Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces direct

Acest subiect nu are un barem public asociat.

Concurs de pregătire · Matematică · 2021

Facultatea de Matematică și Informatică · UBB

Înapoi la arhivă

Subiectul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 4 pagini

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB 2021
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
NOT ˘A IMPORTANT ˘A: Problemele pot avea unul sau mai multe r˘aspunsuri corecte,
care trebuie indicate de candidat ˆın sistemul electronic. Notarea subiectului de tip gril˘a se
face conform sistemului de punctare part¸ial˘a din regulamentul concursului.
1. Fie (an)n≥0 un ¸sir de numere reale nenule ˆın progresie geometric˘a, cu rat¸ia r ∈ R. S¸tiind c˘a expresia
E = 4a4
a2
+ 4a8
a7
+ a5 · a7
a2
6
are valoarea minim˘a posibil˘a, s˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A r = 1
2 . B
∣
∣
∣
∣
a12
a9
∣
∣
∣
∣ < 1
4 .
C a5a2 + 2a1a5 + a0a5 > 0. D anan+1 < 0, pentru orice n ∈ N.
2. Fie dreptele d1 ¸si d2 respectiv de ecuat¸ii x − 3y + 1 = 0 ¸si 3x + y + 2 = 0, a un num˘ar real ¸si P punctul
de coordonate (0, a). Punctul P este egal dep˘artat de dreptele d1 ¸si d2, dac˘a a ia valoarea
A − 1
4 . B 0. C 1
4 . D 3
2 .
3. Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei A6
x − 24xC4
x − 11A4
x = 0 este
A {1}. B {9}. C {5}. D {1, 9}.
4. Fie x > 0. Coeficientul binomial al termenului care ˆıl cont¸ine pe x6 din dezvoltarea binomului
(√x − 1
5
√x
)2021
este
A C1435
2021 . B C586
2021. C C587
2021. D C1434
2021 .
5. Fie M , N , P respectiv Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] respectiv [DA] al patrulaterului
oarecare ABCD. Atunci
A −−→
AD + −−→
AB = −−→
CB + −−→
CD. B −−→
M N + −−→
P Q = −→
0 .
C −−→
AB + −−→
BC = −−→
AD + −−→
DC. D −−→
AD + −−→
BC = −−→
BD + −→
CA.
6. Fie (an)n≥1 ¸sirul de termen general
an =
(
1 + 1
n
) (
1 + 2
n
)
· · ·
(
1 + n
n
)
.
S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A lim
n→∞
an+1
an
< 1. B lim
n→∞
an
an+1
< 1. C lim
n→∞ an = ln 2. D lim
n→∞ an = ∞.

Subiect · pagina 2

7. Dac˘a log12 27 = a, atunci valoarea lui log6 16 este:
A 4. B 4(3 − a)
3 + a . C 4 + a
4 − a . D 4(3 + a)
3 − a .
8. Pe intervalul (−1, 1) definim legea de compozit¸ie ,,∗” prin x ∗ y = x+y
1+xy , pentru orice x, y ∈ (−1, 1).
S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Elementul neutru ˆın raport cu ,,∗” este 1
2 . B 1
3 ∗ ( 1
3 ∗ 1
3 ) = 5
9 .
C Legea de compozit¸ie ,,∗” este asociativ˘a. D Simetricul lui 1
3 ˆın raport cu ,,∗” este 1
9 .
9. Fie f : R → R funct¸ia definit˘a prin
f (x) =
{
x4 + a, x ∈ (−∞, 0],
bx3, x ∈ (0, ∞),
unde a, b ∈ R sunt parametri. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Dac˘a a = 0 ¸si b ∈ R, atunci funct¸ia f este continu˘a pe R.
B Dac˘a a = 1 ¸si b = −1, atunci funct¸ia f este strict descresc˘atoare pe R.
C Dac˘a a = 1 ¸si b = −1, atunci funct¸ia f este discontinu˘a ˆın 0.
D lim
x→−∞ f (x) = lim
x→∞ f (x) oricare ar fi a, b ∈ R.
10. Dac˘a cos x = − 1
7 ¸si cos y = − 13
14 , unde x, y ∈
(
π, 3π
2
)
, atunci diferent¸a x − y poate fi
A − π
3 . B π
6 . C π
3 . D 2π
3 .
11. Pentru fiecare n ∈ N∗ se define¸ste funct¸ia fn : R → R prin fn(x) = (2 − x)n, x ∈ R. S˘a se indice care
dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A 0 < fn(x) < 1, pentru orice n ∈ N∗ ¸si orice x ∈ [1, 2]. B lim
n→∞ fn(x) = 0, pentru orice x ∈ [1, 2].
C S¸irul
(
fn(4)
)
n≥1 are un sub¸sir cresc˘ator. D lim
n→∞ fn(4) = ∞.
12. Fie ABC un triunghi nedegenerat astfel ˆıncˆat lungimea segmentului [BC] este √3, m˘asura unghiuluî
B este 60◦ ¸si lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC este 1. S˘a se indice care dintre
urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Aria triunghiului ABC este 3√3
2 . B Perimetrul triunghiului ABC este 3√3.
C Triunghiul ABC este echilateral. D Lungimea razei cercului ˆınscris triunghiului ABC este
√3
2 .
13. Consider˘am ecuat¸iile dreptelor d1 : x = 1 ¸si d2 : y = 1 ˆıntr-un plan cu un sistem de coordonate
carteziene cu originea ˆın O. Oricare ar fi A, B, C puncte ˆın plan astfel ˆıncˆat O, A, B, C sunt vˆarfurile
unui p˘atrat avˆand una dintre diagonale [AB] cu A ∈ d1 ¸si B ∈ d2, avem:
A C ∈ d, unde d : x − y = 0. B Distant¸a dintre A ¸si B este cel put¸in egal˘a cu √2.
C C ∈ d, unde d : x + y = 2. D Aria p˘atratului determinat de O, A, B, C este cel put¸in egal˘a cu 1.
14. Fie f : R → R funct¸ia definit˘a prin f (x) = 3
√x + 2 − 3
√x. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele
afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Funct¸ia f este derivabil˘a ˆın punctul x ∈ R ⇔ x ∈ R \ {−2, 0}.
B Funct¸ia f are exact un punct de extrem local.

Subiect · pagina 3

C Funct¸ia f are cel put¸in un punct de minim global.
D 3
√3 + 3
√7 < 2 3
√5.
15. Relativ la un reper cartezian ortonormat al planului, se consider˘a punctele A(7, 5), B(9, 1). Media-
toarea segmentului [AB] este d : x − 2y = 2. Not˘am cu C mult¸imea tuturor cercurilor avˆand centrul pe
dreapta d, ¸si care trec prin A ¸si B. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Exist˘a ˆın C un cerc cu aria egal˘a cu π.
B Exist˘a ˆın C un cerc cu aria egal˘a cu 17.
C Exist˘a ˆın C un cerc care intersecteaz˘a fiecare ax˘a de coordonate ˆın exact un punct.
D Pentru punctul D(3, 3), cercul circumscris triunghiului ABD se afl˘a ˆın C.
16. Se consider˘a ecuat¸ia matriceal˘a


2 3a 1 −1
1 2 a 2
1 1 4 3

 X =


1
1
1

 , (1)
ˆın care toate matricele care apar sunt considerate matrice cu elemente numere reale. S˘a se indice care
dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Indiferent ce valoare ia parametrul a ∈ R, nu exist˘a matrice din M3(R) care s˘a verifice (1).
B Dac˘a a ∈ R \ {3}, atunci ecuat¸ia (1) are cel put¸in o solut¸ie.
C Ecuat¸ia (1) are cel put¸in o solut¸ie pentru orice a ∈ R.
D Dac˘a
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 3a 1
1 2 a
1 1 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0, atunci ecuat¸ia (1) nu are nicio solut¸ie.
17. Se noteaz˘a cu ` valoarea limitei lim
x→ π
2
(sin x + cos x)tg x. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii
sunt adev˘arate.
A ` = ∞. B ` < 1. C ` ∈ R \ Q. D ` ∈ (2, ∞).
18. Fie v valoarea minim˘a a expresiei E(x, y) = x2 + 2y2, x ∈ R, y ∈ R, unde x ¸si y verific˘a ecuat¸ia
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y 1
1 0 1
0 −1/2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 0.
Atunci
A v > 0. B v = 1. C v < 1. D v = − 1
3 .
19. Specificat¸i care dintre urm˘atoarele condit¸ii implic˘a faptul c˘a dreptele (d1) : ax + by + c = 0,
(d2) : bx + cy + a = 0 ¸si (d3) : cx + ay + b = 0 au cel put¸in un punct comun, a, b, c fiind numere reale
nenule:
A a + b + c = 0. B a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.
C a3 + b3 + c3 = 3abc. D a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca).
20. Fie f : R → (−∞, 0) o funct¸ie care admite primitive ¸si fie F o primitiv˘a a lui f . Valoarea parametrului
m ∈ R pentru care
F (4m2 − 12m + 5) ≥ F (3m2 − 6m − 4)
este:
A m = 1. B m = 2. C m = 3. D m = 4.

Subiect · pagina 4

21. Fie funct¸ia f : R → C∗ definit˘a prin f (x) = cos x + i sin x. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele
afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A f este un morfism de grupuri ˆıntre grupurile (R, +) ¸si (C∗, ·). B f este injectiv˘a.
C f este surjectiv˘a. D f este un izomorfism de grupuri ˆıntre grupurile (R, +) ¸si (C∗, ·).
22. Dac˘a S este mult¸imea solut¸iilor reale ale inecuat¸iei 2 cos2 x ≥ cos x + 1, atunci
A 2020π ∈ S. B 2021π ∈ S. C [ 2018π
3 , 2020π
3
] ⊂ S. D 20 ∈ S.
23. Se noteaz˘a cu ` valoarea limitei lim
t→∞
1
t√t
∫ t
0
(√x + sin (x2)) dx. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele
afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A ` = 0. B ` = 2
3 . C ` = ∞. D ` = π.
24. S˘a presupunem c˘a exist˘a numere complexe a, b, c, d diferite de zero, astfel ˆıncˆat z ∈ C satisface
ecuat¸iile az3 + bz2 + cz + d = 0 s, i bz3 + cz2 + dz + a = 0. ˆIn acest caz, toate valorile posibile (complexe)
ale lui z sunt:
A {i, −i}. B {1, −1}. C {1, i, −1}. D {1, i, −1, −i}.
25. Fie f : R → R funct¸ia definit˘a prin
f (x) = |x − 2k|, pentru orice x ∈ (2k − 1, 2k + 1] ¸si orice k ∈ Z.
S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Funct¸ia f nu este continu˘a pe R. B Funct¸ia f este derivabil˘a pe R \ Z.
C Funct¸ia f este derivabil˘a pe R. D Funct¸ia f nu este continu˘a ˆın punctele mult¸imii {2k−1 : k ∈ Z}.
26. Fie I = lim
t→∞
∫ t
0
x
x4 + 2x2 + 2 dx. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A I = ∞. B I = π
8 . C I = π
4 . D I < 1
2 .
27. Fie f : R → R funct¸ia definit˘a prin f (x) = 3
√(x2 − 1)2 ¸si fie n num˘arul punctelor de extrem local
ale lui f . S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
afirmat¸ii.
A n = 0. B n = 1. C n = 2. D n = 3.
28. ˆIn triunghiul ABC mediana din vˆarful A al triunghiului este egal˘a cu latura BC. S˘a se indice care
dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A 5 sin2 A − cos 2B − cos 2C = −2. B 5 sin2 A + cos 2B + cos 2C = 2.
C 3 sin2 A − 4 sin B sin C cos A = 0. D 4 sin2 A − 3 sin B sin C cos A = 0.
29. Un segment M N paralel cu bazele unui trapez, cu capetele segmentului aflate pe cele dou˘a laturi
neparalele ˆımparte aria trapezului ˆın dou˘a p˘art¸i egale. Dac˘a lungimea bazelor este a ¸si b, a > b, atunci
pentru lungimea l a segmentului M N avem:
A l =
√ a2+b2
2 . B l = √ab. C l > a+b
2 . D l = 2
1
a + 1
b
.
30. Not˘am cu A mult¸imea numerelor naturale n care au ultima cifr˘a 6 ¸si au proprietatea c˘a dac˘a mut˘am
aceast˘a cifr˘a ˆın fat¸a num˘arului, obt¸inem un num˘ar de 4 ori mai mare. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele
afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Dac˘a n ∈ A, atunci 3 | n. B Exist˘a n ∈ A astfel ˆıncˆat 12 | n.
C Exist˘a n ∈ A care are 8 cifre. D Exist˘a n ∈ A care are toate cifrele diferite dou˘a cˆate dou˘a.
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2021Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2021Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2021Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2022Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.