Despre acest subiect
primăvară · Etapa a II-a
Sursa documentelor: FMI UniBuc – MateInfoUB 2026. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Se încarcă profesorii disponibili…
Subiect și barem
Sursa: FMI UniBuc – MateInfoUB 2026
Concurs de pregătire · Matematică · 2026
Facultatea de Matematică și Informatică · UniBuc
Înapoi la arhivăSubiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 2 pagini
Subiect · pagina 1
Concursul MateInfoUB 2026 - 23 mai 2026 - Problema 1. Not˘am cu R[X] mult¸imea polinoamelor cu coeficient¸i reali ¸si cu S mult¸imea acelor polinoame din R[X] care pot fi scrise ca suma a dou˘a p˘atrate de polinoame din R[X]. a) Demonstrat, i egalitatea: (a2 + 1) (b2 + 1) = (ab + 1)2 + (a − b)2 pentru orice a, b ∈ R. Justificat, i apoi c˘a S este parte stabil˘a ˆın raport cu ˆınmult¸irea polinoamelor. b) Fie P (X) = (X − 1)3Q(X). Ar˘atat¸i c˘a dac˘a P (X) ∈ S atunci Q(1) = 0. c) Determinat, i toate polinoamele din S de forma P (X) = X4 + aX3 + bX2 + cX + 4 care au toate r˘ad˘acinile ˆıntregi. d) Fie un polinom P (X) ∈ R[X] de grad mai mare sau egal cu 1, avˆand proprietatea c˘a P (a) ≥ 0 pentru orice a ∈ R. Ar˘atat¸i c˘a P (X) apart¸ine mult¸imii S. Problema 2. Fie F : [0, ∞) → [0, ∞), F (x) = Z x 0 et√1 + t2dt. a) Demonstrat¸i c˘a F este bijectiv˘a. b) Demonstrat¸i c˘a F (x) + F (y) 2 ≥ F x + y 2 pentru orice x, y ∈ [0, ∞). c) Pentru fiecare n ∈ N∗ not˘am cu an unica solut¸ie a ecuat¸iei F (x) = 1 n. Demonstrat¸i c˘a ¸sirul (an)n∈N∗ este convergent ¸si calculat¸i lim n→∞ an. d) Calculat¸i lim n→∞ nan. Subiectele continu˘a ¸si pe verso!
Subiect · pagina 2
Problema 3. Fie ABCDE un pentagon convex ¸si M, N, P, Q, respectiv R mijloacele laturilor AB, BC, CD, DE, respectiv EA. a) Demonstrat¸i c˘a −−→ AN + −→ AQ = −−→ AM + −→ AR + −→ AP ¸si c˘a −−→ AN + −−→ BP + −→ CQ + −−→ DR + −−→ EM = −→ 0 . b) Demonstrat¸i c˘a triunghiurile AN Q ¸si M P R au acela¸si centru de greutate. c) S¸tergem laturile ¸si vˆarfurile pentagonului ABCDE, p˘astrˆand pe desen doar punctele M, N, P, Q, R, ca ˆın figura de mai jos. Descriet¸i ¸si justificat¸i o modalitate de reconstruct¸ie a figurii init¸iale. d) Demonstrat¸i c˘a pentagonul ABCDE este regulat (adic˘a are laturile de lungimi egale s, i unghiurile de m˘asuri egale) dac˘a ¸si numai dac˘a pentagonul M N P QR este regulat. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.
Barem · 2 pagini
Barem · pagina 1
Concursul MateInfoUB 2026 - 23 mai 2026 - Problema 1 Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p a) Demonstrarea identit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p Justificarea faptului c˘a S e parte stabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p b) Din scrierea P (X) = A2(X) + B2(X) se obt¸ine c˘a 1 e r˘ad˘acin˘a pentru A(X) ¸si B(X) . . . . . . . . 5p Obt¸inerea egalit˘at¸ilor A(X) = (X − 1)A1(X), B(X) = (X − 1)B1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p Repetarea rat¸ionamentului pentru A1(X) ¸si B1(X) ¸si concluzia c˘a au r˘ad˘acina 1 . . . . . . . . . . . . . . 5p Deducerea egalit˘at¸ii Q(1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p c) Produsul r˘ad˘acinilor este 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p Demonstrarea faptului c˘a orice r˘ad˘acin˘a are multiplicitate par˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Determinarea celor patru cazuri posibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p d) Demonstrarea faptului c˘a r˘ad˘acinile reale au multiplicit˘at¸i pare, r˘ad˘acinile complexe nereale sunt conjugate, iar coeficientul dominant este pozitiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p
Barem · pagina 2
Problema 2 Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p a) Demonstrarea injectivit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Demonstrarea surjectivit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p b) Demonstrarea inegalit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20p c) Demonstrarea convergent¸ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Determinarea limitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Obs. ˆIn cazul ˆın care limita a fost calculat˘a direct, se va acorda ¸si punctajul pentru demonstrarea convergent¸ei d) Calcularea limitei ¸si obt¸inerea r˘aspunsului 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p Problema 3 Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p a) Demonstrarea primei egalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15p Demonstrarea celei de-a doua egalit˘at¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15p b) Enunt¸area unei caracteriz˘ari a centrului de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15p c) Indicarea unei construct¸ii posibile ¸si demonstrarea corectitudinii construct¸iei propuse . . . . . . . 20p d) Demonstrarea implicat¸iei directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Demonstrarea implicat¸iei inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2026Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2026Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 2; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2026Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 3; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2026Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 4; broșură comunăDeschide fișa Concurs de pregătire · 2026Informatică · Etapa a II-aDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2026 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.
