Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces direct

Acest subiect nu are un barem public asociat.

Examen de admitere · Matematică · 2021

Facultatea de Matematică și Informatică · UBB

Înapoi la arhivă

Subiectul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect · 5 pagini

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
ADMITERE 2021
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
Varianta 1.
1. ˆIntr-un reper cartezian xOy se consider˘a punctele A(−1, 1), B(1, 3), C(3, 2). Ecuat¸ia dreptei OG, unde
G este centrul de greutate al triunghiului ABC, este:
A y = −2x; B y = − x
2 ; C y = 2x; D y = x
2 .
2. Relativ la un reper cartezian consider˘am vectorul ~v(t, t2) cu t ∈ R \ {0}. S˘a se indice care dintre
urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Pentru t = 2 vectorul ~v este perpendicular pe vectorul ~a(−1, 1
2 ).
B Exist˘a t astfel ˆıncˆat ~v s˘a fie coliniar cu vectorul ~b(17, 19).
C Exist˘a t astfel ˆıncˆat ~v s˘a fie coliniar cu vectorul ~c(−1, −1).
D Exist˘a t astfel ˆıncˆat ~v s˘a fie coliniar cu vectorul ~d(0, 1).
3. Dac˘a (−4, 0) ¸si (1, −1) sunt dou˘a vˆarfuri ale unui triunghi de arie 4, atunci cel de-al treilea vˆarf se
poate afla pe dreapta:
A x + 5y = 0; B x + 5y + 8 = 0; C x + 5y − 4 = 0; D x + 5y + 12 = 0.
4. Dac˘a dreapta de ecuat¸ie ax + cy − 2b = 0, cu a, b, c > 0, formeaz˘a un triunghi de arie 2 cu axele de
coordonate, atunci:
A a, b, c sunt ˆın progresie geometric˘a; B a, −b, c sunt ˆın progresie geometric˘a;
C a, 2b, c sunt ˆın progresie geometric˘a; D a, −2b, c sunt ˆın progresie geometric˘a.
5. Consider˘am funct¸ia
f : R → R, f (x) =



∣
∣
∣
∣
1
2 x − 3
∣
∣
∣
∣ , dac˘a x ∈ (−∞, −2]
x + 3, dac˘a x ∈ (−2, 1)
3 − 2x, dac˘a x ∈ [1, ∞).
Folosind eventual graficul funct¸iei, stabilit¸i care din urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A f este surjectiv˘a, dar nu este injectiv˘a.
B f este bijectiv˘a.
C f este injectiv˘a, dar nu este surjectiv˘a.
D f nu este nici surjectiv˘a, nici injectiv˘a.
6. Fie familia de funct¸ii de gradul al doilea fm : R → R, fm(x) = mx2 − (2m + 1)x + m + 1, ∀x ∈ R,
unde m ∈ R{0}. Valoarea lui m ∈ R{0} pentru care vˆarful parabolei asociate funct¸iei fm se g˘ase¸ste
pe dreapta de ecuat¸ie 2x + 3y + 6 = 0 este:
A 1
16 ; B − 1
32 ; C − 1
24 ; D − 5
32 .

Subiect · pagina 2

7. Consider˘am sistemul de ecuat¸ii 


ax + y + z = 1
x + ay + z = 2
x + y + z = 4,
unde a este parametru real. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A Determinantul sistemului nu depinde de parametrul a.
B Pentru a < 0 sistemul este compatibil determinat.
C Pentru a = 1 sistemul este compatibil nedeterminat.
D Pentru a = 1 sistemul este incompatibil.
8. Fie A =
(1 a
a 1
)
, unde a ∈ R. Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A Exist˘a a ∈ R astfel ˆıncˆat A2 = O2. B Exist˘a a ∈ R astfel ˆıncˆat A2 = I2.
C Exist˘a a ∈ R astfel ˆıncˆat A2 = A. D Exist˘a a, b ∈ R astfel ˆıncˆat A2 =
(b b
b b
)
.
9. Fie (xn)n≥1 ¸sirul de termen general xn = 3n
(n + 1)! . Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A S¸irul (xn)n≥1 este descresc˘ator. B 0 < xn < 1 pentru orice n ≥ 1.
C lim
n→∞
xn+1
xn
= 0. D lim
n→∞ xn = 0.
10. Fiind dat a ∈ R \ {0}, valoarea limitei lim
x→∞
( x + a
x − a
)x
este
A e−2a; B 1; C e2a; D ∞.
11. Fie L = lim
a→∞
a∫
0
xe−xdx. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A L = ∞. B L = 1. C L < e. D L nu exist˘a.
12. Fie funct¸ia f : R → R, definit˘a prin
f (x) =
{
x4 + ax + 1, dac˘a x < 1
b + ln x, dac˘a x ≥ 1.
Valorile parametrilor reali a ¸si b pentru care f este derivabil˘a pe R sunt:
A a = 3, b = 1; B a = −3, b = 1; C a = −3, b = −1; D a = 1, b = 3.
13. Dac˘a r s, i R sunt razele cercului ˆınscris, respectiv cercului circumscris, unui triunghi care are lungimile
laturilor 3, 4 s, i 5, atunci raportul r
R este:
A 2
5 ; B 5
2 ; C 4
5 ; D 1
5 .
14. Se consider˘a triunghiul ABC ¸si punctele M, N, P astfel ˆıncˆat M este mijlocul laturii AB, −→
AP = 2−→
AC
¸si −−→
BN = k−−→
BC. Valoarea parametrului real k, pentru care −−→
M P = 3−−→
M N este
A 3
2 ; B 1
3 ; C 1
2 ; D 2
3 .

Subiect · pagina 3

15. Consider˘am ˆın R ecuat¸ia
log3
√3 + x + log9(3 − x) = 1
2 .
Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei este:
A S = {0}; B S = {−√3, √3}; C S = {−√6, √6}; D S = {−√12, √12}.
16. Produsul solut¸iilor reale ale ecuat¸iei x2 + x + 4 = 2√x2 + x + 7 este:
A 12; B −12; C 2; D −2.
17. Fie funct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (x) = x + |x3 − x2| + max {x3, x4}. S˘a se indice care dintre
urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A f (x) = x4 − x3 + x2 + x oricare ar fi x ∈ (−∞, 0).
B f (x) = x2 − x oricare ar fi x ∈ [0, 1].
C Funct¸ia f nu este derivabil˘a ˆın 0.
D Tangenta la graficul lui f ˆın punctul O(0, 0) este prima bisectoare.
18. Se consider˘a mult¸imea
A := {a ∈ R | funct¸ia f : [a, ∞) → R, f (x) = x4 − 10x2 + 2021 este strict cresc˘atoare}.
S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A A = ∅. B [3, ∞) ⊆ A. C Mult¸imea A are un cel mai mic element. D 2 /∈ A.
19. Mult¸imea valorilor parametrului real a pentru care ecuat¸ia x2(1 − ln x) = a are dou˘a solut¸ii reale
distincte este:
A (√e, e); B
(
−∞, e
2
)
; C
(
0, e
2
)
; D
[
0, e
2
]
.
20. Dac˘a cos x = − 7
25 ¸si x ∈
( 5π
2 , 3π
)
, atunci:
A cos x
2 = 3
5 ; B cos x
2 = 4
5 ; C cos x
2 = − 3
5 ; D cos x
2 = − 4
5 .
21. Folosind notat¸iile obi¸snuite ˆın triunghiul ABC avem a = 13, b = 1 ¸si tg C
2 = 2
3 . S˘a se indice care
dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A c = 4√10. B c = 6√5. C sin C = 12
13 . D Aria (ABC) = 6.
22. Dac˘a a este un parametru ¸si ecuat¸ia cos 2x + a sin x − 2a + 7 = 0 are solut¸ii, atunci:
A 0 < a ≤ 5;
B 2 ≤ a ≤ 6;
C pentru a = 5 mult¸imea solut¸iilor este S =
{
(−1)k π
6 + kπ|k ∈ Z
}
;
D pentru a = 5 mult¸imea solut¸iilor este S =
{
(−1)k π
3 + kπ|k ∈ Z
}
.
23. Fie α 6 = 1 o r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei z3 = 1. Stabilit¸i care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A |α| = 1. B 1 + 1
α + 1
α2 6 ∈ R.
C α2021 = −α − 1. D Num˘arul −α este r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei z2 − z + 1 = 0.

Subiect · pagina 4

24. ˆIn inelul (Z12, +, ·) ecuat¸ia x2 +̂ 4x +̂ 3 =̂ 0
A nu are solut¸ii;
B nu are solut¸ie unic˘a;
C are exact dou˘a solut¸ii distincte;
D are exact patru solut¸ii distincte.
25. Consider˘am expresia
x ∗ y = xy − 2
x + y − 4 .
Care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate?
A ∗ este lege de compozit¸ie pe R.
B ∗ este lege de compozit¸ie pe (2, +∞).
C 3 ∗ (3 ∗ 3) = 18
5 .
D x ∗ 4 = x, pentru orice x > 3.
26. Valoarea integralei
π/3∫
−π/3
√(1 − cos x)(1 − cos 2x) dx este:
A 0; B 4
3 ; C 2
3 ; D 4√2
3 .
27. Fie funct¸ia f : (−1, ∞) → R, definit˘a prin f (x) = ex − 1 − ln(1 + x) ¸si fie a, b ∈ (−1, ∞) cu a < b.
S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate.
A Funct¸ia f are un singur punct de minim global.
B Funct¸ia f este injectiv˘a.
C
∫ b
a
(1 + ln(1 + x))dx <
∫ b
a
exdx.
D Funct¸ia f are cel put¸in un punct de maxim global.
28. ˆIn sistemul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(−6, 2), B(4, −3), M (α, 0) ¸si N (0, β) . Dac˘a
suma AM + M B + BN + N A este minim˘a, atunci:
A M N = 0; B M N = 1; C M N = √2; D M N = √5.
29. Fie A = {1, 2, . . . , 99, 100}. Cˆate sume egale cu 5044 se pot forma cu elementele mult¸imii A (sumele
necont¸inˆand repetit¸ii de elemente)?
A 3; B 4; C 5; D 6.
30. Pentru fiecare n ∈ N∗ se noteaz˘a In =
∫ 1
0
x2n
1 + x2 dx. S˘a se indice care dintre urm˘atoarele afirmat¸ii
sunt adev˘arate.
A In + In+1 = 1
2n + 1 , ∀ n ∈ N∗. B lim
n→∞ In = 0. C lim
n→∞ nIn = 1
2 . D lim
n→∞ nIn = 1
4 .

Subiect · pagina 5

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
R˘aspunsuri corecte
ADMITERE 2021
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
Varianta 1
1. C
2. A , B , C
3. C , D
4. A , B
5. B
6. B
7. B , D
8. B , C , D
9. A , C , D
10. C
11. B , C
12. C
13. A
14. D
15. C
16. D
17. A , D
18. B , C , D
19. C
20. C
21. A , C , D
22. B , C
23. A , C , D
24. B , D
25. B
26. C
27. A , C
28. D
29. B
30. A , B , D
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2021Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2021Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2021Matematică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2021Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Concurs de pregătire · 2021Matematică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2022Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.