Se încarcă profesorii disponibili…

Subiect și barem

PDF

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces directBarem — acces direct

Subiectul și răspunsurile sunt în același PDF. Afișăm documentul complet, cu toate paginile.

Examen de admitere · Matematică · 2017

Facultatea de Matematică și Informatică · UBB

Înapoi la arhivă

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect și barem · 6 pagini

Subiect și barem · pagina 1

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) (10 puncte) S˘a se arate c˘a oricare ar fi m ∈ R, intersect¸ia
{x ∈ R | (m2 + 1)x2 − 2(m + 1)x + 1 = 0} ∩ (−∞, 0)
este vid˘a.
2) Consider˘am legea de compozit¸ie ∗ definit˘a pe Q prin
x ∗ y = xy − 2x − 2y + 6, ∀x, y ∈ Q.
a) (15 puncte) S˘a se arate c˘a Q \ {2} este parte stabil˘a a lui Q ˆın raport cu ∗ ¸si c˘a (Q \ {2}, ∗) este un
grup abelian.
b) (5 puncte) S˘a se determine a ∈ Q astfel ˆıncˆat f : Q∗ → Q \ {2}, f (x) = x + a s˘a fie un izomorfism
de grupuri de la (Q∗, ·) la (Q \ {2}, ∗).
SUBIECTUL II (30 puncte)
1) (10 puncte) S˘a se determine solut¸iile ecuat¸iei
cos 4x cos 8x − cos 5x cos 9x = 0
situate ˆın intervalul (0, 2).
2) ˆIntr-un reper ortogonal xOy consider˘am punctele A(a, 0) ¸si B(0, b). ˆIn triunghiul OAB fie H
piciorul perpendicularei din O pe AB. ˆIn exteriorul triunghiului OAB se construiesc p˘atratele OACD
¸si OBEF .
a) (10 puncte) Determinat¸i ecuat¸iile dreptelor AE ¸si BC.
b) (10 puncte) Demonstrat¸i c˘a dreptele AE, BC ¸si OH sunt concurente.
SUBIECTUL III (30 puncte)
Consider˘am funct¸ia f : [0, +∞) → R definit˘a prin relat¸ia
f (x) = 2
ln 5 ln(1 + x) + √x, ∀x ≥ 0.
1) (10 puncte) Calculat¸i f ′ ¸si demonstrat¸i c˘a 4 ≤ f (x) ≤ x, ∀x ≥ 4.
2) (5 puncte) Demonstrat¸i c˘a ¸sirul definit prin relat¸ia xn+1 = f (xn), n ∈ N ¸si x0 ≥ 4 este convergent
¸si calculat¸i lim
n→∞ xn.
3) (10 puncte) S˘a se calculeze
lim
x→0
x>0
(1 + f (x)) 1√x .
4) (5 puncte) S˘a se calculeze
lim
x→0
x>0
4∫
x
f ′(t)f (t) dt.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Subiect și barem · pagina 2

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Barem de corectare pentru proba de MATEMATIC ˘A
a concursului de admitere, 17 iulie 2017
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) A = {x ∈ R | (m2 + 1)x2 − 2(m + 1)x + 1 = 0} este mult¸imea solut¸iilor reale ale unei ecuat¸ii de
gradul 2 pentru care ∆ = 4(m + 1)2 − 4(m2 + 1) = 8m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Dac˘a m < 0 atunci A = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Dac˘a m ≥ 0 atunci cele 2 solut¸ii (posibil egale) ale ecuat¸iei (m2 + 1)x2 − 2(m + 1)x + 1 = 0 sunt reale
¸si au acela¸si semn ˆıntrucˆat produsul lor este 1
m2 + 1 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
m ≥ 0 ⇒ m + 1 > 0 ⇒ 2(m + 1)
m2 + 1 > 0, a¸sadar aceste solut¸ii sunt pozitive avˆand suma pozitiv˘a 2 p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2) a) Stabilitatea se rescrie astfel: x, y ∈ Q, x ∗ y = 2 ⇔ x = 2 sau y = 2, iar
xy − 2x − 2y + 6 = 2 ⇔ 0 = xy − 2x − 2y + 4 = (x − 2)(y − 2) ⇒ x = 2 sau y = 2 . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Verificarea asociativit˘at¸ii ∗ (pentru orice x, y, z ∈ Q \ {2},
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z = xyz − 2xy − 2xz − 2yz + 4x + 4y + 4z − 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Verificarea comutativit˘at¸ii ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Luˆand pe x = 0 ˆın x ∗ e = x, ∀x ∈ Q \ {2} obt¸inem e = 3, prin urmare, dac˘a exist˘a element neutru,
acesta este e = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Verificarea faptului c˘a x ∗ 3 = x, ∀x ∈ Q \ {2} pentru finalizarea demonstrat¸iei existent¸ei elementului
neutru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Toate elementele din Q \ {2} sunt simetrizabile ˆın raport cu ∗ : dac˘a x ∈ Q \ {2},
x ∗ x′ = 3 ⇔ xx′ − 2x − 2x′ + 6 = 3 ⇔ (x − 2)x′ = 2x − 3 ⇔ x′ = 2x − 3
x − 2
care apart¸ine mult¸imii Q \ {2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
b) f funct¸ie bijectiv˘a ⇔ (x + a = 2 atunci ¸si numai atunci cˆand x = 0) ⇔ a = 2 . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Verificarea faptului c˘a f este morfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f (x) ∗ f (y) = (x + 2) ∗ (y + 2) = (x + 2)(y + 2) − 2(x + 2) − 2(y + 2) + 6 = xy + 2 = f (xy)
SUBIECTUL II (30 puncte)
Problema 1
(i) Ecuat¸ia este echivalent˘a cu cos 12x − cos 14x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(ii) Ecuat¸ia de la punctul precedent este echivalent˘a cu sin 13x · sin x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(iii) Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei de la (ii) este S =
{ π
13 k, k ∈ Z
}
︸ ︷︷ ︸
S1
⋃ {nπ, n ∈ Z}
︸ ︷︷ ︸
S2
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(iv) S2 ∩ (0, 2) = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(v) 0 < π
13 k < 2, deci 0 < k < 26
π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(vi) x = π
13 , 2π
13 , 3π
13 , 4π
13 , 5π
13 , 6π
13 , 7π
13 , 8π
13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Problema 2
Not˘am cu P punctul de intersect¸ie dintre dreptele AE ¸si BC.
a)
(i) C(a, −a), E(−b, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
(ii) Ecuat¸ia dreptei AE este bx + (a + b)y − ab = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p

Subiect și barem · pagina 3

(iii) Ecuat¸ia dreptei BC este (a + b)x + ay − ab = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
b)
(i) Punctul P are coordonatele P
( ab2
a2 + b2 + ab , a2b
a2 + b2 + ab
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(ii) Panta dreptei AB este kAB = − b
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(iii) Panta dreptei OH este kAB = a
b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(iv) ecuat¸ia dreptei OH este y = a
b x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(v) punctul P apart¸ine dreptei OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
SUBIECTUL III (30 puncte)
1) f ′(x) = 2
ln 5 · 1
1+x + 1
2√x > 0 pe (0, ∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
f (4) = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f cresc˘atoare, deci f (x) ≥ f (4) = 4 pentru x ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
g : [4, ∞) → R, g(x) = f (x) − x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
g′(x) = f ′(x) − 1, ¸si g′′(x) = f ′′(x) = 2
ln 5 · −1
(1+x)2 − 1
4x√x < 0, ∀x ≥ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
g′(4) = 2
5 ln 5 − 3
4 < 0, deci g′(x) < 0, ∀x ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
g(4) = 0, deci g(x) ≤ 0, ∀x ≥ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
2) Demonstrarea prin induct¸ie matematic˘a a inegalitat˘at¸ii xn ≥ 4, ∀n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
xn+1 = f (xn) ≤ xn, deci ¸sirul (xn)n≥0 este descresc˘ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
l ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
l = f (l) ⇒ l = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
3) f (0) = 0, ¸si f este continu˘a ˆın 0, deci avem o nedeterminare de tipul 1∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
lim
x→0
x>0
(1 + f (x)) 1√x = lim
x→0
x>0
[
(1 + f (x)) 1
f (x)
] f (x)
√x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
lim
x→0
x>0
f (x)
√x = 1 + 2
ln 5 lim
x→0
x>0
ln(1+x)
√x = 1 + 2
ln 5 lim
x→0
x>0
ln(1+x)
x · √x = 1 + 2
ln 5 · 1 · 0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 p
lim
x→0
x>0
(1 + f (x)) 1√x = e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
4) f ′(t) · f (t) = 1
2 (f 2)′(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
4∫
x
f ′(t)f (t) dt = 1
2 f 2(t)
∣
∣
∣
∣
4
x
= 1
2 f 2(4) − 1
2 f 2(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
lim
x→0
x>0
4∫
x
f ′(t)f (t) dt = 1
2 f 2(4) − 1
2 f 2(0) = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
NOT ˘A: Orice alt˘a solut¸ie corect˘a va fi punctat˘a corespunz˘ator.

Subiect și barem · pagina 4

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
SOLUT¸ II
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) A = {x ∈ R | (m2 +1)x2 −2(m+1)x+1 = 0} este mult¸imea solut¸iilor reale ale unei ecuat¸ii de gradul
2 pentru care ∆ = 4(m + 1)2 − 4(m2 + 1) = 8m. Dac˘a m < 0, atunci ecuat¸ia nu are r˘ad˘acini reale, deci
A = ∅. Dac˘a m ≥ 0, atunci cele 2 solut¸ii (posibil egale) ale ecuat¸iei (m2 + 1)x2 − 2(m + 1)x + 1 = 0 sunt
reale ¸si au acela¸si semn ˆıntrucˆat produsul lor este 1
m2 + 1 > 0. Din condit¸ia m ≥ 0 rezult˘a m + 1 > 0,
deci x1 + x2 = 2(m + 1)
m2 + 1 > 0. A¸sadar aceste solut¸ii sunt pozitive, deci interect¸ia este vid˘a ¸si ˆın acest
caz.
2) a) Pentru a demonstra stabilitatea este suficient s˘a demonstr˘am x, y ∈ Q, x∗y = 2 ⇔ x = 2 sau y =
2. Din relat¸ia x ∗ y = 2 obt¸inem xy − 2x − 2y + 6 = 2, adic˘a 0 = xy − 2x − 2y + 4 = (x − 2)(y − 2),
deci x = 2 sau y = 2.
Pentru orice x, y, z ∈ Q \ {2} avem x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z = xyz − 2xy − 2xz − 2yz + 4x + 4y + 4z − 6.
Pentru orice x, y ∈ Q \ {2} avem x ∗ y = xy − 2x − 2y + 6 = y = 2y = 2x + 6 = y ∗ x, deci operat¸ia
este comutativ˘a. Luˆand pe x = 0 ˆın x ∗ e = x, ∀x ∈ Q \ {2} obt¸inem e = 3, prin urmare, dac˘a
exist˘a element neutru, acesta este e = 3. Pe de alt˘a parte x ∗ 3 = x, ∀x ∈ Q \ {2}, deci e = 3 este
element neutru. Pentru orice x ∈ Q \ {2} x ∗ x′ = 3 ⇔ xx′ − 2x − 2x′ + 6 = 3 ⇔ (x − 2)x′ =
2x − 3 ⇔ x′ = 2x − 3
x − 2 = 2 + 1
x − 2 6 = 2, care exist˘a ¸si apart¸ine mult¸imii Q \ {2}. b) f funct¸ie bijectiv˘a
⇔ (x + a = 2 atunci ¸si numai atunci cˆand x = 0) ⇔ a = 2. Pentru a = 2 avem f (x) ∗ f (y) =
(x + 2) ∗ (y + 2) = (x + 2)(y + 2) − 2(x + 2) − 2(y + 2) + 6 = xy + 2 = f (xy), deci f este morfism. ˆIn
consecint¸˘a valoarea lui a pentru care f este izomorfism este a = 2.
SUBIECTUL II (30 puncte)
1) Ecuat¸ia se poate scrie 1
2 (cos 12x + cos 4x) = 1
2 (cos 14x + cos 4x)
sau
cos 12x − cos 14x = 0,
de unde
sin 13x · sin x = 0.
Rezolvˆand aceast˘a ecuat¸ie, obt¸inem
x = π
13 k, k ∈ Z sau x = nπ, n ∈ Z.
Este clar c˘a cea de-a doua familie de solut¸ii este inclus˘a ˆın prima, deci putem spune c˘a solut¸ia general˘a
a ecuat¸iei este
x = π
13 k, k ∈ Z.
Pentru a obt¸ine solut¸iile ce verific˘a cerint¸a problemei, trebuie s˘a punem condit¸ia
0 < π
13 k < 2,
de unde
0 < k < 26
π .

Subiect și barem · pagina 5

k trebuind s˘a fie un num˘ar ˆıntreg, obt¸inem k = 1, . . . , 8, deci solut¸iile acceptabile sunt:
x = π
13 , 2π
13 , 3π
13 , 4π
13 , 5π
13 , 6π
13 , 7π
13 , 8π
13 .
2) Coordonatele punctelor care ne intereseaz˘a sunt, dup˘a cum e u¸sor de constatat, urm˘atoarele:
C(a, −a), E(−b, b). Dreapta AE are ecuat¸ia
bx + (a + b)y − ab = 0,
ˆın timp ce dreapta BC are ecuat¸ia
(a + b)x + ay − ab = 0.
Fie P punctul de intersect¸ie a dreptelor AE ¸si BC. Atunci coordonatele lui P sunt date de solut¸ia
sistemului {
bx + (a + b)y − ab = 0,
(a + b)x + ay − ab = 0,
ceea ce ne conduce la
P = P
( ab2
a2 + b2 + ab , a2b
a2 + b2 + ab
)
.
Tot ce mai avem de f˘acut este s˘a demonstr˘am c˘a dreapta OH trece prin punctul P .O A
B
CD
E
F
H
P
Panta dreptei AB este kAB = − b
a , ceea ce ˆınseamn˘a c˘a panta dreptei OH, care este perpendicular˘a
pe AB, kOH = a
b , deci ecuat¸ia dreptei OH este
y = a
b x.
Este u¸sor de constatat c˘a punctul P apart¸ine dreptei OH (coordonatele sale verific˘a ecuat¸ia dreptei).
SUBIECTUL III (30 puncte)
1) Calcul˘am derivata funct¸iei:
f ′(x) = 2
ln 5 · 1
1 + x + 1
2√x .
Pentru x > 0 avem f ′(x) > 0, deci funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe (0, ∞). Pe de alt˘a parte
f (4) = 4, deci din faptul c˘a f este strict cresc˘a toare rezult˘a f (x) > f (4) = 4 pentru x > 4, deci
f (x) ≥ 4, ∀x ≥ 4.

Subiect și barem · pagina 6

Pentru cea de a doua inegalitate consider˘am funct¸ia g : [4, ∞) → R, g(x) = f (x) − x. g′(x) =
f ′(x) − 1, ¸si g′′(x) = f ′′(x) = 2
ln 5 · −1
(1+x)2 − 1
4x√x < 0, ∀x ≥ 4. Astfel g′ este strict descresc˘atoare. ˆIns˘a
g′(4) = 2
5 ln 5 − 3
4 < 0 deoarece ln 5 > 1, deci g′(x) < 0, ∀x ≥ 4 ¸si g este strict descresc˘atoare. Pe de
alt˘a parte g(4) = 0, deci g(x) ≤ 0, ∀x ≥ 4. Aceast˘a inegalitate este echivalent˘a cu f (x) ≤ x ∀x ≥ 4.
2) Demonstr˘am prin induct¸ie matematic˘a inegalitatea xn ≥ 4, ∀n ∈ N. Pentru n = 0 inegalitatea este
adev˘arat˘a datorit˘a condit¸iei din enunt¸. Dac˘a xk ≥ 4, atunci xk+1 = f (xk) ≥ 4 datorit˘a inegalit˘at¸ii
f (x) ≥ 4, ∀x ≥ 4. Astfel pe baza principiului induct¸iei matematice avem xn ∈ [0, ∞), ∀n ∈ N. Folosind
a doua inegalitate de la 1) deducem xn+1 = f (xn) ≤ xn, deci ¸sirul (xn)n≥0 este descresc˘ator ¸si m˘arginit
inferior, adic˘a convergent. Fie l limita ¸sirului (xn)n≥0. Din inegalitatea xn ≥ 4, ∀n ≥ 0 prin trecere la
limit˘a obt¸inem l ≥ 4, iar prin trecere la limit˘a ˆın relat¸ia de recurent¸˘a obt¸inem l = f (l). Astfel folosind
1) deducem l = 4.
3) f (0) = 0, ¸si f este continu˘a ˆın 0, deci avem o nedeterminare de tipul 1∞ ¸si putem folosi limita
lim
y→0(1 + y) 1
y = e (cu y = f (x)).
lim
x→0
x>0
(1 + f (x)) 1√x = lim
x→0
x>0
[
(1 + f (x)) 1
f (x)
] f (x)
√x
,
deci avem de calculat lim
x→0
x>0
f (x)
√x .
lim
x→0
x>0
f (x)
√x = 1 + 2
ln 5 lim
x→0
x>0
ln(1 + x)
√x = 1 + 2
ln 5 lim
x→0
x>0
ln(1 + x)
x · √x = 1 + 2
ln 5 · 1 · 0 = 1,
deci
lim
x→0
x>0
(1 + f (x)) 1√x = e.
4) f ′(t) · f (t) = 1
2 (f 2)′(x), deci
4∫
x
f ′(t)f (t) dt = 1
2 f 2(t)
∣
∣
∣
∣
4
x
= 1
2 f 2(4) − 1
2 f 2(x). Astfel limita cerut˘a este
lim
x→0
x>0
4∫
x
f ′(t)f (t) dt = 1
2 f 2(4) − 1
2 f 2(0) = 8.
Deschide documentul original
Continuă pregătirea

Alte subiecte de la aceeași facultate

Vezi arhiva completă
Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Matematică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.