Textul subiectului și baremului

Test de antrenament BAC Matematică M1 Mate-Info 2021 – testul 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul elementelor mulțimii { }2 1 10M n n= ∈ + <ℕ .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 10f x x x m= − + , unde m este număr real. Determinați
numărul real m pentru care vârful parabolei asociate funcției f este situat pe axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 7x x+ − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să nu fie multiplu de 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,4A și ( )1,3B − . Determinați coordonatele
punctului C astfel încât 2 0AB BC+ =
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC cu 4AB = , 5AC = și aria egală cu 6 . Calculați
cosinusul unghiului A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1 1
2 1
a a
A a a
a
+ 
 
= + 
 
 
și sistemul de ecuații
( )
( )
1 6 3
1 4 7
2 2 6
x a y az a
x y a z a
x ay z a
 + + + = +
 + + + = +
 + + = +
,
unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( ) ( )2
det 2 1A a a= + , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) ( )0 0A a A A A a⋅ = ⋅ .
5p c) Demonstrați că, dacă ( )0 0 0, ,x y z este soluția sistemului de ecuații, atunci 0x , 0y și 0z sunt
termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
2. Pe mulțimea [0, )M = +∞ se definește legea de compoziție ( )2
2
x y
x y xy
+
∗ = + .
5p a) Arătați că 0x x∗ = , pentru orice x M∈ .
5p b) Arătați că 2x y∗ < , pentru orice , [1, )x y ∈ +∞ .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale nenule pentru care m n∗ este număr natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 4 5x
f x e x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 1x
f x e x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )lim
x
f x
→+∞
− .
5p c) Demonstrați că graficul funcției f intersectează orice dreaptă paralelă cu axa Ox în cel mult un
punct.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3
4 1f x x= + .
5p a) Arătați că ( )
1
0
2f x dx =∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )( )
1 32
0
x f x dx∫ .
5p c) Demonstrați că ( )( )
1
lim ln
x
x f t dt
→+∞ = +∞∫ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Testul 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2021
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Testul 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 9
2 1 10 2
n n+ < ⇔ < 2p
Cum n este număr natural, obținem că mulțimea M are 5 elemente 3p
2. 100 4m∆ = − , 25Vy m= − 2p
Vârful parabolei asociate funcției f este situat pe axa 0 25VOx y m⇔ = ⇔ = 3p
3. ( )2
5 7 5 7x x x x− = − ⇒ − = − , deci 2 15 54 0x x− + = 3p
6x = , care convine; 9x = , care nu convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri
posibile 2p
Sunt 9 10 8 720⋅ ⋅ = de numere naturale de trei cifre care nu sunt multipli de 5, deci sunt 720
de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 720 4
nr. cazuri posibile 900 5
p = = = 1p
5. 0 0AB BC BC AC BC+ + = ⇔ + =



 


 


  


 


  , deci punctul C este mijlocul segmentului AB 3p
Coordonatele punctului C sunt 1Cx = , 7
2
Cy = 2p
6. sin 4 5 sin 3
6 sin
2 2 5
ABC
AB AC A A A
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
A 3p
2 2 16
cos 1 sin 25
A A= − = și, cum unghiul A este ascuțit, obținem 4
cos 5
A = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) ( ) ( ) ( )22
1 1
det 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1
a a
A a a a a a a a a
a
+
= + = + + + − − + − + = 3p
( )2 2
2 2 2 1a a= + = + , pentru orice număr real a 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 3 2 2 2 1 2 2 2 1
0 1 1 1 , 0 2 4 2 2 , 0 4 2 2 2 2
2 0 1 4 2 1 4 3 2 2 1
a a a a a
A A a A a a A A a a a
a a a a a
+ + + + +     
     
= ⋅ = + + ⋅ = + +     
     + + + + +     
,
pentru orice număr real a
3p
3 2 2 2 1 2 2 2 1
2 4 2 2 4 2 2 2 2 0
4 2 1 4 3 2 2 1
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+ + + + +   
   
+ + = + + ⇔ =   
   + + + + +   
2p
c) Sistemul este compatibil determinat și are soluția ( )0 0 0, ,x y z , cu 0 1x = , 0 2y = și 0 4z = 3p
Cum 2
0 0 04x z y= = , obținem că 0x , 0y și 0z sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice 2p