8 = 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x3
1 + x3
2
x1 + x2
= x2
1  x1x2 + x2
2 = 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
3x2 = 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Obtinerea radacinii reale x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Numarul submultimilor este C2
2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ck
n = n!
k!  (n  k)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
C2
2016 = 2016  2015
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Aria ∆ABC este 1
2 j∆j, ∆ =
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p
∆ = 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Aria este egala cu 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
sin 2α = 2 sin α cos α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
sin2 α = 1  cos2 α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
sin α =
p3
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
sin 2α = 
p3
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p

Barem · pagina 9

a) det Ma,b = a3 + 2b3  3ab2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) Ma,b  Mc,d = Mac+2bd,ad+bc+bd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
det (Ma,b  Mc,d) = det Ma,b  det Mc,d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c) Asociativitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Comutativitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Matricea unitate I3 = M1,0 2 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Orice matrice Ma,b 2 H este inversabila si inversa M 1
a,b = Ma2b2,b2ab 2 H . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) Matricea sistemului este A =
0
@
1 1 2
1 1 2
2 2 4
1
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
det A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Toti minorii de rang doi sunt nuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Matricea are rangul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
b) (0, 0, 0) este solutia banala (nula) a acestui sistem liniar omegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
O alta solutie este (3, 1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c) Solutia generala a sistemului este (α  2β, α, β), α, β 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Multimea solutiilor este S = f(α  2β, α, β)jα, β 2 Rg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 1
x + 1
x2 , pentru orice x > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f ′(x) > 0, pe (0, 1) implica f este strict crescatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) f (1) = 1, f ′(1) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ecuatia tangentei ^n M (x0, f (x0)) este y  f (x0) = f ′(x0)  (x  x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ecuatia tangentei ^n M (1, 1) este y + 1 = 2(x  1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c)
e∫
1
xf (x) dx =
e∫
1
x ln x dx 
e∫
1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
e∫
1
x ln x dx = x2
2 ln x
e
1
 1
2
e∫
1
xdx = e2
4
1
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Integrala este egala cu e2
4  e + 5
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f2(x) =
x∫
1
f1(t) dt = x  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f3(x) =
x∫
1
f2(t) dt =
x∫
1
(t  1) dt = (x  1)2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) Etapa I. Veri carea, P(1): f1(x) = (x  1)0
0! , 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Etapa a II-a. P(k) implica P(k+1)
Daca fk(x) = (x  1)k1
(k  1)! atunci fk+1(x) =
x∫
1
fk(t) dt =
x∫
1
(t  1)k1
(k  1)! dt = (x  1)k
k! . . . . . . . . 4 p
c) an = fn+1(2) = 1
n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
lim
n!1 an = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Barem · pagina 10

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 9
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Modulul numarului complex z = a + ib este jzj = pa2 + b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(z + 2)2016 = (i)2016 = ((i)4)504 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
j(z + 2)2016j = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
∆ = b2  4ac = 9 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x1,2 = b  p∆
2a , x1 = 1, x2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Punctele de intersectie ale gra cului cu axa Ox sunt M1(1, 0), M2(2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Conditia de existenta a radicalului 3x + 4 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pp3x + 4 = 2 ) p3x + 4 = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Radacina ecuatiei este x1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
6! = 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
n 2 f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Exista 7 numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Distanta de la punctul A(x0, y0) la dreapta d : ax + by + c = 0 este
d(A, d) = jax0 + by0 + cj
pa2 + b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
d(A, d) = 1
p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Semiperimetrul triunghiului este p = a + b + c
2 = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Aria triunghiului este S = √p(p  a)(p  b)(p  c) = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Raza cercului ^nscris ^n triunghiul ABC este r = S
p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) Pentru orice x, y 2 R avem (x + 2)(y + 2)  2 = xy + 2x + 2y + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) Elementul neutru este 1, x ◦ (1) = (1) ◦ x = x, 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Se observa ca x ◦ (2) = (2) ◦ x = 2̸ = 1, 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Orice x̸ = 2 este simetrizabil, cu simetricul x′ = 2 + 1
x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Barem · pagina 11

c) Veri carea P(2): x ◦ x = (x + 2)2  2, pentru orice x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstratia ca P(k) implica P(k+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Concluzia rezulta conform metodei inductiei matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) (X  1)f = g implica f divide polinomul g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) f = (X + 1)(X2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Radacinile sunt x1 = 1, x2 = i, x3 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p
c) Relatiile lui Viete:
S1 = x1 + x2 + x3 = 1, S2 = x1x2 + x2x3 + x3x1 = 1, S3 = x1x2x3 = 1
Suma ceruta este egala cu S2
2  2S3S1 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) x  2
1 + x2 = (x  1)(x2 + x + 2)
1 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
x  2
1 + x2  0 , x  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x  2
1 + x2 > 0 , x > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) lim
x↗1 f (x) = lim
x↘1 f (x) = f (1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f este continua pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f continua implica f admite primitive pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
O primitiva F a lui f este de forma F (x) =
8
><
>:
x2
2 + c1 daca x  1
1
2 arctgx + c2 daca x > 1
,
c1, c2 constante reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
F derivabila implica F continua, adica c1 = π  1
2 + c, c2 = c
F (x) =
8
><
>:
x2
2 + π  1
2 + c daca x  1
1
2 arctgx + c daca x > 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c) I =
2∫
0
xf (x) dx =
1∫
0
x2 dx +
2∫
1
2x
1 + x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
I = x3
3
1
0
+ ln (x2 + 1) 2
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
I = 1
3 + ln
( 5
2
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) fn(1) = n + 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
lim
n!1 fn(1) = +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) Daca x̸ = 1, atunci fn(x) = 1  xn+1
(1 + xn)(1  x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Daca x 2 [0, 1), atunci lim
n!1 fn(x) = 1
1  x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Daca x 2 (1, +1), atunci lim
n!1 limfn(x) =  x
1  x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
f (x) =
8
<
:
1
1  x daca x 2 [0, 1)
x
x  1 daca x 2 (1, +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f este continua si derivabila pe [0, 1) si pe (1, +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Barem · pagina 12

c) I =
1∫
0
[f2(x)  f1(x)] dx =
1∫
0
[ 1 + x + x2
1 + x2  1 + x
1 + x
]
dx =
1∫
0
x
1 + x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
I = 1
2 ln (1 + x2) 1
0
= 1
2 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Barem · pagina 13

Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 10
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
log2 jzj = log2
p2 = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
x2016
1 + x2016
2 = i2016 + (i)2016 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Ecuatia este echivalenta cu x + 1 = 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 p
x1 = 28 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Probabilitatea este raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul cazurilor posibile 2 p
Exista 36 de cazuri posibile si 6 cazuri favorabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Probabilitatea este 1
6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Panta dreptei d este md = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Panta dreptei g este mg =  1
md
=  1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia dreptei g care trece prin punctul A este y  yA = mg(x  xA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Ecuatia dreptei d este x + 2y  1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Teorema cosinusului: cos A = AB2 + AC2  BC2
2ABAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
cos A =  5
28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) x  0 = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
x  (1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b)  este lege de compozitie asociativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
 este lege de compozitie comutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
 este lege de compozitie cu elementul neutru 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Elementul 1 nu are simetric (x  (1) = 1, 8x 2 R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(R, ) nu este grup, ci doar monoid comutativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c) x  y = (x + 1)(y + 1)  1, 8x, y 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x  x  x  x  x = (x + 1)5  1, 8x 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x = 1 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f (b0) = b1, f (b1) = b3, f (b2) = b1, f (b3) = b1, f (b4) = b4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p

Barem · pagina 14

b) ~f (b4) = f (b4) + b1 = b0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Singura radacina a lui ~f ^n Z5 este b4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c) f = g  X + b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
C^atul si restul ^mpartirii sunt q = X, r = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = x2  2x  1
(x  1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) lim
x!1
f (x)
x = lim
x!1
x2 + mx + 1
x2  x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
lim
x!1 (f (x)  x) = lim
x!1
(m + 1)x + 1
x  1 = m + 1 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
c)
0∫
1
f (x) dx =
0∫
1
x2 + x + 1
x  1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
=
0∫
1
(x  1)(x + 2) + 3
x  1 dx =
0∫
1
(x + 2) dx +
0∫
1
3
x  1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= x2
2 + 2x
0
1
 3 ln jx  1jj0
1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
= 3
2  3 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 1
x  1 = 1  x
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
x = 1 este abscisa singurului punct de extrem al lui f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) Ecuatia tangentei ^n M (x0, f (x0)) este y  f (x0) = f ′(x0)(x  x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x0 = e, f (e) = 1  e, f ′(0) = 1
e  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia tangentei la Gf ^n M (e, f (e)) este y =
( 1
e  1
)
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c)
e∫
1
f (x) dx =
e∫
1
ln x dx 
e∫
1
x dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
=
e∫
1
x′ ln x dx 
e∫
1
x dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
= x ln xje
1 
e∫
1
1 dx  x2
2
e
1
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= 3  e2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

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Universitatea din Craiova
Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 11
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
z = 1 + i
1  i  1  i
1 + i = 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
jzj2016 = 22016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Relatiile lui Viete x1 + x2 = 1, x1x2 = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2  2x1x2 = 1  2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
1 = 1  2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Numarul cerut este 54312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Conditii de existenta: x2 + 3x + 1 > 0, x > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
1
2 log3(x2 + 3x + 1) = log3 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x =  1
3 < 0, ecuatia nu are solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
!a , !
b sunt coliniari daca si numai daca 1
1 = 2m
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
m = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
sin2 a = 1  cos2 a = 2
3 , sin a =
p2
p3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
sin a + cos a
sin a  cos a = 3 + 2p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) det A = 1  2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
Exista un minor de ordin doi nenul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Matricea A este 2 daca si numai daca m = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) det A = 1, A1 = 1
det A  A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Inversa este A1 =
0
@
1 2 3
1 1 0
0 0 1
1
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Barem · pagina 16

c) A1 = 1
2 (A + At) simetrica si A2 = 1
2 (A  At) antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 p
A = A1 + A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f (ε) = ε(ε)2n+1 + (m  1)εn = (m  2)εn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b)f este divizibil cu X2 + X + 1 daca si numai daca f (ε) = 0, f (ε) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
f (ε) = f (ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
c) Pentru n = 3, m = 1, f = X(X + 1)7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia f (x) = 0 are solutia simpla x1 = 0 si solutia multipla x2,...,8 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f (x) =
{ x daca x < 1
x  2 daca x  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Exista doua puncte O(0, 0) si A(2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) f este continua pe R si derivabila pe R n f1g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f ′(x) =
{ 1 daca x < 1
1 daca x > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
f ′
s(1) = 1, f ′
d(1) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c)
2∫
0
f (x) dx =
1∫
0
(x) dx +
2∫
1
(x  2) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
=
(
 x2
2
) 1
0
+
( x2
2  2x
) 2
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Integrala este egala cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 3x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
g′(x) = (x  1)2ex
x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) In =
1
n∫
0
xex dx =
1
n∫
0
x(ex)′ dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= xexj
1
n
0  exj
1
n
0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
In = e
1
n
( 1
n  1
)
+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c) lim
n!1 n2(In  1) = lim
n!1
e
1
n
1
n
(
1  1
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Limita ceruta este egala cu +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

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Facultatea de Automatic˘a, Calculatoare ¸si Electronic˘a
Examen de admitere la licent¸˘a - Sesiunea iulie 2016
Proba scris˘a la matematic˘a
BAREM DE EVALUARE S¸I NOTARE
Model 12
 Pentru orice solut¸ie corect˘a, chiar dac˘a este diferit˘a de cea din barem, se acord˘a
punctajul corespunz˘ator.
 Nu se acord˘a fract¸iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolv˘ari part¸iale, ˆın limitele punctajului indicat ˆın barem.
 Se acord˘a 10 puncte din oficiu. Nota final˘a se calculeaz˘a prin ˆımp˘art¸irea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
z = 1
2 + i
p3
2 si z = 1
2  i
p3
2 sunt radacinile complexe ale ecuatiei z3 + 1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . 2 p
z2016 = (z3)672 = 1 si z2016 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
z2016 + z2016 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Ra dacinile ecuatiei sunt x1 = 1, x2 = i, x3 = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Suma x2016
1 + x2016
2 + x2016
3 = 1 + 1 + 1 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Substitutia ex = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Obtinerea ecuatiei t2  2t  8 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Obtinerea radacinilor t1 = 2, t2 = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
ex = 4, x = ln 4 solutie unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Binomul lui Newton (a + b)2n =
2n∑
k=0
Ck
2na2nkbk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Suma este egala cu (1  3)2n = 22n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Panta dreptei d este md = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Panta dreptei g este mg = md = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Ecuatia dreptei g este y  yA = mg(x  xA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Dupa calcule, ecuatia dreptei g este 2x + y  3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
Functia cos este strict descrescatoare pe [0, π]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
1, 2, 3 2 [0, π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
cos 3 < cos 2 < cos 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) det(A  At) = det A  det At = (det A)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
det A = (a2  a1)(a3  a1)(a3  a2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
det(A  At) = [(a2  a1)(a3  a1)(a3  a2)]2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
b) det A = 2, A1 = 1
det A  A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Inversa este A1 =
0
B
B
@
3  5
2
1
2
3 4 1
1  3
2
1
2
1
C
C
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Barem · pagina 18

c) Sistemul liniar omogen este
8
<
:
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Rangul matricii sistemului este egal cu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Solutia generala este
8
<
:
x = 0
y = α
z = α
, α 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f
(
 1
p2
)
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
b) Radacinile reale a lui f sunt sunt x1 = x2 =  1
p2 , x3 = x4 = 1
p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
c) Descompunerea lui f ^n factori ireductibili ^n Z[X] este
f = (2X2  1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) f ′(x) = 1 + ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
f ′′(x) = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) g(x) = ex + ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
g′(x) = ex  ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
g′(x) = 0, x = 0 unicul punct critic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x = 0 punct de minim pentru g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
c)
1∫
0
g(x) dx =
1∫
0
ex dx +
1∫
0
ex dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= exj1
0  exj1
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
= e  1
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 p
a) lim
x↗0 xe 1
x = lim
y!1
(
 1
y ey
)
= 1, y =  1
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
lim
x↘0 xe 1
x = lim
y!1
( 1
y ey
)
= 0, y = 1
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
b) f ′(x) = x + 1
x  e 1
x , pentru orice x 2 R n f0g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f ′(x) = 0 , x = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
lim
x!1 xe 1
x = 1, lim
x!1 xe 1
x = +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
M (1, e) este unicul punct de extrem local (maxim) pentru f .
Functia f nu are puncte de extrem global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
c)
2∫
1
x2f
( 1
x
)
dx =
2∫
1
xex dx = 
2∫
1
x (ex)′ dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
=  xexj2
1 +
2∫
1
ex dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Valoarea integralei
1∫
1
f (x) dx este 2e  3
e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
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Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă model de pregătire din 2016 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică, Calculatoare și Electronică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.