Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2024 – sesiunea august–septembrie, 20 august 2024, varianta 1, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 4 1
2 4 3
 
+ ⋅ = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 8f x x= − . Determinați numărul real a pentru care ( ) 0f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2 1x − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }11,12,13,14,15,16,17,18,19,20A = ,
acesta să aibă suma cifrelor egală cu 2 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,4A și ( )6,8B . Arătați că OA AB= .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 12AB = , 8AC = și punctul M mijlocul laturii
AB . Arătați că 10CM = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1 2
1
x
A x x
− 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 0A = .
5p b) Arătați că ( ) ( )23 2 5A I A+ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )( )2det 0A x xI+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2 1x y x y= + − .
5p a) Arătați că 2 1 5= .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )1 5x x + = .
5p c) Arătați că 2
4x x x≤ , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2lnf x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) 2
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că 2
ln 2 2
x x −  ≤ 
  , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
1
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
3
0
1 12dx
f x = .
5p b) Arătați că ( )
3
2
2 ln 2x f x dx = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )
2
1
1
x
e dx e ae a
f x = − + .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 4 2 1 4
2 4 3 4 4 3
   
+ ⋅ = + ⋅ =   
    2p
3 4 1
4 3
= ⋅ = 3p
2. ( ) 2 8f a a= − , pentru orice număr real a 2p
2 8 0a − = , de unde obținem 4a = 3p
3. 3 2 1x − = , de unde obținem 3 3x = 3p
1x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele, din mulțimea A , care au suma cifrelor egală cu 2 sunt 11 și 20 , deci sunt 2 cazuri
favorabile, de unde obținem 2 1
10 5
p = = 3p
5. 2 2
3 4 5OA = + = 2p
2 2
3 4 5AB = + = , deci OA AB= 3p
6. 6AM = 2p
2 2 10CM AC AM= + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
(2) 1 2
A  
=  
  ( )( ) 1 2
det 2 1 2 1 2
1 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 2 0= − = 2p
b)
( ) 2
2 2 2 0 4 2
3 2 1 3 0 2 1 5
A I      
+ = + = =     
      3p
( )
5 1 2 5
1 5 A
− 
= = 
  2p
c)
( ) 2
1 2 0 2 1 2
1 0 1 2
x x x
A x xI x x x
− −     
+ = + =     
      și ( )( ) 2
2det 4 2 2A x xI x x+ = − − , pentru
orice număr real x
3p
2
4 2 2 0x x− − = , de unde obținem 1x = sau 1
2
x = − 2p
2.a) 2 1 2 2 2 1 1= ⋅ + ⋅ − =
 3p
4 2 1 5= + − = 2p
b) ( ) ( )1 2 2 1 1 4 1x x x x x+ = + + − = +
 , pentru orice număr real x 3p
4 1 5x + = , de unde obținem 1x = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 4 1x x x= −
 , pentru orice număr real x 2p
( )22 2 2 2
4 1 4 4 1 4 2 1 4 4x x x x x x x− = − + − + = − − + ≤ , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )' ' 2 ln 'f x x x= − ⋅ = 2p
1 2
1 2 x
x x
−
= − ⋅ = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( )1 1f = , ( )' 1 1f = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 2y x= − + 3p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,2x f∈  este descrescătoare pe ( ]0,2 ;
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )2,x f∈ +∞  este crescătoare pe [ )2,+∞ 3p
( )2 2 2ln 2f = − , deci ( )2 2ln 2 f x− ≤ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , de unde obținem
2
ln 2 2
x x −  ≤ 
  , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( )
3 3 3
2
0 0
31 1 3 0
x
dx x dx x
f x
 
= + = + =  
 
  3p
27 3 12
3
= + = 2p
b)
( ) ( ) ( )
23 3 3 2
2 2
2 2 2
31 '2
2 ln 1
1 1 2
xx
xf x dx dx dx x
x x
+
= = = + =
+ +
   3p
ln10 ln 5 ln 2= − = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2
1 1 2 5 2 2 2 3 2
1 1
x x x x x xe dx e x dx e x xe dx e e xe e e e
f x = + = + − = − − − = −   3p
( ) ( )3 2 1e e e ae a− = − + , de unde obținem 3a = 2p