Despre acest subiect
primăvară · Etapa a II-a
Sursa documentelor: FMI UniBuc – MateInfoUB 2021. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Se încarcă profesorii disponibili…
Subiect și barem
Sursa: FMI UniBuc – MateInfoUB 2021
Concurs de pregătire · Matematică · 2021
Facultatea de Matematică și Informatică · UniBuc
Înapoi la arhivăSubiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 2 pagini
Subiect · pagina 1
Concursul MateInfoUB 2021
- 30 mai 2021 -
Problema 1. Fie M mult¸imea tuturor matricelor p˘atratice A, cu 4 linii ¸si 4 coloane, care sunt
inversabile ¸si au proprietatea: atˆat matricea A, cˆat ¸si matricea A−1 au toate elementele numere
naturale.
(1) Not˘am
T =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
.
Ar˘atat¸i c˘a T −1 = T .
Demonstrat¸i apoi c˘a mult¸imea M are cel put¸in dou˘a elemente ¸si c˘a formeaz˘a un grup ˆın raport
cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a matricelor.
(2) Determinat¸i num˘arul de elemente ale mult¸imii M.
(3) Fie H mult¸imea matricelor din M, de forma:
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ 0 0
0 0 ∗ ∗
0 0 ∗ ∗
(unde pozit¸iile ˆın care apare ∗ pot fi completate cu numere naturale, alese astfel ca matricea
obt¸inut˘a s˘a fie un element din mult¸imea M). Demonstrat¸i c˘a H este un subgrup al grupului
(M, ·).
Demonstrat¸i apoi c˘a nu exist˘a num˘arul natural n astfel ca grupurile (H, ·) ¸si (Zn, +) s˘a fie
izomorfe.
Problema 2. Pentru fiecare num˘ar real a consider˘am funct¸ia fa : R → R definit˘a prin
fa(x) = max{sin(x), cos(x) + a}.
(1) Dac˘a fa(0) = 2, calculat¸i fa(3π
4 ) ¸si
2π∫
0
fa(x)dx.
(2) Demonstrat¸i c˘a pentru orice x, y ∈ [0, π
2 ], are loc inegalitatea f1(x+y
2 ) ≥ f1(x)+f1(y)
2 .
G˘asit¸i apoi un interval I de lungime maxim˘a, care ˆıl cont¸ine pe 0, pe care funct¸ia f2 verific˘a
aceea¸si inegalitate, adic˘a pentru orice x, y ∈ I avem f2(x+y
2 ) ≥ f2(x)+f2(y)
2 .
(3) Determinat¸i toate numerele reale a pentru care funct¸ia fa este derivabil˘a pe R.
Subiectele continu˘a ¸si pe verso!Subiect · pagina 2
Problema 3. Se consider˘a pentagonul convex ABCDE (vezi figura de mai jos). Not˘am cu a perimetrul pentagonului ABCDE, cu b suma lungimilor tuturor diagonalelor pentagonului ABCDE ¸si cu c perimetrul pentagonului A1B1C1D1E1 (ale c˘arui laturi sunt desenate cu albastru). Toate lungimile segmentelor ce apar ˆın aceast˘a problem˘a (laturi, diagonale, etc.) sunt m˘asurate cu aceea¸si unitate de m˘asur˘a fixat˘a. (1) Demonstrat¸i c˘a suma unghiurilor marcate pe figur˘a cu ro¸su este 180◦. (2) Demonstrat¸i c˘a au loc urm˘atoarele inegalit˘at¸i: a + c < b < 2a. Justificat¸i apoi c˘a dac˘a a, b, c sunt numere naturale prime atunci a + b + c ≥ 20. (3) Exist˘a un pentagon regulat ABCDE astfel ˆıncˆat, pentru acesta, a ¸si b s˘a fie numere naturale? Justificat¸i r˘aspunsul. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.
Barem · 2 pagini
Barem · pagina 1
Concursul MateInfoUB 2021 Barem Barem de punctaj pentru Problema 1: din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p (1) Verificarea T −1 = T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Observat¸ia c˘a M are cel put¸in 2 elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p Axiomele grupului (enunt¸ate sau utilizate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p M este parte stabil˘a la ˆınmult¸ire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Final (element neutru, invers...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p (2) Demonstrat¸ia faptului c˘a matricele din M nu pot avea o linie sau coloan˘a cu 2 (sau mai multe) elemente nenule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p Aceste elemente sunt egale cu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p Reciproc, orice astfel de matrice este din M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p Concluzia (num˘arul de elemente din M este 24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p (3) H este parte stabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Deci H este subgrup cu 4 elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Argument: nu exist˘a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Barem de punctaj pentru Problema 2: din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p (1) Identificarea lui a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Calculeaz˘a f1 (3π 4 ) = √2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Explicitarea funct¸iei f1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Calcularea integralei 2π∫ 0 f1(x)dx = 3π 2 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p (2) Demonstrarea inegalit˘at¸ii pentru f1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Identificarea intervalului I ¸si demonstrarea faptului c˘a este de lungime maxim˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
Barem · pagina 2
(3) Studiul funct¸iei x → sin(x) − cos(x) − a ¸si identificarea maximului ¸si a minimului . . . . . . . .10p Demonstrarea faptului c˘a f este derivabil˘a pentru |a| ≥ √2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10p Demonstrarea faptului c˘a f nu este derivabil˘a pentru |a| < √2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Barem de punctaj pentru Problema 3: din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p (1) Aplicarea sumei m˘asurilor unghiurilor unui triunghi (= 180◦) pe o configurat¸ie care duce la rezolvarea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Demonstrarea faptului c˘a suma unghiurilor marcate cu ro¸su este 180◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20p (2) Demonstrarea inegalit˘at¸ii a + c < b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Demonstrarea inegalit˘at¸ii b < 2a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p Justificarea faptului c˘a dac˘a a, b, c sunt prime atunci a + b + c ≥ 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20p (3) Justificarea faptului c˘a nu exist˘a un pentagon regulat cu proprietatea din enunt¸ . . . . . . . . . 20p
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Concurs de pregătire · 2021Informatică · Etapa a II-aDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 1; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 2; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 3; broșură comunăDeschide fișa Examen de admitere · 2022Matematică, Informatică și Fizică · Varianta 4; broșură comunăDeschide fișa Concurs de pregătire · 2022Informatică · Etapa a II-aDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2021 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.
