Răspuns pe scurt
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului laturilor corespondente, luate în aceeași ordine. Dacă laturile se dublează, aria se înmulțește cu 4.
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului laturilor corespondente, luate în aceeași ordine. Dacă laturile se dublează, aria se înmulțește cu 4.
La asemănare, e tentant să înmulțești totul cu același număr. Dar baza și înălțimea cresc împreună. Dacă înveți lecția în clasa a VII-a sau o reiei în clasa a VIII-a pentru Evaluarea Națională, urmărește ce se întâmplă cu produsul lor. Exemplele de mai jos sunt create pentru explicație, nu preluate dintr-un subiect de examen.
De la 24 cm² la 54 cm²
Aria unui triunghi este baza × înălțimea corespunzătoare / 2. La triunghiuri asemenea, baza și înălțimea se înmulțesc cu același factor. Folosești regula numai după ce ai asemănarea: fie este dată în enunț, fie o demonstrezi.
Ia un triunghi dreptunghic cu catetele de 6 cm și 8 cm. Aria lui este 6 × 8 / 2 = 24 cm². Mărim toate lungimile de 1,5 ori. Catetele noului triunghi au 9 cm și 12 cm, iar aria devine 9 × 12 / 2 = 54 cm².
| Ce compari | Triunghiul inițial | Triunghiul mărit | Raport mărit/inițial |
|---|---|---|---|
| O catetă | 6 cm | 9 cm | 3/2 |
| Cealaltă catetă | 8 cm | 12 cm | 3/2 |
| Aria | 24 cm² | 54 cm² | 9/4 |
Factorul 3/2 apare de două ori în calculul ariei: o dată la bază, o dată la înălțime. Înmulțești (3/2) × (3/2) = 9/4. Noua arie este 2,25 × aria inițială.
Relația este demonstrată în manualul Corint de matematică pentru clasa a VII-a, pagina 159. Exemplul nostru este dreptunghic pentru a putea calcula repede ambele arii; proprietatea se aplică oricăror două triunghiuri asemenea.
În ce ordine scrii raportul?
Scrii ABC ∼ DEF. Ordinea literelor îți spune ce compari: A cu D, B cu E, C cu F. Dacă AB = 6 cm și DE = 9 cm, raportul laturilor din DEF față de ABC este DE/AB = 3/2. Atunci:
ADEF / AABC = (DE/AB)² = 9/4.
Dacă scrii raportul laturilor în sens invers, inversezi și raportul ariilor: AB/DE = 2/3, deci AABC / ADEF = 4/9. Poți alege oricare dintre cele două ordine. Păstreaz-o și la laturi, și la arii.
Pentru un raport numeric, exprimă lungimile în aceeași unitate și ariile în aceeași unitate de arie. Dacă ai metri pătrați într-un loc și centimetri pătrați în celălalt, reia transformarea unităților de arie înainte de împărțire.
Perimetrul păstrează raportul laturilor
La perimetru aduni lungimi. Dacă fiecare latură a triunghiului nou este de k ori lungimea celei corespunzătoare, și suma lor se înmulțește cu k. Raportul perimetrelor este k; raportul ariilor este k².
De pildă, când lungimile se dublează, perimetrul se dublează, iar aria se înmulțește cu 4. Connected Mathematics Project, de la Michigan State University, arată prin exemple de ce lungimile și ariile se schimbă diferit la mărire.
O paralelă în triunghi: ce arie rămâne?
Ia acum alt triunghi ABC, cu aria de 90 cm². D se află în interiorul segmentului AB, E în interiorul segmentului AC, iar DE este paralel cu BC. Ai AD = 2 × DB și trebuie să afli aria patrulaterului DBCE.
Triunghiurile ADE și ABC sunt asemenea prin criteriul unghi–unghi: au unghiul A comun, iar din DE ∥ BC obții încă o pereche de unghiuri egale.
Acum urmărește latura AB. D o împarte în două segmente, AD și DB. Dacă DB este o parte, AD are două părți, iar AB are trei. Astfel, AD/AB = 2/3. Acesta este raportul mic/mare de care ai nevoie.
AADE / AABC = (2/3)² = 4/9.
AADE = 90 × 4/9 = 40 cm².
ADBCE = 90 − 40 = 50 cm².
Cei 40 cm² reprezintă aria triunghiului mic. Cerința te întreabă însă despre patrulaterul DBCE. După ce ai folosit asemănarea, mai trebuie să scazi aria mică din cea mare.
Nu folosi direct AD/DB = 2 ca raport de asemănare. Laturii AD din ADE îi corespunde AB din ABC. Segmentul DB este doar o parte din AB. Verifică și mărimea raportului: ai ales mic/mare, deci trebuie să obții un număr sub 1.
De la arii înapoi la o latură
Două triunghiuri asemenea au ariile de 25 cm² și 49 cm². O latură a triunghiului mic are 15 cm. Cât măsoară latura corespunzătoare a celui mare? Fă o încercare înainte să citești calculul.
Raportul ariilor, mare/mic, este 49/25. Raportul laturilor este √(49/25) = 7/5, deci latura cerută are 15 × 7/5 = 21 cm. Raportul este pozitiv: compari două lungimi.
Dacă ai înmulțit 15 cu 49/25, ai folosit raportul ariilor la o lungime. Explică de ce apare radicalul, apoi încearcă o verificare fără caiet cu alte date: ariile sunt 16 cm² și 81 cm², iar latura triunghiului mic are 12 cm.
Răspunsul este 27 cm: raportul laturilor mare/mic este √(81/16) = 9/4, iar 12 × 9/4 = 27. Dacă te-ai oprit la 81/16, ai aflat raportul ariilor. Mai ai de trecut de la suprafețe la lungimi.