Examen de admitere · Matematică, Informatică și Fizică · 2025

Subiect · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 9.07.2025
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2025
I. Algebr˘a. Not˘am
S = {f ∈ R[X] \ {0} | f poate fi scris ca suma a dou˘a p˘atrate de polinoame din R[X]},
unde R[X] este mult¸imea polinoamelor cu coeficient¸i reali.
(a) Determinat¸i valorile parametrului real m pentru care x2 − mx + 10 ≥ 0 pentru orice x ∈ R.
(b) Ar˘atat¸i c˘a X2 − 6X + 10 ∈ S ¸si c˘a X2 − 6X̸ ∈ S.
(c) Demonstrat¸i c˘a, dac˘a P ∈ S, atunci gradul lui P este par. Enunt¸at¸i reciproca acestei afirmat¸ii
¸si justificat¸i dac˘a ea este adev˘arat˘a.
(d) Fie P ∈ S un polinom de gradul doi. Not˘am cu x1 ¸si x2 r˘ad˘acinile (reale sau complexe) ale
lui P ¸si fie d =
1 1 1
1 x1 x2
1 x2 x1
. Ar˘atat¸i c˘a d2 ≤ 0.
II. Analiz˘a. Pentru orice n ∈ N∗ consider˘am funct¸ia fn : [−1, 1] −→ R, fn(x) = ln (1 + n |x|)
n , unde
|x| reprezint˘a modulul lui x.
(a) Studiat¸i continuitatea ¸si derivabilitatea funct¸iei f2.
(b) Determinat¸i punctele de extrem local ale funct¸iei f1 ¸si precizat¸i natura lor (minim sau maxim
local).
(c) Fie funct¸ia g : [−1, 1] → R, g(x) = |x|f1(x). Determinat¸i aria suprafet¸ei plane cuprinse ˆıntre
graficul funct¸iei g, axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = −1 ¸si x = 1.
(d) Calculat¸i
lim
n→∞ fn (0) + fn
√3
n2
!
+ fn
√8
n2
!
+ . . . + fn
√n2 − 1
n2
!
.
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy consider˘am punctele A(4, 0) ¸si B(0, 3). Fie P un punct
arbitrar pe segmentul deschis AB. Not˘am cu D, respectiv E picioarele perpendicularelor duse din
punctul P pe axa Ox, respectiv Oy.
(a) G˘asit¸i ecuat¸ia dreptei AB ¸si ecuat¸ia perpendicularei din punctul O pe dreapta AB. Determinat¸i
coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului AOB ¸si calculat¸i raza acestui cerc.
(b) Fie Q ¸si R simetricele punctului P fat¸˘a de punctele D ¸si respectiv E. Demonstrat¸i c˘a punctele
Q, O ¸si R sunt coliniare.
(c) Determinat¸i coordonatele punctului P astfel ˆıncˆat segmentul DE s˘a aib˘a lungimea minim˘a.
Determinat¸i coordonatele punctului P astfel ˆıncˆat aria patrulaterului P DOE s˘a fie maxim˘a.
(d) Demonstrat¸i c˘a suma distant¸elor de la punctele D ¸si E la dreapta AB este egal˘a cu lungimea
ˆın˘alt¸imii din O a triunghiului AOB.

Subiect · pagina 2

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 3

1
INFORMATICĂ – Varianta 4
În cele ce urmează x div y și x mod y reprezintă câtul și restul împărțirii numărului natural x la numărul natural nenul y.
1. Se consideră următoarea secvență scrisă în pseudocod, în care variabilele i, j, s și n sunt de tip întreg, iar a este un
tablou bidimensional de numere naturale cu n linii și n coloane, având liniile și coloanele numerotate de la 1.
n ß 9
┌pentru i ß 2,n execută
│ a[i,1] ß a[i-1,n]
│ ┌pentru j ß 2,n execută
│ │ a[i,j] ß a[i-1,j-1]
│ └■
└■
s ß a[1,1] + a[1,9] + a[9,1] + a[9,9] + a[5,5]
scrie s
Dacă, după executarea secvenței date, se afișează valoarea 11, care din următoarele 4 tablouri unidimensionale poate
fi prima linie a tabloului bidimensional a?
A) (2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 9) B) (5, 1, 7, 6, 9, 8, 2, 4, 3)
C) (2, 1, 5, 6, 9, 8, 3, 7, 4) D) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2. Într-un arbore cu rădăcină un nod se află pe nivelul x dacă lanțul elementar care are o extremitate în nodul respectiv și
cealaltă extremitate în rădăcina arborelui are lungimea x. Pe nivelul 0 se află un singur nod (rădăcina). Considerăm un
arbore cu rădăcină în care numărul de noduri de pe un nivel i este egal cu Fi, unde Fi este al i-lea termen din șirul
Fibonacci, definit astfel: F0 = 1, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 pentru n ≥ 2. Știind că arborele are 11 niveluri, care este
diferența dintre numărul maxim și numărul minim de frunze pe care le poate avea un astfel de arbore?
A) 132 B) 221 C) 220 D) 133
3. Considerăm următoarea funcție recursivă:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
long f(long n, long c)
{
if(n == 0)
return 0;
if(n%10 >= c)
return f(n/10, n%10)*10 + 9;
return f(n/10, n%10)*10 + 7;
}
function f(n, c: longint): longint;
begin
if n = 0 then f := 0
else
if n mod 10 >= c then
f := f(n div 10, n mod 10)*10 + 9
else
f := f(n div 10, n mod 10)*10 + 7
end;
Care este valoarea expresiei f(615513821,0)?
A) 797799777 B) 977977999 C) 799799777 D) 979977999
4. Se consideră arborii cu rădăcină T1, T2, T3 și T4 , cu nodurile numerotate de la 1, reprezentați prin vectorii de tați
tata1 = (2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2), tata2 = (0,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3),
tata3 = (0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3), tata4 = (0,1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6), unde
tatai este vectorul de tați al arborelui Ti, pentru iÎ{1,2,3,4}. Care dintre cei 4 arbori are cele mai multe frunze?
A) T2 B) T3 C) T4 D) T1

Subiect · pagina 4

2
5. Se consideră următoarea secvență de pseudocod, în care variabilele i, j, k și n sunt de tip întreg, iar v este un tablou
unidimensional de numere întregi cu n elemente, având pozițiile numerotate de la 1.
i ß 1
┌cât timp i £ n execută
│ ┌dacă v[i] < 0 atunci
│ │ j ß i
│ │ ┌cât timp j £ n-1 execută
│ │ │ v[j] ß v[j+1]
│ │ │ j ß j + 1
│ │ └■
│ │ n ß n - 1
│ └■
│ i ß i + 1
└■
k ß 0
┌pentru i ß 1,n execută
│ ┌dacă v[i] < 0 atunci
│ │ k ß k + 1
│ └■
└■
scrie k
Considerăm 5 posibile tablouri v, respectiv: (2,5,-7,11,-48,22,-5), (37,-103,-221,4,16,39), (-53,10,
27,-55,12,19,-99), (-4,-67,-33,14,15,-11) și (4,6,3,1,5,-1). Pentru câte dintre cele 5 tablouri
menționate, la finalul executării secvenței de pseudocod se va afișa 0?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 0
6. Se consideră următoarea secvență de pseudocod, în care variabilele i, aux și n sunt de tip întreg, iar v este un tablou
unidimensional de numere naturale cu n elemente, având pozițiile numerotate de la 1. Tabloul v și dimensiunea sa n se
consideră deja citite.
┌pentru i ß 2,n execută
│ ┌dacă v[1] > v[i] atunci
│ │ aux ß v[1]
│ │ v[1] ß v[i]
│ │ v[i] ß aux
│ └■
└■
┌pentru iß 1,n-1 execută
│ ┌dacă v[i] > v[i+1] atunci
│ │ aux ß v[i]
│ │ v[i] ß v[i+1]
│ │ v[i+1] ß aux
│ └■
└■
Câți dintre vectorii (111, 143, 129, 201, 112, 219, 222), (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90),
(243, 118, 176, 404, 509, 870), (222, 143, 129, 201, 112, 219, 111), (53, 79, 199, 204,
108, 302, 890, 976) pot reprezenta vectorul v la finalul executării secvenței de cod?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1

Subiect · pagina 5

3
7. Fie G un graf neorientat cu 4 noduri, numerotate de la 1 la 4, având muchiile [1,2], [2,3], [2,4], [4,1]. Numim
3-colorare a lui G un vector cu 4 elemente c = (c1, c2, c3, c4) cu proprietatea că, pentru fiecare i Î {1,2,3,4},
al i-lea element din vector ci aparține mulțimii {1,2,3} și reprezintă culoarea nodului i al grafului G. O 3-colorare
a lui G se numește proprie dacă ci ¹ cj pentru orice muchie [i,j] din G (adică orice muchie are extremitățile de
culori diferite). Folosind metoda backtracking se generează toate 3-colorările proprii ale lui G, culorile pentru fiecare
nod fiind considerate în ordinea 1,2,3. Dacă primele două 3-colorări proprii generate sunt, în această ordine,
(1,2,1,3) și (1,2,3,3), care este cea de-a șasea 3-colorare proprie generată?
A) (2,3,1,1) B) (2,1,2,3) C) (2,3,2,1) D) (2,1,3,3)
8. Fie v un tablou unidimensional cu n ³ 1 elemente întregi distincte, având pozițiile numerotate de la 1. Considerând
faptul că elementele tabloului au fost citite, care este complexitatea timp a celui mai eficient algoritm care determină
poziția pe care s-ar afla v[n] dacă tabloul ar fi sortat descrescător?
A) 𝒪(𝑛) B) 𝒪(𝑛 ⋅ log! 𝑛) C) 𝒪(log! 𝑛) D) 𝒪(𝑛!)
9. Un grup de n > 4 copii s-a hotărât să joace telefonul fără fir. Copiii au stabilit x perechi (i,j) cu semnificația aceasta:
i poate să-i trimită mesaj lui j (i ¹ j). Apoi au testat dacă își pot trimite mesaj unul altuia direct sau prin intermediari
(unul sau mai mulți intermediari). După test, concluziile au fost următoarele:
• n-2 dintre copiii din grup au spus fiecare: "am putut trimite mesaj tuturor celorlalți copii din grup, dar nu am putut
primi mesaj de la exact 2 dintre aceștia"
• ceilalți 2 copii din grup au spus fiecare: "am putut primi mesaj de la toți ceilalți copii din grup, dar nu am putut
trimite mesaj decât unui singur copil"
Care dintre următoarele afirmații referitoare la valoarea minimă a lui x este adevărată?
A) este egală cu 𝑛 B) este mai mică strict decât 𝑛 C) este mai mare strict decât 𝑛 + 1 D) este egală cu 𝑛 + 1
10. Considerăm un graf neorientat G care are nodurile etichetate cu toate submulțimile mulțimii {1,2,…,n}, unde n ≥ 3,
iar între oricare două noduri distincte există muchie dacă și numai dacă intersecția etichetelor celor două noduri conține
cel puțin două elemente. Numărul componentelor conexe ale grafului G este egal cu:
A) 𝑛 + 1 B) 2! − 𝑛 − 1 C) 𝑛 + ! ⋅ (!%&)
(
D) 𝑛 + 2
11. Cristian vrea să scrie un subprogram care primește ca date de intrare numerele naturale n și k și afișează mesajul "DA"
dacă numărul natural n poate fi scris ca suma a k numere întregi consecutive și mesajul "NU" în caz contrar. Astfel,
pentru perechea n = 12, k = 3 mesajul corect ar trebui să fie "DA", iar pentru perechea n = 12, k = 2 mesajul
corect ar trebui să fie "NU". Cristian, care uneori mai și greșește când programează, a scris următorul subprogram:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
void cons(int n, int k)
{
if(n % k == 0)
cout << "DA";
else
cout << "NU";
}
procedure cons(n, k: integer);
begin
if n mod k = 0 then
write('DA')
else
write('NU')
end;
Pentru câte din apelurile cons(100,8), cons(500,3), cons(1000,9), cons(2000,16) și cons(2025,25)
mesajul afișat de subprogramul scris de Cristian este cel corect?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 0

Subiect · pagina 6

4
12. Se consideră următorul program :
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
char s[8][21] = {"revedere", "cerere",
"programare", "informatica", "admitere",
"burete", "greiere", "recursivitate"};
int main()
{
int c = 0, i, n = 8;
for(i = 0; i < n; i++)
if(expresie_logică)
c++;
cout << c;
return 0;
}
var s: array[0..7] of string[20] =
('revedere', 'cerere', 'programare',
'informatica', 'admitere', 'burete',
'greiere', 'recursivitate');
i, c, n: integer;
begin
c := 0;
n := 8;
for i := 0 to n-1 do
if expresie_logică then
c := c + 1;
write(c);
end.
în care expresie_logică poate fi una dintre următoarele 4 expresii:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
E1) strstr(s[i],"re")!=NULL
E2) strcmp(s[i]+strlen(s[i])-2,"re")==0
E3) strstr(s[i],"re")!=NULL &&
strcmp(strstr(s[i], "re"),"re")==0
E4) s[i][strlen(s[i])-1]=='r' &&
s[i][strlen(s[i])-2]=='e'
E1) pos('re',s[i])<>0
E2) copy(s[i],length(s[i])-1,2)='re'
E3) (pos('re', s[i])<>0) and
(copy(s[i],pos('re',s[i]),21)='re')
E4) (s[i][length(s[i])]='r') and
(s[i][length(s[i])-1]='e')
Cu care dintre cele 4 expresii date trebuie înlocuită expresie_logică în programul dat astfel încât, la finalul
executării sale, să fie afișat numărul de cuvinte memorate în s care îl au ca sufix pe "re"? Un sufix al unui șir se
obține prin ștergerea a zero sau mai multor caractere de la începutul șirului, aflate pe poziții consecutive.
A) E2 B) E3 C) E4 D) E1
13. Considerăm următorul algoritm descris în pseudocod, în care variabilele s, i și j sunt toate de tip număr real:
s ß 0.0
j ß 1.0
i ß 2.0
┌cât timp i/j > 0.0001 execută
│ j ß j + j
│ s ß s + i/j
│ scrie s
└■
După executarea algoritmului, numărul valorilor s care au fost afișate va fi cuprins între:
A) 10 și 19 B) 20 și 29 C) 30 și 39 D) 0 și 9

Subiect · pagina 7

5
14. Considerăm următorul algoritm descris în pseudocod, în care variabilele i, j, n și cnt sunt toate de tip număr natural:
citește n (număr natural)
cnt ß 0
i ß 1
┌cât timp i < n execută
│ j ß 0
│ ┌cât timp j < n execută
│ │ cnt ß cnt + 1
│ │ j ß j + i
│ └■
│ i ß 2 * i
└■
scrie cnt
Care este complexitatea timp a algoritmului dat?
A) 𝒪(log! 𝑛) B) 𝒪(𝑛 ⋅ log! 𝑛) C) 𝒪(𝑛!) D) 𝒪(𝑛)
15. Considerăm următoarea problemă: "Un meșter trebuie să paveze întreaga pardoseală a unei bucătării de formă
dreptunghiulară, de dimensiune 𝒂 × 𝒃 centimetri, cu plăci de gresie pătrate, toate cu aceeași dimensiune, unde 𝒂 și 𝒃
sunt numere naturale nenule. Știind că meșterul nu vrea să taie nici o placă de gresie și vrea să folosească un număr
minim de plăci, să se determine dimensiunea plăcilor de gresie de care are nevoie, precum și numărul lor." Care dintre
următorii algoritmi rezolvă corect această problemă?
1) citeşte a,b (numere naturale nenule)
┌pentru k ß 1, a+b execută
│ ┌dacă (a*b) mod (k*k) = 0 atunci
│ │ L ß k
│ └■
└■
scrie L, (a*b) div (L*L)
2) citeşte a,b (numere naturale nenule)
┌dacă a > b
│ atunci
│ L ß a div b
│ altfel
│ L ß b div a
└■
scrie L, (a*b) div (L*L)
3) citeşte a,b (numere naturale nenule)
┌cât timp a ≠ b execută
│ ┌dacă a > b
│ │ atunci
│ │ a ß a – b
│ │ altfel
│ │ b ß b – a
│ └■
└■
L ß a
scrie L, (a*b) div (L*L)
4) citeşte a,b (numere naturale nenule)
┌pentru k ß 1, a + b execută
│ ┌dacă a mod k + b mod k = 0 atunci
│ │ L ß k
│ └■
└■
scrie L, (a div L) * (b div L)
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1

Subiect · pagina 8

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 9

1
FIZICĂ – Varianta 4
1. Câte molecule de apă se găsesc într-un litru de apă? Densitatea apei este 1000 kgm−3, numărul lui
Avogadro este 6,02 × 1023 mol−1, masa molară a apei este 18 gmol−1.
A) ≈ 3,3 × 1022 B) ≈ 1,1 × 1025 C) ≈ 3,3 × 1019 D) ≈ 3,3 × 1025
2. În interiorul unui cilindru cu piston mobil se află o cantitate de gaz
ideal în stare de echilibru termic. Pistonul are masa 𝑚 şi este în repaus
sub acţiunea greutăţii şi a forţelor de presiune exercitate de gazul din
interior şi de aerul din atmosferă. Frecarea este neglijabilă şi presiunea
atmosferică are valoarea 𝑝0. I se furnizează lent gazului o cantitate de
căldură 𝑄 astfel încât pistonul urcă la înălţimea ℎ faţă de poziţia
iniţială. Aria secţiunii transversale a cilindrului este 𝑆 şi acceleraţia
gravitaţională 𝑔 este constantă. Ce expresie are exponentul adiabatic al
gazului?
A) 𝛾 = 1
1−(𝑝0𝑆+𝑚𝑔)ℎ
𝑄
B) 𝛾 = 𝑄
𝑄−𝑝0𝑆ℎ C) 𝛾 = 𝑄
𝑚𝑔ℎ D) 𝛾 = 𝑄
𝑄+(𝑝0𝑆+𝑚𝑔)ℎ
3. Puterea electrică disipată de rezistenţa R
conectată la bornele grupării celor 2N surse
identice din figură este maximă.
Tensiunea U între bornele rezistorului R este
A)E
N
U 2
)1( +
= B)E
r
R
N
N
U 2
)1( 2 +
= C)ENU )1( += D)E
R
Nr
N
r
U





 +
=
4. La un preţ al energiei de 0,8 lei/kWh, costul funcţionării neîntrerupte a unui bec timp de 24 h la
tensiunea nominală de 220 V este de 1,16 lei.
Câţi electroni au trecut prin secţiunea filamentului din bec în acest timp? Sarcina elementară are
valoarea e ≈ 1,6 × 10−19 C .
A) ≈ 8,5 × 1015 B) ≈ 6,023 × 1023 C) ≈ 1,5 × 1023 D) ≈ 4,8 × 1019
5. Doi pescari trebuie să treacă peste un râu exact în punctul opus pe celălalt mal. Amândoi vâslesc cu
aceeaşi viteză 𝑉𝑏𝑎 faţă de apă iar viteza apei faţă de Pământ este peste tot 𝑉𝑎 astfel încât 𝑉𝑏𝑎 > 𝑉𝑎 .
Primul orientează barca astfel încât înaintează rectiliniu perpendicular pe direcţia de curgere a râului
şi ajunge exact în punctul opus într-un timp 𝑡1. Celălalt orientează barca perpendicular pe direcţia de
curgere a râului şi înaintează pe o direcţie oblică faţă de direcţia de curgere a râului ajungând lângă
celălalt mal, după care vâsleşte pe lângă mal în sens invers curgerii apei până ajunge în acelaşi punct
final în timpul total 𝑡2. Ce expresie are raportul 𝑡2
𝑡1
?
A) 𝑡2
𝑡1
= √𝑉𝑏𝑎+𝑉𝑎
𝑉𝑏𝑎−𝑉𝑎
B) 𝑡2
𝑡1
= 𝑉𝑏𝑎
𝑉𝑎
C) 𝑡2
𝑡1
= 𝑉𝑏𝑎
𝑉𝑏𝑎−𝑉𝑎 D) 𝑡2
𝑡1
= √𝑉𝑏𝑎
𝑉𝑎

Subiect · pagina 10

2
6. Două autovehicule se deplasează pe benzi alăturate în acelaşi sens pe un drum rectiliniu. La un
moment dat cele două autovehicule ajung unul în dreptul celuilalt şi observă în faţă un obstacol astfel
încât încep simultan să frâneze cu aceeaşi acceleraţie constantă. Primul automobil se opreşte chiar
când ajunge la obstacol iar al doilea nu reuşeşte să evite coliziunea cu obstacolul. La începutul
frânării primul autovehicul avea viteza de 50 kmh−1 iar al doilea 100 kmh−1. Calculaţi raportul 𝑡2
𝑡1
al
intervalelor de timp care au trecut de la începutul frânării până când cele două autovehicule au ajuns
la obstacol.
A) 𝑡2
𝑡1
= 0,25 B) 𝑡2
𝑡1
= 2 − √3 C) 𝑡2
𝑡1
= √5
4 D) 𝑡2
𝑡1
= 0,5
7. Două circuite electrice la care nu avem acces
sunt conectate între ele prin conductori în care
circulă curenţi cu intensitatea I, ca în figura
alăturată. Tensiunea între bornele circuitelor
este U, polaritatea ei fiind cea indicată.
În aceste condiţii
A) Circuitul 2 debitează
energie, circuitul 1 consumă
energie.
B) Nu se poate preciza
numai cu informaţiile din
figură.
C) Circuitele debitează
energie printr-un
conductor şi o consumă
prin celălalt.
D) Circuitul 1 debitează
energie, circuitul 2 consumă
energie.
8. Un resort nedeformat având constanta de elasticitate 𝑘 este aşezat pe o masă orizontală. Un capăt
este fixat iar de celălalt se ataşează un punct material de masă 𝑚. Ce alungire maximă 𝐴 capătă
resortul dacă punctului material i se imprimă viteza 𝑉0 de-a lungul resortului? Se neglijează frecările.
A) 𝐴 = 𝑚𝑉0
2
2𝑘 B) 𝐴 = 𝑘𝑉0
2
2𝑚 C) 𝐴 = √𝑚𝑉0
𝑘 D) 𝐴 = 𝑉0√𝑚
𝑘
9. Un voltmetru cu rezistenţa internăVR măsoară căderea
de tensiune pe o fracţiune f din rezistenţa totală R a
unui reostat ale cărui capete sunt conectate la o sursă
ideală cu t.e.m. E.
Tensiunea U indicată de voltmetru este
A) 
1)/()1(1 +−+
=
VRRff
E
U B)E
RR
fR
U
V+
= C) 
1)/()1( +−+
=
VRRfff
E
U D) 
1)/()1( +−+
=
VRRfff
fE
U
10. O cantitate fixată de gaz ideal este supusă unui proces de destindere adiabatică pornind dintr-o stare
iniţială dată în care temperatura este de 500K. Notăm cu 𝐿𝑎𝑑 lucrul mecanic efectuat de gaz în acest
proces. Dacă destinderea s-ar face izoterm între aceleaşi volume şi pornind din aceeaşi stare iniţială
gazul ar efectua lucrul mecanic 𝐿𝑇 = 6
5 𝐿𝑎𝑑. Procesele sunt cvasistatice. Ce valoare are temperatura la
sfârşitul transformării adiabatice?
Soluţia diferită de 1 a ecuaţiei 6(𝑥 − 1) = 5𝑥ln𝑥 este aproximativ 1,46.
A) 730K B) ≈ 413,8K C) ≈ 342,5K D) ≈ 416,7K

Subiect · pagina 11

3
11. Pe un suport de masă 𝑀 se află un corp de masă 𝑚 şi
dimensiuni neglijabile care se deplasează fără frecări pe
suprafaţa cilindrică a suportului (curba din figură este un
sfert de cerc). Suportul este împins spre dreapta cu
acceleraţia constantă 𝑎 şi punctul material se va aşeza într-
o poziţie de echilibru faţă de suport corespunzătoare
unghiului 𝜃 (vezi figura). Ce valori au unghiul 𝜃 şi
acceleraţia 𝑎 dacă forţa 𝑁 cu care suportul acţionează
asupra corpului este de două ori mai mare decât greutatea
punctului material? Acceleraţia gravitaţională 𝑔 este
constantă.
A) 𝜃 = π
3
A) 𝑎 = 𝑔√2
B) 𝜃 = π
6
𝑎 = 𝑔
C) 𝜃 = π
6
𝑎 = 𝑔√3
B) D) 𝜃 = π
4
𝑎 = 2𝑔
12. Patru elevi discută despre fenomene termice făcând diverse afirmaţii. Notaţiile sunt cele folosite
uzual în manuale. Primul elev afirmă că într-o transformare izotermă variaţia căldurii este
𝜈𝑅𝑇ln 𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑉𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙
. Al doilea elev afirmă că într-o transformare izobară variaţia lucrului mecanic efectuat
de gaz este 𝜈𝐶𝑝Δ𝑇 . Al treilea elev afirmă că într-o transformare izocoră energia internă a gazului nu
se schimbă. Al patrulea elev afirmă că niciunul din cei trei elevi nu a făcut o afirmaţie corectă. Care
elev a făcut o afirmaţie corectă?
A) al doilea elev B) al treilea elev C) al patrulea elev D) primul elev
13. Două corpuri punctiforme se deplasează unul spre altul pe aceeaşi direcţie pe o suprafaţă orizontală
şi se ciocnesc perfect elastic. Corpul 1 se deplasează spre dreapta cu viteza 𝑉, corpul 2 spre stânga cu
viteza 2𝑉. După ciocnire corpul 2 se opreşte. Ce modul are viteza corpului 1 după ciocnire?
A) (1 + √2)𝑉 B) 3𝑉 C) √2𝑉 D) 1
1+√2 𝑉
14. Un voltmetru cu rezistenţa internăVR conectat la bornele unei surse cu t.e.m. E indică o fracţiune f
din tensiunea electromotoare a sursei.
Rezistenţa internă a sursei este
A)1+
= f
f
Rr V B)f
f
Rr V
)1( −
= C)VRfr )1( −= D)VR
f
f
r 1
1
+
−
=
15. Cum se scrie în coordonate (p-T) legea transformării adiabatice cvasistatice pentru o cantitate fixată
de gaz ideal? (𝑝 este presiunea gazului, 𝑉 este volumul gazului, 𝑇 este temperatura absolută a gazului
şi 𝛾 este exponentul adiabatic al gazului).
A) 𝑝𝑇− 𝛾
𝛾−1 = 𝑐𝑡. B) 𝑝𝛾+1𝑇𝛾 = 𝑐𝑡. C) 𝑝𝑇−1 = 𝑐𝑡. D) 𝑝−𝛾−1𝑇𝛾 = 𝑐𝑡.

Subiect · pagina 12

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 09.07.2025
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2025
Barem
I. Algebr˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Punerea condit¸iei ∆ ≤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul lui ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizare: m ∈ [−2√10, 2√10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Demonstrarea faptului c˘a X2 − 6X + 10 ∈ S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea faptului c˘a X2 − 6X̸ ∈ S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Demonstrarea faptului c˘a grad(P ) este par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Enunt¸area reciprocei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Justificarea faptului c˘a reciproca este fals˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(d) Calculul lui d (sau d2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrarea faptului c˘a d2 ≤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
II. Analiz˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Studierea continuit˘at¸ii funct¸iei f2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Studierea derivabilit˘at¸ii funct¸iei f2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Determinarea intervalelor de montonie pentru f1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea faptului c˘a 0 este punct de minim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea faptului c˘a 1 ¸si −1 sunt puncte de maxim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Exprimarea ariei cu ajutorul integralelor definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(d) Obt¸inerea egalit˘at¸ii
nX
k=1
fn
√k2 − 1
n
!
= 1
n
nX
k=1
ln 1 +
√k2 − 1
n
!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Exprimarea acestei sume ca sum˘a Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
III. Geometrie. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Determinarea ecuat¸iei dreptei AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Determinarea ecuat¸iei perpendicularei din O pe dreapta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea coordonatelor centrului cercului circumscris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calcularea razei cercului circumscris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Determinarea coordonatelor punctelor D, E, Q ¸si R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea coliniarit˘at¸ii punctelor Q, O ¸si R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Barem · pagina 2

2
(c) Determinarea coordonatelor lui P pentru care segmentul DE are lungime minim˘a. . . . . . . . . . . . . . .1 p
Determinarea coordonatelor lui P pentru care aria patrulaterului P DOE este maxim˘a . . . . . . . . . 1 p
(d) Calculul distant¸ei de la O la AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrarea egalit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
Orice rezolvare corect˘a este punctat˘a corespunz˘ator.