Răspuns pe scurt
Pentru sinusul unei sume, formula este sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b. Ai de adunat două produse. În general, sin(a + b) nu este egal cu sin a + sin b.
Pentru sinusul unei sume, formula este sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b. Ai de adunat două produse. În general, sin(a + b) nu este egal cu sin a + sin b.
La primele exerciții de trigonometrie din liceu, paranteza poate duce la o regulă greșită. Urmărim întâi un caz în care rezultatele diferă, apoi calculăm o valoare exactă. Unghiurile din calculele principale sunt în grade.
Ce se întâmplă la 30° + 30°?
Adună unghiurile înainte să aplici sinusul: sin(30° + 30°) = sin 60° = √3/2. Acum încearcă cealaltă expresie: sin 30° + sin 30° = 1/2 + 1/2 = 1. Obții două numere diferite.
Prin urmare, sin(a + b) = sin a + sin b nu este o identitate, adică o egalitate adevărată pentru toate valorile admise. Un singur contraexemplu o respinge. Ai grijă și la verificările care ies bine: pentru a = 0°, egalitatea funcționează, fără să devină o regulă generală.
Ce faci cu paranteza din sin(a + b)?
În 3(a + b), numărul 3 înmulțește suma și poți folosi distributivitatea. În sin(a + b), „sin” este numele unei funcții: îi ceri valoarea la unghiul a + b. Ca să exprimi rezultatul folosind separat unghiurile a și b, ai nevoie de formula de adunare.
sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b
În primul produs pui sin a și cos b. În al doilea, cos a și sin b. Abia apoi aduni. Găsești formula în NIST Digital Library of Mathematical Functions, relația 4.21.2; OpenStax arată cum o folosești pentru a calcula valori exacte.
30°, 45° și 60°: valorile de la care pornești
Pentru exemplul următor folosim aceste valori, prezentate și în tabelul OpenStax pentru sinus și cosinus:
| Unghi | Sinus | Cosinus |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Dacă ai uitat valorile pentru 30°, pornește de la un triunghi dreptunghic cu acest unghi, cu ipotenuza de 2 cm și cateta opusă lui de 1 cm. Cealaltă catetă are lungimea √(2² − 1²) = √3 cm, prin teorema lui Pitagora. De aici, sin 30° = 1/2 și cos 30° = √3/2.
75° devine 45° + 30°
Scrie 75° = 45° + 30°. Acum ai două unghiuri din tabel și poți înlocui în formulă:
sin 75° = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30°
= (√2/2) · (√3/2) + (√2/2) · (1/2)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2)/4.
Acesta este răspunsul exact. Pentru control, valoarea lui este aproximativ 0,966. Nu înlocui radicalii cu zecimale în mijlocul calculelor dacă enunțul cere forma exactă.
La 120°, unul dintre produse dispare
Folosește 120° = 90° + 30°. Știi sin 90° = 1 și cos 90° = 0. Încearcă să scrii ambele produse înainte să citești calculul de mai jos.
sin 120° = 1 · (√3/2) + 0 · (1/2) = √3/2. Primul produs rămâne, iar al doilea este zero. O simplă adunare de sinusuri ar fi dat 1 + 1/2 = 1,5, imposibil pentru sinusul unui unghi real: valorile sale sunt între −1 și 1.
Intervalul te ajută să prinzi răspunsul 1,5, dar nu orice greșeală: și răspunsul greșit 1 de la 30° + 30° este între −1 și 1. Pentru o verificare fără caiet, acoperă acum formula și refă sin(90° + 30°). Încearcă să explici și de ce al doilea produs devine zero.