Răspuns pe scurt
În formula aₙ = a₁ + (n − 1)r apare n − 1 fiindcă de la primul termen la cel de pe poziția n faci n − 1 pași. La fiecare pas aduni rația r; la primul termen ai făcut zero pași.
În formula an = a1 + (n − 1)r apare n − 1 fiindcă de la primul termen până la cel de pe poziția n faci n − 1 pași. La fiecare pas aduni rația r. Primul termen este punctul de plecare: acolo ai făcut zero pași.
De ce al cincilea termen nu înseamnă cinci adunări?
Într-o progresie aritmetică, diferența dintre un termen și cel dinainte este mereu aceeași: r = an+1 − an. Aceasta este rația. O calculezi prin scădere, chiar dacă numele te poate duce cu gândul la o împărțire.
Luăm primul termen 11 și rația 4. Tabelul arată ce obții când aduni de fiecare dată 4:
| Poziția n | Termenul an | De câte ori am adunat 4 |
|---|---|---|
| 1 | 11 | 0 |
| 2 | 15 | 1 |
| 3 | 19 | 2 |
| 4 | 23 | 3 |
| 5 | 27 | 4 |
Pentru al cincilea termen ai adunat 4 de patru ori: a5 = 11 + (5 − 1) · 4 = 27. Dacă scrii 11 + 5 · 4, obții 31, termenul al șaselea. Ai calculat corect, dar ai mers cu un pas prea departe.
Definiția și formula pot fi consultate în manualul OpenStax, secțiunea despre progresii aritmetice. Acolo rația este notată cu d; aici folosim r.
Încearcă formula la prima poziție
Înlocuiește n cu 1. Ar trebui să obții chiar a1, pentru că încă nu ai avansat. În formula corectă, (1 − 1)r este zero. În varianta a1 + nr, ai adăuga deja o rație.
Cu n = 2 trebuie să obții a1 + r. Aceste înlocuiri pot scoate la iveală un pas numărat în plus. Există și o limită a verificării: dacă r = 0, cele două formule dau aceleași valori.
Câți pași sunt de la a3 la a7?
Într-o progresie aritmetică știm că a3 = 17 și a7 = 41. Scrie pozițiile: 3 → 4 → 5 → 6 → 7. Sunt cinci poziții, dar numai patru treceri de la una la următoarea.
Valorile diferă cu 41 − 17 = 24. Cele patru adunări egale dau, împreună, 24, deci r = 24 : 4 = 6. Ca să ajungi de la al treilea termen la primul, mergi doi pași înapoi: a1 = 17 − 2 · 6 = 5. Verifică apoi în celălalt capăt: a7 = 5 + 6 · 6 = 41.
Poți porni, așadar, de la orice termen cunoscut ak:
an = ak + (n − k)r.
Relația se obține și scăzând formulele termenilor an și ak. Când mergi înainte, n − k este numărul pașilor. Când mergi înapoi, diferența este negativă, iar formula ține cont de sens.
43 este termen al progresiei. Dar 42?
Revenim la progresia cu a1 = 11 și r = 4, numerotată de la 1. Căutăm poziția lui 43:
43 = 11 + (n − 1) · 4, deci n − 1 = 8 și n = 9.
Numărul 43 este al nouălea termen. Pentru 42, aceeași ecuație dă n = 8,75. O poziție trebuie să fie întreagă, așa că 42 nu este termen al acestei progresii.
Verifică dacă poziția găsită este un număr întreg pozitiv. La o progresie finită, ea trebuie să se încadreze și în numărul de termeni din enunț.
Două exerciții pentru verificare
Încearcă fără formulă în față: o progresie aritmetică are a1 = 23 și r = −5. Cât este a4? Scrie numărul de pași înainte să faci calculul.
Sunt trei pași: a4 = 23 + 3 · (−5) = 8. Poți verifica prin enumerare: 23, 18, 13, 8.
Dacă pregătești BAC la științe ale naturii, continuă cu Subiectul I, exercițiul 1, din modelul oficial de matematică pentru 2027. Cere primul termen al unei progresii aritmetice din doi termeni neconsecutivi. Documentul se găsește în arhiva oficială a modelelor de matematică; prezența cerinței în model nu garantează un exercițiu identic la examen.
Pentru încă o verificare, refă tabelul de la început cu explicația închisă. Metoda din Cum știi că ai învățat lecția? Verifică-te fără caiet te ajută să observi ce mai ai de lămurit. În dreptul fiecărui termen, scrie separat câte adunări te-au adus acolo.