Examen de admitere · Matematică, Informatică și Fizică · 2024

Subiect · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 16.07.2024
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2024
I. Algebr˘a. Fie x1, x2 solut¸iile complexe ale ecuat¸iei x2 − mx + m + 2 = 0, unde m este un num˘ar
real. Not˘am sn = xn
1 + xn
2 pentru orice n ∈ N∗.
(a) Determinat¸i toate valorile lui m pentru care ecuat¸ia are solut¸ii reale.
(b) Calculat¸i s1, s2, s3 ˆın funct¸ie de m ¸si ar˘atat¸i c˘a s3 − s1s2 + (s1 + 2)s1 = 0. Demonstrat¸i c˘a
sn ∈ R pentru orice n ∈ N∗.
(c) Fie matricea A =
 s1 + 1 3 − s3
−1 s2

. Determinat¸i toate valorile lui m pentru care A este
inversabil˘a, iar pentru m = −1 ar˘atat¸i c˘a mult¸imea {An | n ∈ N∗} este grup ˆımpreun˘a cu
operat¸ia de ˆınmult¸ire a matricelor.
(d) Determinat¸i toate valorile lui m pentru care x1, x2 ∈ Z.
II. Analiz˘a. Pentru orice n ∈ N∗ consider˘am funct¸ia fn :

− 1
n, ∞

−→ R, fn(x) = nx
nx + 1.
(a) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f1 este strict cresc˘atoare pe (−1, ∞). Determinat¸i apoi toate asimptotele
la graficul funct¸iei f1.
(b) Demonstrat¸i c˘a
Z 1
0
f1(x2)dx = 1 − π
4 ¸si calculat¸i lim
n→∞
Z 1
0
fn(x2)dx.
(c) Ar˘atat¸i c˘a putem alege num˘arul c ∈ [0, ∞) astfel ˆıncˆat ¸sirul (f ′′
n (c))n∈N∗ s˘a fie divergent.
(d) Calculat¸i lim
n→∞




fn
 1
n

1 · ln 2 +
fn
 2
n

2 · ln 3 + · · · +
fn
n
n

n · ln (n + 1)



.
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy consider˘am punctele A(−1, 2), B(1, 2), C(1, 0) ¸si
D(−1, 0).
(a) Ar˘atat¸i c˘a patrulaterul ABCD este p˘atrat, g˘asit¸i ecuat¸iile dreptelor AC ¸si BD ¸si determinat¸i
coordonatele punctului de intersect¸ie a acestor drepte.
(b) Pe segmentele DC ¸si BC consider˘am punctele M ¸si N astfel ˆıncˆat −→
CM = −3 −→
DM ¸si 2 −→
CN = −→
N B.
Calculat¸i aria triunghiului AM N ¸si distant¸a de la punctul A la dreapta M N .
(c) Fie E punctul de pe axa Oy, exterior p˘atratului ABCD, astfel ˆıncˆat ∢(AEB) = 90◦. Calculat¸i
raza cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABE. Demonstrat¸i c˘a centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul
ABE se afl˘a pe cercul circumscris p˘atratului ABCD.
(d) Fie P un punct oarecare, exterior p˘atratului ABCD, astfel ˆıncˆat ∢(AP B) = 90◦. Fie Q
centrul p˘atratului ABCD. Demonstrat¸i c˘a P Q ≤ AB.

Subiect · pagina 2

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Subiect · pagina 3

1
INFORMATICĂ – Varianta 4
În cele ce urmează x div y și x mod y reprezintă câtul și restul împărțirii numărului natural x la numărul natural nenul y.
1. Fie A o matrice pătratică având 169 de elemente. Câte elemente din matricea A au proprietatea că se află pe diagonala
principală sau pe diagonala secundară?
A) 26 B) 24 C) 25 D) 13
2. Se consideră următorul program:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int x, y, z, w;
void f(int x, int y)
{
int z;
if(x > y)
{
w = x; z = y;
x = x + y; y = x - y;
}
else { w = y; z = x; }
cout<<x<<" "<<y<<" ";
//printf("%d %d ", x, y);
}
int main()
{
x = 11; y = 22;
f(y, x);
cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<" "<<w;
//printf("%d %d %d %d", x, y, z, w);
return 0;
}
var x, y, z, w: integer;
procedure f(x, y: integer);
var z: integer;
begin
if x > y then
begin
w := x; z := y;
x := x + y; y := x - y;
end
else
begin
w := y; z := x;
end;
write(x, ' ', y, ' ');
end;
begin
x := 11;
y := 22;
f(y, x);
write(x, ' ', y, ' ', z, ' ', w);
end.
Ce se va afișa pe ecran în urma executării programului dat?
A) 33 22 11 22 0 22 B) 33 22 11 22 11 22 C) 11 22 11 22 0 22 D) 33 22 11 22 0 0
3. Fie T un arbore cu rădăcină având 2025 de noduri numerotate 1, 2, ..., 2025, având proprietatea că vectorul de tați al
lui T este (0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … , 1011, 1011, 1012, 1012). Câți ascendenți are nodul 2024 din T?
A) 10 B) 11 C) 1011 D) 1

Subiect · pagina 4

2
4. În următorul algoritm descris (incomplet) în pseudocod variabilele i, n, s, cnt și ok sunt de tip întreg, v este un tablou
unidimensional de numere întregi cu n  2 elemente, având pozițiile numerotate de la 1, iar expresie_logica_1 și
expresie_logica_2 sunt două expresii logice care vor fi înlocuite cu expresii date:
ok  0
cnt  0
s  0
┌pentru i  1, n execută
│ s  s + v[i]
│ ┌dacă expresie_logica_1 atunci
│ │ ok  1
│ │ cnt  cnt + 1
│ └■
└■
┌dacă expresie_logica_2
│ atunci
│ scrie "DA"
│ altfel
│ scrie "NU"
└■
Se înlocuiesc, pe rând, expresie_logica_1 și expresie_logica_2 cu următoarele expresii, obținând-se patru
algoritmi în pseudocod, astfel:
• Algoritmul 1: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia v[i] > -v[i], iar expresie_logica_2 cu
expresia ok = 0
• Algoritmul 2: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia v[i] < 0, iar expresie_logica_2 cu expresia
cnt = n
• Algoritmul 3: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia v[i] < 0, iar expresie_logica_2 cu expresia
cnt ≠ 0 și s < 0
• Algoritmul 4: se înlocuiește expresie_logica_1 cu expresia v[i] < -v[i], iar expresie_logica_2 cu
expresia cnt - ok = n - 1
Câți dintre cei patru algoritmi obținuți afișează mesajul DA dacă și numai dacă toate elementele tabloului unidimensional
v sunt strict negative?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1
5. Considerăm următoarea funcție recursivă:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
int f(int x, int y)
{
if(x == 0) return 0;
if(y == 0) return x;
return x + f(x-1, y-1);
}
function f(x, y: integer):integer;
begin
if x = 0 then f := 0
else
if y = 0 then f := x
else f := x + f(x-1, y-1);
end;
Care este valoarea expresiei f(160, 70) + f(70, 160)?
A) 11270 B) 11360 C) 12810 D) 11235

Subiect · pagina 5

3
6. Cristian a primit un seif în care tatăl lui îi ascunde o jucărie. Seiful are un cod inițial setat de tatăl său, reprezentat de o
matrice 3 × 3 și 9 butoane, câte unul pe fiecare element al matricei. Apăsând pe butonul de pe linia 𝑖 și coloana 𝑗,
Cristian observă că se adună 1 la valoarea fiecărui element care se află pe linia 𝑖 sau pe coloana 𝑗. Toate adunările se
fac modulo 4, astfel încât dacă adunăm la 3 o unitate obținem 0. Cristian reușește să deschidă seiful dacă găsește o
secvență de pași, un pas însemnând apăsarea unui singur buton și actualizarea elementelor matricei, și ajunge la o
matrice cu toate elementele cu valoarea 0. Când Cristian este cuminte, tatăl lui îi setează un cod inițial din care se poate
ajunge la matricea nulă. Spre exemplu pornind de la matricea cu codul (
2 1 3
1 1 0
3 2 3
), Cristian poate ajunge la matricea
(
0 0 0
0 0 0
0 0 0
) realizând pașii (
2 1 3
1 1 0
3 2 3
) ⟶ (
3 2 0
1 1 1
3 2 0
) ⟶ (
3 3 0
2 2 2
3 3 0
) ⟶ (
3 0 0
3 3 3
3 0 0
) ⟶ (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
), unde
6 marchează butonul apăsat la fiecare pas. Când Cristian nu este cuminte, tatăl lui setează un cod inițial din care nu se
poate ajunge la matricea nulă, cum este cel dat de matricea (
0 0 3
2 2 3
2 2 1
). Pentru câte dintre codurile inițiale
(
3 1 0
1 2 2
2 3 1
) , (
2 2 2
3 3 1
1 3 2
), (
1 2 1
1 1 2
0 1 1
) , (
1 2 1
2 3 1
2 3 1
) Cristian poate găsi jucăria?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1
7. Se consideră următoarea secvență de program:
Limbajele C/C++ Limbajul Pascal
char s[101] = "ADMITERE+FMI+2024";
char *p, aux[101];
int i = 0, r;
while(i < strlen(s))
{
p = strstr(s, s + i);
if(!strchr("AEIOU", p[0]))
{
strcpy(aux, p);
s[p-s+1] = s[p-s];
strcpy(p+1, aux);
i++;
}
i++;
}
r = strlen(s);
cout << r; | printf("%d",r);
var s, aux: string[101];
i, p: integer;
begin
s := 'ADMITERE+FMI+2024';
i := 1;
while i <= length(s) do
begin
p := pos(copy(s, i, length(s)-i+1), s);
if pos(s[p], 'AEIOU') = 0 then
begin
aux := copy(s, p, length(s)-p+1);
s := copy(s, 1, p) + aux;
i := i + 1;
end;
i := i + 1;
end;
write(length(s));
end.
Care va fi valoarea afișată în urma executării acestei secvențe de cod?
A) 23 B) 27 C) 29 D) 22
8. Fie v un tablou unidimensional cu n  2 elemente întregi sortat descrescător și în care elementul maxim este unic.
Considerând faptul că n și elementele tabloului au fost citite, care este complexitatea unei secvenței de cod care
determină în mod optim dacă maximul este cel puțin dublu față de oricare alt element din vector?
A) 𝒪(𝑛) B) 𝒪(log2 𝑛) C) 𝒪(1) D) 𝒪(𝑛 log2 𝑛)

Subiect · pagina 6

4
9. Se dă produsul 𝑃(𝑛) = 𝑛! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 𝑛. Câte cifre egale cu 0 are la sfârșit numărul 𝑃(30)?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 5
10. Se consideră următorul algoritm descris în pseudocod, în care variabilele m, p, u și n sunt toate de tip întreg, v este un
tablou unidimensional de numere naturale cu pozițiile numerotate de la 1, iar în variabila n este memorată lungimea
tabloului v:
p  1
u  n
┌cât timp p <= u execută
│ m  (p + u) div 2
│ scrie v[m], ' '
│ ┌dacă v[m] > 1
│ │ atunci
│ │ u  m - 1
│ │ altfel
│ │ p  m + 1
│ └■
└■
Pentru câți vectori v cu elemente distincte din mulțimea {1, 2, …, 11} ordonate crescător algoritmul va afișa 7 4 1 ?
(vectorul v poate avea orice lungime)
A) 9 B) 11 C) 14 D) 8
11. Câte din următoarele secvențe de cod afișează în mod corect numărul tuturor divizorilor unui număr natural n  2?
Variabilele cnt, i, p și n sunt de tip întreg.
(1) cnt  0
┌pentru i  1, n execută
│ ┌dacă n mod i = 0 atunci
│ │ cnt  cnt + 1
│ └■
└■
scrie cnt
(4) i  2
cnt  1
┌cât timp n ≠ 1 execută
│ p  0
│ ┌cât timp n mod i = 0 execută
│ │ p  p + 1
│ │ n  n div i
│ └■
│ ┌dacă p ≠ 0 atunci
│ │ cnt  cnt * (p+1)
│ └■
│ i  i + 1
└■
scrie cnt
(2) cnt  0
┌pentru i  1, n*n execută
│ ┌dacă n mod i = 0 atunci
│ │ cnt  cnt + 2
│ └■
└■
scrie cnt
(3) cnt  1
┌pentru i  2, n div 2 execută
│ ┌dacă n mod i = 0 atunci
│ │ cnt  cnt + 1
│ └■
└■
scrie cnt
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1

Subiect · pagina 7

5
12. Se consideră următoarea secvență de pseudocod, în care variabilele s, min_v, max_v, i, n sunt de tip întreg, iar v este
un tablou unidimensional de numere naturale nenule cu n  2 elemente, având pozițiile numerotate de la 1.
s  0
min_v  0
max_v  0
┌pentru i  1, n execută
│ s  s + v[i]
│ ┌dacă v[i] > max_v atunci
│ │ max_v  v[i]
│ └■
│ ┌dacă v[i] < min_v atunci
│ │ min_v  v[i]
│ └■
└■
La finalul executării secvenței, câte dintre următoarele expresii sunt adevărate dacă și numai dacă tabloul v are toate
elementele egale?
• min_v = max_v
• min_v * n = s
• max_v * n = s
• v[1] * n = s
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1
13. Se consideră următorul algoritm descris în pseudocod, în care variabilele m, k, i, n și a sunt de tip întreg, v este un
tablou unidimensional de numere naturale cu pozițiile numerotate de la 1, iar în n este memorată lungimea tabloului v:
k  0
m  n
┌cât timp k < n execută
│ k  n
│ ┌pentru i  1, m-1 execută
│ │ ┌dacă v[i] > v[i+1] atunci
│ │ │ a  v[i]; v[i]  v[i+1]; v[i+1]  a
│ │ │ k  k - 1
│ │ └■
│ └■
│ m  m - 1
└■
Pentru câte dintre următoarele tablouri v algoritmul va face exact 9 comparații între elementele lui v?
• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
• (6, 1, 2, 3, 4, 5)
• (5, 4, 3, 2, 1)
• (1, 2, 3, 4, 6, 5)
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1

Subiect · pagina 8

6
14. Într-o rețea de calculatoare sunt 10 PC-uri care sunt conectate între ele prin 14 cabluri. Știind că fiecare PC din rețea
este conectat direct fie cu alte două PC-uri, fie direct cu alte 3, precizați câte dintre următoarele afirmații sunt adevărate:
• în orice configurație posibilă a rețelei, doar două calculatoare sunt conectate direct cu exact alte două calculatoare;
• în orice configurație posibilă a rețelei, toate calculatoarele sunt conectate între ele, direct sau indirect;
• există cel puțin o configurație a rețelei în care un pachet de date trimis de unul dintre PC-uri poate să treacă pe la
fiecare PC o singură dată și să se întoarcă la PC-ul inițial;
• există cel puțin o configurație a rețelei în care un pachet de date trimis de unul dintre PC-uri poate să treacă pe
fiecare cablu o singură dată și să se întoarcă la PC-ul inițial;
• există cel puțin o configurație a rețelei în care un pachet de date trimis de unul dintre PC-uri poate să treacă pe
fiecare cablu o singură dată și să ajungă la un alt PC.
A) 3 B) 4 C) 1 D) 2
15. Considerăm următoarea secvență de cod, în care variabilele i, j, n și s sunt de tip întreg:
citeşte n (număr natural nenul)
s  0
i  n
┌cât timp i >= 1 execută
│ j  1
│ ┌cât timp j <= i execută
│ │ s  s + 1
│ │ j  j * 2
│ │ i  i div 2
│ └■
└■
scrie s
Care este complexitatea timp a acestei secvențe de cod?
A) 𝒪(𝑛2) B) 𝒪(𝑛 log2 𝑛) C) 𝒪(log2 𝑛) D) 𝒪(2𝑛)

Subiect · pagina 9

1
FIZICĂ – Varianta 4
1. O cantitate fixată de gaz ideal este supusă unui proces de destindere adiabatică pornind dintr-o stare iniţială
dată. Notăm cu 𝐿ad lucrul mecanic efectuat de gaz în acest proces. Dacă destinderea s-ar face izobar între
aceleaşi volume şi pornind din aceeaşi stare iniţială gazul ar efectua lucrul mecanic 𝐿p. Procesele sunt
cvasistatice. Care afirmaţie este corectă?
A) 𝐿ad = 𝐿p B) 𝐿ad > 𝐿p
C) Poate fi satisfăcută oricare
din cele trei relaţii, depinzând
de cât de mare este presiunea.
D) 𝐿ad < 𝐿p
2. Bateria din circuitul prezentat în figura alăturată este ideală. Ce valoare
trebuie să aibă rezistenţa R astfel încât energia electrică pe care o disipă
gruparea paralel într-un interval de timp dat să fie maximă?
A) 5/3 Ω B) 2 Ω C) 12 Ω D) 2,5 Ω
3. În decursul unei comprimări adiabatice cvasistatice a unei cantităţi fixate de gaz ideal:
A) Presiunea
gazului scade
B) Suma dintre variaţia energiei
interne a gazului şi lucrul mecanic
efectuat de gaz este nulă
C) Volumul
gazului creşte
D) Temperatura gazului
scade
4. Dintr-un fir cu rezistenţa electricăR se confecţionează un
cerc conectat electric între punctele 1 şi 2 la o baterie cu t.e.m.
E şi rezistenţa internă R , ca în figura alăturată. În funcţie de
poziţia pe cerc a punctelor 1 şi 2, valorile minimăminI şi cea
maximămaxI ale intensităţii curentului prin baterie sunt date
de relaţiile.
A)REI
R
E
I
2/
3
2
max
min
=
= B)REI
R
E
I
/2
2
max
min
=
= C)REI
R
E
I
/
3
2
max
min
=
= D)REI
R
E
I
/
5
4
max
min
=
=
5. În sistemul din figură scripeţii şi firele inextensibile au mase neglijabile, frecările sunt
neglijabile. Acceleraţia gravitaţională este constantă şi corpurile de mase 𝑀, 2𝑚 ş𝑖 𝑚
sunt punctiforme. Ce valoare trebuie să aibă 𝑀, în funcţie de 𝑚, astfel încât corpul de
masă 2𝑚 să fie în stare de repaus sau mişcare rectilinie şi uniformă faţă de Pământ?
A) 𝑀 = 9𝑚 B) 𝑀 = 8𝑚 C) 𝑀 = 12𝑚 D) 𝑀 = 3𝑚

Subiect · pagina 10

2
6. În cupru fiecare atom contribuie în medie la conducţia curentului electric cu un electron liber. Cuprul are
densitatea 8960 kg ∙ m−3, masa molară 63,5 × 10−3 kg ∙ mol−1 şi numărul lui Avogadro are valoarea
aproximativă 6 × 1023mol−1. Câţi electroni liberi se găsesc într-un centimetru cub de cupru?
A) ≈ 8,5 × 1022 B) ≈ 4 × 1016 C) ≈ 1,9 × 1019 D) ≈ 8,5 × 1028
7. Pe o suprafaţă orizontală sunt aşezate în şir, de la stânga la dreapta, unul lângă altul, 2024 de corpuri identice
de formă cubică. Asupra cubului numărul 1 (cubul care începe şirul în stânga) se acţionează de la stânga la
dreapta orizontal, paralel cu şirul, cu o forţă 𝐹. Cu ce forţă 𝐹21 acţionează cubul 2 asupra cubului 1? Se
neglijează frecările.
A) 𝐹21 = 2023
2024 𝐹 B) 𝐹21 = 𝐹 C) 𝐹21 = 2024
2025 𝐹 D) 𝐹21 = 2024
2023 𝐹
8. Gruparea de rezistori identici din figura alăturată are între bornele 1
şi 2 rezistenţa echivalentă
A) R/6 B) 3R/2 C) R/3 D) 2R/3
9. Într-o transformare izotermă a unei cantităţi fixate de gaz ideal presiunea gazului s-a dublat. Care afirmaţie este
corectă:
A) Gazul a primit
căldură
B) Lucrul mecanic
efectuat de gaz este
negativ
C) Energia internă a
gazului a scăzut
D) Volumul gazului s-a
dublat
10. Dintr-un punct aflat la înălţimea ℎ faţă de sol pleacă simultan vertical în jos două corpuri care pot fi considerate
puncte materiale. Un corp se deplasează rectiliniu şi uniform cu viteza 𝑉 iar celălalt porneşte din repaus şi cade
liber sub acţiunea greutăţii. Acceleraţia gravitaţională 𝑔 este constantă. Ce valoare trebuie să aibă 𝑉 astfel încât
cele două corpuri să ajungă simultan pe suprafaţa solului?
A) 𝑉 = √𝑔ℎ B) 𝑉 = √𝑔ℎ
3 C) 𝑉 = √𝑔ℎ
2 D) 𝑉 = √2𝑔ℎ
11. Un motor termic funcţionează după un ciclu ale cărui temperaturi absolute extreme sunt 𝑇min şi 𝑇max şi are
randamentul 𝜂 .Care afirmaţie este corectă întotdeauna?
A) 𝜂 = 𝑇min
𝑇max
B) 𝜂 = 1 − 𝑇min
𝑇max
C) 𝜂 ≤ 1 − 𝑇min
𝑇max D) 𝜂 > 1
12. Două resorturi având constantele de elasticitate 𝑘1 şi 𝑘2 sunt grupate în serie. Ce expresie are constanta de
elasticitate echivalentă a grupării?
A) 𝑘s = 𝑘1𝑘2
𝑘1+𝑘2 B) 𝑘s = √𝑘1𝑘2
𝑘1+𝑘2
C) 𝑘s = 2𝑘1𝑘2
𝑘1+𝑘2 D) 𝑘s = 𝑘1+𝑘2
2

Subiect · pagina 11

3
13. La temperaturaC0o doi rezistori au rezistenţele2010 2RR = . Coeficienţii de variaţie cu temperatura ai
rezistenţelor lor sunt1
 , respectiv2
 . Dacă rezistorii sunt conectaţi în serie, coeficientul de variaţie cu
temperatura al rezistenţei echivalente este
A)2/)2( 21


 += B)3/)2( 21


 += C)2/)2( 21


 += D)212


 +=
14. O fracţiune 𝑓 din moleculele unui gaz ideal biatomic disociază formându-se astfel un amestec de molecule şi
atomi. Ce expresie are exponentul adiabatic al amestecului format? Căldura molară la volum constant a unui
gaz ideal monoatomic este 1,5𝑅, cea a unui gaz ideal biatomic 2,5𝑅 , unde 𝑅 este constanta universală a gazelor
ideale.
A) 𝛾 = 14+3𝑓
𝑓+10 B) 𝛾 = 7(1−𝑓)
𝑓+5 C) 𝛾 = 5−𝑓
3 D) 𝛾 = 7+3𝑓
𝑓+5
15. Două puncte materiale au aceeaşi masă 𝑚 şi se deplasează pe direcţii perpendiculare astfel încât se întâlnesc şi
se ciocnesc plastic. Vitezele faţă de Pământ înainte de ciocnire au acelaşi modul 𝑉. Ce expresie are variaţia
energiei cinetice faţă de Pământ a ansamblului celor două puncte materiale ca urmare a ciocnirii plastice?
A) ∆𝐸cin = − 𝑚𝑉2
2 B) ∆𝐸cin = 𝑚𝑉2
2 C) ∆𝐸cin = − 𝑚𝑉2
3 D) ∆𝐸cin = −√2𝑚𝑉2

Subiect · pagina 12

Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 16.07.2024
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2024
Barem
I. Algebr˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Calculul lui ∆: ∆ = m2 − 4m − 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Condit¸ia ∆ ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul solut¸iilor ecuat¸iei ∆ = 0: 2 ± 2√3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Solut¸ia: m ∈ (−∞, 2 − 2√3] ∪ [2 + 2√3, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) s1 = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
s2 = m2 − 2m − 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
s3 = m3 − 3m2 − 6m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
s3 − s1s2 + (s1 + 2)s1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrarea afirmat¸iei: “sn ∈ R pentru orice n.” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) det(A) = 2m2 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
A inversabil˘a ⇔ m ∈ R \

± 1
√2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
Enunt¸area axiomelor grupului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Verificarea axiomelor grupului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
(d) Observat¸ia c˘a m ∈ Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Deducerea valorilor m = 6 ¸si m = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
II. Analiz˘a. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Demonstrarea faptului c˘a funct¸ia f1 este strict cresc˘atoare pe (−1, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,75 p
Determinarea ecuat¸iei asimptotei verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p
Determinarea ecuat¸iei asimptotei orizontale spre ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Argumentarea faptului c˘a graficul funct¸iei f1 nu are asimptote oblice spre ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
(b) Calculul
Z 1
0
f1(x2)dx = 1 − π
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,5 p
Calculul
Z 1
0
fn(x2)dx = 1 − arctg √n
√n pentru orice n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizare: lim
n→∞
Z 1
0
fn(x2)dx = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(c) Calculul f ′
n(x) = n
(nx + 1)2 pentru orice x ∈ [0, ∞) ¸si n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul f ′′
n (x) = −2n2
(nx + 1)3 pentru orice x ∈ [0, ∞) ¸si n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Alegerea unei valori convenabile pentru c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstrarea faptului c˘a ¸sirul obt¸inut este divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p

Barem · pagina 2

2
(d) Obt¸inerea egalit˘at¸ii
fn
 1
n

1 · ln 2 +
fn
 2
n

2 · ln 3 +· · ·+
fn
 n
n

n · ln (n + 1) = 1
2 · ln 2 + 1
3 · ln 3 +· · ·+ 1
(n + 1) · ln (n + 1)
pentru orice n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Obt¸inerea concluziei lim
n→∞




fn
 1
n

1 · ln 2 +
fn
 2
n

2 · ln 3 + · · · +
fn
 n
n

n · ln (n + 1)



 = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
III. Geometrie. Din oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Demonstrat¸ia faptului c˘a ABCD este p˘atrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Obt¸inerea ecuat¸iei dreptei AC: x + y − 1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Obt¸inerea ecuat¸iei dreptei BD: x − y + 1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Obt¸inerea coordonatelor punctului de intersect¸ie Q(0, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Aflarea coordonatelor punctelor M

− 1
2 , 0

¸si N

1, 2
3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul ariei: aria(AM N ) = 5
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul distant¸ei d de la punctul A la dreapta M N : d = 20
√97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Calculul razei cercului ˆınscris r = √2 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea apartenent¸ei centrului cercului ˆınscris la cercul circumscris p˘atratului ABCD . . . . 1 p
(d) Dac˘a P are coordonatele (x0, y0), atunci x2
0 + y2
0 − 4y0 + 3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Calculul P Q2 = (x0 − 0)2 + (y0 − 1)2 = x2
0 + y2
0 − 2y0 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Finalizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Orice rezolvare corect˘a este punctat˘a corespunz˘ator.