Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2027

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2027
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1a al progresiei aritmetice   1n n
a  , în care 2 9a  și 5 30a  .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   3f x x  . Determinați numărul real a pentru care
   1f f a a   .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația  2 4log 2 4logx x  .
5p 4. Se consideră mulțimea  2, 4, 6, 7, 8A  . Determinați câte dintre numerele pare, de două cifre, care
se pot forma cu cifre din mulțimea A , sunt mai mari sau egale cu 62 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 1y x  și punctul  5,A a , unde a
este număr real. Determinați numărul real a pentru care dreapta OA este perpendiculară pe d .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 12AB  și 6
B

 . Punctul M aparține laturii
AB astfel încât AM AC . Arătați că aria triunghiului AMC este egală cu 24 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
 
, 4 0
2 1
A  
  
 
și   1
3 2 4 1
x
B x x x
 
  
  
, unde x este număr
real.
5p a) Arătați că   det 2 19B  .
5p b) Arătați că      21 4B x B x A I    , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați matricea  2X  ℝ
M pentru care    3 2 2B X A B X    .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă   7 7 7,x y x y    
cu elementul neutru 8e  .
5p a) Arătați că 2 3 27  .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care  8 0x x   .
5p c) Determinați numărul întreg n , 7n  , știind că 5
3
n este simetricul lui n în raport cu legea de
compoziție „  ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   3 2 2x x
f x x
 
 .
5p a) Arătați că   2
2
' x
f x x

 ,  0,x   .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că imaginea funcției f este 7
, 2
 
 
  .
2. Se consideră funcția  : 1,f    ℝ ,    
2
2
9
1
x
f x
x

 .
5p a) Arătați că   
2 2
1
1 21f x x dx  .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că  8
2
2
2
f x dx
x  .
5p c) Determinați  0,a   pentru care     2 3
0
3 '
a
x f x xf x dx a  .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2027
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 2 3a a r  , deci 7r  , unde r este rația progresiei aritmetice 3p
1 2 2a a r   2p
2.  1 2f   ,   3f a a  , pentru orice număr real a 3p
 2 3a a  , de unde obținem 6a   2p
3.  2 2log 2 2logx x  , deci   2
2 2log 2 logx x  , de unde obținem 2 2 0x x   3p
1x   , care nu convine sau 2x  , care convine 2p
4. Cifra zecilor se poate alege în 3 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 4 moduri, deci se
pot forma 3 4 12  numere 3p
5. 1dm  2p
5
OA
a
m  și, cum 1d OAm m   , obținem 5a   3p
6. tg 6 12
AC
  , deci 1
123
AC
 , de unde obținem 4 3AC  3p
4 3 4 3 24
2
AMC

 
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)       
2 1 2 1
2 det 2 2 9 1 1
1 9 1 9
B B
 
         
   3p
18 1 19   2p
b)   1 1
1 1 2 4 5
x
B x x x
 
   
  
,     1 0
1 2 4
B x B x  
    
 
, pentru orice număr real x 2p
     2
4 0 0 0 4 0
1 4
8 8 0 4 0 4
B x B x A I
    
        
     
, pentru orice număr real x 3p
c)     3 2 2B B X A   și, cum      1 1
3 2 4
B B A

  , obținem 1
2
X A A  3p
8 0
1
5 2
X
 
    
 
2p
2.a)   2 3 2 7 3 7 7      3p
  5 4 7 27     2p
b)   2
8 6x x x x    , pentru orice număr real x 3p
2 6 0x x  , de unde obținem 0x  sau 6x  2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 5 5 8
3 3
n n
n n    , de unde obținem  
5 7 7 7 8
3
n n
 
    
  3p
  5 21 7 3n n   și, cum n este număr întreg, obținem 4n  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
   
2
1
3 3 2 2 1
'
x x x
x
f x x
 
      
   3p
2 2
3 3 2 2 2x x x x x
x x
    
  ,  0,x   2p
b)   3 2 2 2 2
lim lim lim 3 3
x x x
x x
f x x xx  
   
     
  3p
Dreapta de ecuație 3y  este asimptota orizontală la graficul funcției f 2p
c)  ' 0 4f x x   ; pentru orice  0, 4x  ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe  0, 4 și,
pentru orice  4,x   ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe  4,  2p
 
0
lim
x f x
   ,   7
4 2
f  și f este continuă, deci imaginea funcției f este 7
, 2
 
 
  3p
2.a)
  
2 2
2 2 3
1 1
2
1 9 3 1
f x x dx x dx x     3p
24 3 21   2p
b)  
 
8 8
2 2
2 2
89 9
1 21
f x dx dx xx x
   

  3p
1 3 2    2p
c)
                 2 2 3 3 3 3
0 0 0
'3 ' 3 ' 0
a a a a
x f x xf x dx x f x x f x dx x f x dx x f x a f a        3p
 3 3
a f a a și, cum  0,a   , obținem   1f a  , de unde rezultă 1
2
a  2p