Răspuns pe scurt
0,(27) = 27/99 = 3/11, iar 0,2(7) = (27 − 2)/90 = 5/18. La numitor scrii câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei, apoi câte un 0 pentru fiecare zecimală neperiodică. La o periodică mixtă scazi, la numărător, partea neperiodică.
0,(27) = 27/99 = 3/11, iar 0,2(7) = (27 − 2)/90 = 5/18. Mutarea parantezei schimbă numărul: în prima scriere se repetă grupul 27, în a doua se repetă numai cifra 7.
Dacă lucrezi cu numere raționale la gimnaziu sau recapitulezi pentru Evaluarea Națională, începe prin a scrie câteva zecimale. Vei vedea ce trebuie să se repete înainte să alegi numitorul.
Trei scrieri care trebuie citite diferit
- 0,27 = 27/100: scrierea este finită, se oprește la sutimi.
- 0,(27) = 0,272727…: perioada începe imediat după virgulă. Este o fracție zecimală periodică simplă.
- 0,2(7) = 0,277777…: înaintea perioadei apare cifra 2. Este o fracție zecimală periodică mixtă.
Parantezele marchează cifrele care se repetă la nesfârșit. În manualul OpenStax Prealgebra 2e vei întâlni aceeași idee notată cu o bară deasupra perioadei.
De unde apare 99 la 0,(27)?
Notează numărul cu x. Perioada are două cifre, așa că înmulțești cu 100:
x = 0,272727…
100x = 27,272727…
Părțile de după virgulă coincid. Scăzând prima egalitate din a doua, obții 100x − x = 27, adică 99x = 27. Prin urmare, x = 27/99 = 3/11.
Numitorul 99 vine din 100 − 1. Cu o singură cifră în perioadă ai folosi 10x − x și ai obține 9x.
La 0,2(7) ai nevoie de două înmulțiri
De data aceasta, x = 0,277777…. Înmulțește întâi cu 10, ca perioada să înceapă chiar după virgulă, apoi cu 100:
10x = 2,777777…
100x = 27,777777…
Acum poți scădea părțile zecimale identice: 100x − 10x = 27 − 2. Rămâne 90x = 25, deci x = 25/90 = 5/18.
Așa se explică ambele schimbări față de primul exemplu: la numărător scazi 2, iar la numitor ai 100 − 10, adică 90. Metoda înmulțirii urmate de scădere este prezentată și în OpenStax, Contemporary Mathematics, secțiunea despre numere raționale; calculele de aici folosesc exemple proprii.
Cum folosești regula fără să pierzi un zero
Pentru o zecimală periodică pozitivă mai mică decât 1, scrie la numărător numărul format din toate cifrele de după virgulă până la sfârșitul primei perioade. Scade numărul format din cifrele neperiodice; dacă nu există, scazi zero.
La numitor scrii un 9 pentru fiecare cifră din perioadă, apoi un 0 pentru fiecare cifră neperiodică de după virgulă. Astfel, 0,(27) dă 27/99, iar 0,2(7) dă (27 − 2)/90.
Un zero ocupă și el o poziție. În 0,0(6), perioada începe abia la a doua zecimală: (6 − 0)/90 = 1/15. Dacă ai pune 9 la numitor, ai obține 0,(6), un număr de zece ori mai mare.
Partea întreagă se adaugă separat
Pentru 2,1(6), pornește de la 2 + 0,1(6). Partea zecimală devine (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6. Apoi aduni:
2 + 1/6 = 12/6 + 1/6 = 13/6.
Numărul 2,17 este doar o rotunjire la două zecimale. Păstrează 13/6 când continui calculul într-o ecuație cu fracții, dacă nu ți se cere o aproximare.
Încearcă singur: 0,(45) și 0,4(5)
Scrie câteva zecimale din fiecare, apoi transformă numerele în fracții. Înainte să citești rezultatele, explică de ce numitorii vor fi diferiți.
Pentru 0,(45) obții 45/99 = 5/11, cu scrierea 0,454545…. Pentru 0,4(5), rezultatul este (45 − 4)/90 = 41/90, cu scrierea 0,455555….
La o verificare fără caiet, ascunde aceste calcule și reconstruiește cele două rânduri cu x. Dacă nu știi ce puteri ale lui 10 să alegi, scrie-le până când părțile de după virgulă coincid.