Examen de admitere · Matematică, Informatică și Fizică · 2022

Subiect · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 12.07.2022
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2022
I. Algebr˘a. Fie matricea
A =


1 −1 0
1 0 1
0 −1 −1

 ∈ M3(R).
(a) Ar˘atat¸i c˘a determinantul matricei A este egal cu 0. Calculat¸i rangul matricei A.
(b) Demonstrat¸i c˘a A3 = −A ¸si c˘a A5 + A3 = O3, unde O3 ∈ M3(R) este matricea nul˘a.
(c) Consider˘am sistemul omogen



x − y = 0
x + z = 0
−y − z = 0
a c˘arui matrice este A. Determinat¸i acea solut¸ie (x0, y0, z0) a acestui sistem, cu toate compo-
nentele numere reale, pentru care suma (x0 − 1)2 + (y0 − 1)2 + (z0 − 1)2 ia cea mai mic˘a valoare
posibil˘a.
(d) Demonstrat¸i c˘a mult¸imea G = {A, A2, A3, A4} este grup ˆın raport cu operat¸ia de ˆınmult¸ire a
matricelor.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : R \ {−1, −3} → R definit˘a prin f (x) = ln (∣
∣x2 + 4x + 3∣
∣).
(a) Demonstrat¸i c˘a dreapta de ecuat¸ie x = −1 este asimptot˘a vertical˘a la graficul funct¸iei f .
Precizat¸i dac˘a graficul funct¸iei f mai are ¸si alte asimptote.
(b) Determinat¸i intervalele de convexitate ale funct¸iei f .
(c) Calculat¸i
∫ 2
0
f (x)dx.
(d) Definim ¸sirul (xn)n≥1 prin
xn = f ′(1) − f ′(2) + . . . + f ′(2n − 1) − f ′(2n).
Demonstrat¸i c˘a ¸sirul (xn)n≥1 este convergent.
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(1, 0), B(−1
2 , √3
2 ) ¸si C(−1
2 , −√3
2 ).
(a) Ar˘atat¸i c˘a triunghiul ABC este echilateral.
(b) Determinat¸i raza cercului circumscris triunghiului ABC precum ¸si coordonatele centrului aces-
tui cerc.
(c) Calculat¸i |−→
AB + −→
AC| ¸si |2−→
AB + 3−→
AC|.
(d) ˆIn interiorul triunghiului ABC se consider˘a cinci puncte. Ar˘atat¸i c˘a exist˘a cel put¸in dou˘a
dintre ele aflate la distant¸a mai mic˘a decˆat √3
2 .

Subiect · pagina 2

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 3

1
INFORMATICĂ – Varianta 1
1. Fie A o matrice pătratică. Se consideră secvența scrisă în pseudocod (x div y reprezintă câtul împărțirii lui x la y):
n ← 22; val ← 0
┌pentru k ← 1, (n+1) div 2 execută
│ ┌pentru i ← k, n-k execută
│ │ val ← val+1
│ │ A[k,i] ← val
│ └■
│ ┌pentru i ← k, n-k execută
│ │ val ← val+1
│ │ A[i,n-k+1] ← val
│ └■
│ ┌pentru i ← n-k+1, k, -1 execută
│ │ val ← val+1
│ │ A[n-k+1,i] ← val
│ └■
│ ┌pentru i ← n-k, k+1, -1 execută
│ │ val ← val+1
│ │ A[i,k] ← val
│ └■
└■
Ce valoare are elementul A[18][18] după executarea secvenței de cod date?
A) 315 B) 427 C) 400 D) 174
2. Considerăm vectorul v = [4, 3, -10, 3, -1, 2, 0, -3, 5, 7, -4, -8, -10, 4, 7, -30, -2, -6,
4, 7]. Care este suma maximă a unei secvențe v[i], v[i+1], …, v[j] cu i și j doi indici valizi din v?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14
3. În următorul algoritm descris în pseudocod v este un vector de numere întregi, iar variabilele n, k, x, y, i, a și rez sunt
de tip întreg:
citește n, x, y
┌pentru i ← 1,n execută
│ v[i] ← i*10
└■
a ← v[x]; v[x] ← v[y]; v[y] ← a
k ← 1; rez ← 0
┌cât timp k=1 execută
│ k ← 0
│ i ← 1
│ ┌cât timp i<n execută
│ │ ┌dacă v[i] > v[i+1] atunci
│ │ │ a ← v[i]; v[i] ← v[i+1]; v[i+1] ← a
│ │ │ k ← 1
│ │ └■
│ │ i ← i+1
│ │ rez ← rez+1
│ └■
└■
Știind că valoarea citită pentru n este un număr natural mai mare strict decât 5, iar valorile citite pentru variabilele x și
y sunt numere naturale din intervalul [1, n] și valoarea lui x este mai mică strict decât cea a lui y, cu cât va fi egală
valoarea variabilei rez la finalul executării algoritmului?
A) (n-1)·(y+1) B) (n-1)·(y-x) C) (n-1)·(y-x+1) D) n·(y-x+1)

Subiect · pagina 4

2
4. În următorul algoritm descris în pseudocod variabilele rez, i și n sunt de tip întreg, iar v este un vector de numere
întregi cu elementele aflate pe pozițiile de la 1 la n:
rez ← 0
┌pentru i ← 1, n-1 execută
│ rez ← rez + v[i]*v[i+1]
└■
Dacă variabila n are valoarea 10, pentru câți vectori v cu 10 elemente din mulțimea {0, 1} cu elementele pe pozițiile
1, 2,..., 10 variabila rez va avea valoarea 0 la finalul executării algoritmului?
A) 89 B) 144 C) 512 D) 256
5. O adresă IP validă constă din patru numere întregi între 0 și 255 separate prin trei puncte. Un număr întreg nenul nu
poate avea zerouri la început. De exemplu, "0.1.2.201" și "192.168.1.1" sunt adrese IP valide, dar
"0.011.255.245" nu este validă. Fiind dat șirul s = "201057", care este numărul de adresele IP valide posibile
care pot fi formate prin inserarea de puncte în s, fără a rearanja sau elimina cifre din s?
A) 5 B) 3 C) 4 D) 6
6. Fie v un vector cu pozițiile numerotate de la 1 și n un număr natural strict mai mic decât numărul de elemente al
vectorului. Se consideră următoarea secvență de pseudocod:
┌pentru i ← 1, n execută
│ v[i] ← v[i] + 1
└■
Care din următoarele secvențe de pseudocod produc o schimbare identică a vectorului v cu cea produsă de secvența de
mai sus?
(1) i ← 0
┌cât timp i ≤ n execută
│ i ← i + 1
│ v[i] ← v[i] + 1
└■
(2) i ← 1
┌cât timp i < n execută
│ v[i] ← v[i] + 1
│ i ← i + 1
└■
(3) i ← 0
┌cât timp i < n execută
│ v[i+1] ← v[i+1] + 1
│ i ← i + 1
└■
(4) i ← 0
┌repetă
│ v[i+1] ← v[i+1] + 1
│ i ← i + 1
└până când i > n
A) 1 și 2 B) 2 și 3 C) 3 D) 4
7. Considerăm următoarea funcție recursivă:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
int f(int n, int a, int b)
{
if(n == 0)
return 0;
if(a > n % 10)
a = n % 10;
if(b < n % 10)
b = n % 10;
return b - a + f(n/10, a, b);
}
function f(n,a,b:longint):integer;
begin
if n = 0 then f := 0
else
begin
if a > n mod 10 then
a := n mod 10;
if b < n mod 10 then
b := n mod 10;
f := b - a + f(n div 10, a, b);
end;
end;
Ce valoare va furniza funcția în urma apelului f(214354322, 10, -1) ?
A) 20 B) 7 C) 15 D) 19

Subiect · pagina 5

3
8. Fie G1 = (V, E1) și G2 = (V, E2) două grafuri neorientate, ambele având mulțimea nodurilor V = {1, 2,…, n} cu n>4,
care verifică următoarea proprietate: pentru fiecare nod i∈{1, 2,…, n-2} lista nodurilor adiacente cu i în G1 coincide
cu lista nodurilor adiacente cu i în G2. Care este cea mai mare valoare pe care o poate avea cardinalul mulțimii
(E1\E2)∪(E2\E1)?
A) 0 B) 1 C) 2n-3 D) 2n-4
9. Fie v un vector format din n numere întregi și indexat de la 1, având următoarele proprietăți:
• v are elementele ordonate strict crescător;
• numărul 22 nu se află în vectorul v;
• dacă se execută algoritmul de tip căutare binară de mai jos pentru vectorul v și valoarea x = 22, atunci la terminarea
algoritmului valoarea variabilei cnt va fi egală cu 10 (x div y reprezintă câtul împărțirii lui x la y).
st ← 1; dr ← n; x ← 22
cnt ← 0
┌cât timp st <= dr execută
│ cnt ← cnt+1
│ mij ← (st+dr) div 2
│ ┌dacă v[mij] = x
│ │ atunci
│ │ st ← dr+1
│ │ altfel
│ │ ┌dacă x < v[mij]
│ │ │ atunci
│ │ │ dr ← mij-1
│ │ │ altfel
│ │ │ st ← mij+1
│ │ └■
│ └■
└■
Care este valoarea maximă a lungimii n a unui vector de acest tip?
A) 210-1 B) 210 C) 211 – 2 D) 210+29-2
10. Fie afirmația: „Orice graf conex conține cel puțin un nod ce are gradul 2”. Care din următoarele grafuri constituie
contraexemplu/contraexemple pentru această afirmație?
A) 1 și 4 B) 1 și 2 C) 3 D) 5
11. Fie secvența în pseudocod (x div y și x mod y reprezintă câtul și restul împărțirii lui x la y):
cnt ← 0
┌pentru i ← 1, 1022 execută
│ x ← i
│ ┌cât timp x ≠ 0 execută
│ │ cnt ← cnt + x mod 2
│ │ x ← x div 2
│ └■
└■
scrie cnt
Ce valoare va fi afișată?
A) 4956 B) 5106 C) 4868 D) 5110

Subiect · pagina 6

4
12. Considerăm următorul algoritm, în care A este o matrice pătratică cu elemente numere întregi (x mod y reprezintă
restul împărțirii lui x la y):
citeşte n (număr natural nenul)
┌pentru i ← 1,n execută
│ ┌pentru j ← 1,n execută
│ │ ┌dacă i ≥ j
│ │ │ atunci
│ │ │ A[i,j] ← i mod j
│ │ │ altfel
│ │ │ A[i,j] ← j mod i
│ │ └■
│ └■
└■
┌pentru i ← 1,n execută
│ ┌pentru j ← 1,n execută
│ │ scrie A[i,j]
│ └■
└■
Dacă pentru n se va citi valoarea 12, câte valori nule vor fi afișate?
A) 58 B) 70 C) 12 D) 46
13. Fie funcția definită astfel:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
int f(int x)
{
if(x == 0)
return 0;
if(x % 2 == 0)
return f(x/10) + 1;
else
return f(x/10) – 1;
}
function f(x:integer):integer;
begin
if x = 0 then f:=0
else
if x mod 2 = 0 then
f:=f(x div 10) + 1
else
f:=f(x div 10) - 1;
end;
Pentru câte numere naturale nenule mai mici strict decât 1207 funcția returnează valoarea 0?
A) 125 B) 124 C) 118 D) 123
14. Considerăm următoarele cinci afirmații pentru un graf neorientat G:
• G este conex
• Numărul de componente conexe ale lui G este mai mare sau egal cu 1012
• G are cel puțin un nod de grad 0
• G are cel puțin un nod de grad 1
• G are cel puțin un nod de grad mai mare strict decât 1
Câte dintre cele 5 afirmații sunt adevărate pentru orice graf neorientat G având 2023 noduri cu proprietatea că matricea
sa de adiacență are exact 2022 de valori egale cu 1?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
15. Considerăm următorul algoritm scris în pseudocod:
citeşte n (număr natural nenul)
i ← 0; p ← 1
┌cât timp i <= n execută
│ j ← 1
│ ┌cât timp j <= p execută
│ │ scrie j
│ │ j ← j + 1
│ └■
│ i ← i + 1; p ← p * 2
└■
Complexitatea algoritmului de mai sus este egală cu:
A) O(2n) B) O(n·p) C) O(n2) D) O(n·log2n)

Subiect · pagina 7

1
FIZICĂ – Varianta 1
1. Doi rezistori fabricaţi din acelaşi metal au formă cubică, masele lor fiind , .
Valoarea raportulului al rezistenţelor electrice măsurate între feţe opuse este:
A) !!
!"
= "
# B) !!
!"
= 2 C) !!
!"
= 4 D) !!
!"
= "
$
2. Ȋn circuitul electric din figura alăturată, tensiunile electrice
între punctele 1, 2, 3 ale circuitului şi referinţa P
(reprezentată în figură prin simbolul ) au valorile ,
, respectiv , cu . Tensiunea
electrică între punctul O şi referinţa P are valoarea:
A) 7
12 V B) 5
12 V C) 3
8 V D) 5
9 V
3. Între bornele 1 şi 2 circuitul electric din figură are aceeaşi
caracteristică I-U ca o baterie cu tensiunea electromotoare E şi
rezistenţa internă r. Reamintim că prin caracteristică I-U pentru
două borne se înţelege dependenţa intensităţii curentului I prin cele
două borne (vezi notaţia I şi săgeata asociată schiţată în figură) de
tensiunea U între cele două borne. În circuitul din figură bateria
este ideală. Valorile lui E şi r sunt:
A) 𝐸 = 4,5V
𝑟 = 0,5Ω
B) 𝐸 = 9V
𝑟 = 2Ω
C) 𝐸 = 3V
𝑟 = 1Ω
D) 𝐸 = 6V
𝑟 = 9,6Ω
4. Puterea disipată pe o rezistenţă 𝑅" = 10Ω conectată la o baterie are valoarea 𝑃" = 2,5W. Pe
o rezistenţă 𝑅# = 90Ω , conectată la aceeaşi baterie, puterea disipată are valoarea 𝑃# =
0,9W . Tensiunea electromotoare E a bateriei şi rezistenţa internă r a acesteia au valorile:
A) E=10V
r=10Ω
B) E=20V
r=10Ω
C) E=10V
r=20Ω
D) E=10V
r=5Ω
1m 12 8mm =
21 /RR
1PU
2PU 3PU 1 2 3 1VP P PU U U= = =
OPU
R
R
2R P
2R
2R
2R 2R
1
2
3
O
P

Subiect · pagina 8

2
5. Două baterii identice, cu tensiunea electromotoare E şi
rezistenţa internă r, sunt legate în paralel, ca în figura
alăturată, pe o rezistenţă R. Puterea disipată pe rezistenţă este
maximă pentru o valoare a rezistenţei egală cu:
A) 𝑅 = 𝑟 B)𝑅 = ,
# C) 𝑅 = 2𝑟 D) 𝑅 = ,
$
6. Rezistenţa echivalentă a circuitului infinit din figura alăturată între punctele A şi B, pentru
𝑅" = 1Ω , 𝑅# = 2Ω are valoarea:
A) R=√3Ω B) R=3Ω C) R=2Ω D) R=√2Ω
7. Valoarea rezistenţei electrice a unui rezistor este de 100 Ω iar intensitatea curentului prin
rezistor este de 2mA. Tensiunea între capetele rezistorului are valoarea:
A) 0,2V B) 200V C) 50V D) 0,02V
8. Un conductor are lungimea , aria secţiunii transversale constantă şi rezistivitatea
electrică . Rezistenţa electrică a conductorului are expresia:
A) 𝑅 = -.
/ B) 𝑅 = -/
. C) 𝑅 = .
-/ D) 𝑅 = /
-.
9. La bornele unei baterii cu tensiunea electromotoare şi rezistenţa internă se conectează un
rezistor cu rezistenţa . În aceste condiții, dacă unim suplimentar capetele rezistorului cu un
conductor de rezistenţă neglijabilă, tensiunea între electrozii bateriei devine:
A) B) C) D)
10. Secţiunea unui conductor prin care trece un curent electric continuu este străbătută de o
sarcină electrică de 10C într-un interval de timp de 2s. Valoarea medie a intensităţii
curentului electric prin conductor este:
A) I=20A B) I=5A C) I=0,2A D) I=12A
R
l S
r
E r
R
U
rR
E
rEU +
-= rR
Er
U +
= EU = VU 0=
R
E, r E, r
A
B
R1 R1 R1 R1
R2 R2 R2 R2

Subiect · pagina 9

3
11. Două becuri electrice sunt legate în paralel, gruparea fiind alimentată de o sursă de tensiune
electromotoare. Becul care consumă mai multă energie electrică este:
A) Ambele becuri
consumă aceeaşi
energie
B) Cel cu rezistenţa
electrică mai mică
C) Cel care are sticla
transparentă, nu mată
D) Cel cu rezistenţa
electrică mai mare
12. În circuitul din figură se cunosc tensiunile electromotoare ale
bateriilor , şi rezistenţele lor interne , . Ce
expresie are tensiunea 𝑈01 = 𝑉0 − 𝑉1 între punctele A şi B?
Se neglijează rezistenţa conductoarelor de legătură.
A) 𝐸"
!2,!3,"
!3,!3,"
B) 𝐸"
!34,!3,"
!3,!3," C) 𝐸" D) −𝐸"
13. Rezistenţele electrice pentru patru rezistori au valorile R1=10Ω, R2=20Ω, R3=50Ω şi R4=60Ω.
Rezistenţa electrică echivalentă a grupării serie are valoarea:
A) 140Ω B) 28Ω C) 200Ω D) 100Ω
14. Un reostat cu rezistenţă variabilă este conectat la un generator cu tensiunea electromotoare
şi rezistenţa internă . Generatorul transferă aceeaşi putere reostatului atunci când
valorile rezistenţei variabile devin şi, respectiv, . În aceste condiţii, este adevărată
relaţia:
A) 𝑟 = !!3!"
# B) 𝑟 = =𝑅"
# + 𝑅#
# C) 𝑟 = =𝑅"𝑅# D) 𝑟 = !!!"
!!3!"
15. Un rezistor este răcit de la temperatura de 100℃ până la 0℃. Coeficientul de variaţie a
rezistivităţii cu temperatura pentru materialul din care este confecţionat rezistorul are valoarea
𝛼 = 4 × 1024grad2". Care dintre afirmaţiile de mai jos este corectă?
A) Rezistenţa
rezistorului creşte de
1,4 ori
B) Rezistenţa
rezistorului scade de
1,4 ori
C) Rezistenţa
rezistorului ramâne
neschimbată
D) Rezistenţa
rezistorului scade
până la valoarea de
0,4 Ω
1E 12 3EE = 1r 2r
R
E r
1R 2R

Subiect · pagina 10

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 22.07.2022
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2022
Barem
I. Algebr˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul determinantului matricei A, utilizˆand propriet˘at¸i ale determinant¸ilor,
sau o formul˘a de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Evident¸ierea unui minor de ordinul 2, nenul al matricei A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Formularea concluziei: rang(A) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Calculul matricelor A2 ¸si A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Evident¸ierea egalit˘at¸ii A3 = −A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Argumentarea (prin calcul direct, sau prin utilizarea relat¸iei anterioare) a
egalit˘at¸ii A5 + A3 = O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Descrierea mult¸imii solut¸iilor sistemului dat (de exemplu S = {(t, t, −t) | t ∈ R}) . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Exprimarea ˆıntr-o form˘a echivalent˘a a condit¸iei din enunt¸, folosind un singur parametru
(de exemplu f : R → R, f (t) = (t − 1)2 + (t − 1)2 + (−t − 1)2 = 3t2 − 2t + 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Identificarea punctului de minim (pentru funct¸ia de mai sus este 1
3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Formularea r˘aspunsului (scrierea solut¸iei (x0, y0, z0) pentru care se realizeaz˘a minimul):
( 1
3 , 1
3 , − 1
3
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
(d) Demonstrarea faptului c˘a ˆınmult¸irea este lege intern˘a pe G,
eventual prin alc˘atuirea tablei operat¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Justificarea propriet˘at¸ii de asociativitate (prin demonstrat¸ie direct˘a,
sau prin transfer de la (M3(R), ·) la G). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
Justificarea faptului c˘a A4 este elementul neutru al ˆınmult¸irii pe G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrarea faptului c˘a orice element din G are un invers ˆın G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
II. Analiz˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul corect a cel put¸in unei limite laterale ˆın x0 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Concluzionarea c˘a dreapta de ecuat¸ie x = −1 este asimptot˘a vertical˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrat¸ia faptului c˘a c˘a dreapta de ecuat¸ie x = −3 este asimptot˘a vertical˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Graficul lui f nu are asimptote orizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Graficul lui f nu are asimptote oblice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Calculul lui f ′(x) (f ′(x) = 2x+4
x2+4x+3 sau sub forma f ′(x) = 1
x+1 + 1
x+3 , x ∈ R \ {−1, −3}) . . . . . . 0,5 p
Calculul lui f ′′(x) (f ′′(x) = −2(x2+4x+5)
(x2+4x+3)2
sau sub forma f ′′(x) = − 1
(x+1)2 − 1
(x+3)2 , x ∈ R \ {−1, −3}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
Determinarea semnului lui f ′′(x) (semnul este minus pentru orice x ∈ R \ {−1, −3}) . . . . . . . . . . 0,5 p
Determinarea intervalelor de convexitate, i.e. f este concav˘a pe (−∞, −3),
respectiv pe (−3, −1), respectiv (−1, +∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(c) Utilizarea unei metode de calcul care s˘a conduc˘a la rezultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Finalizarea calculului integralei
∫ 2
0
f (x)dx = 5 ln 5 − 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(d) S¸irul este cresc˘ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
S¸irul este m˘arginit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
S¸irul este convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Barem · pagina 2

2
III. Geometrie. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Scrierea corect˘a a formulei distant¸ei dintre dou˘a puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul corect al lungimilor segmentelor AB = AC = BC = √3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
ABC triunghi echilateral pentru c˘a AB = AC = BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Coordonatele centrului cercului circumscris (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Raza cercului circumscris R = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) |−−→
AB + −→
AC| = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
|2−−→
AB + 3−→
AC| = √57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Ideea de a ˆımp˘art¸i triunghiul ˆın patru triunghiuri congruente
(cele patru triunghiuri determinate de mijloacele laturilor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Distant¸a cea mai mare dintre dou˘a puncte aflate ˆıntr-un triunghi echilateral
este lungimea laturii ¸si se realizeaz˘a cˆand punctele sunt vˆarfuri ale triunghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Observarea faptului c˘a exist˘a cel put¸in dou˘a puncte ˆıntr-unul din cele patru triunghiuri
¸si concluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p