Răspuns pe scurt
Trei lungimi pozitive, exprimate în aceeași unitate, pot forma un triunghi dacă cea mai mare este strict mai mică decât suma celorlalte două. Egalitatea nu ajunge: cele trei vârfuri ar fi pe aceeași dreaptă.
Trei lungimi pozitive, exprimate în aceeași unitate, pot forma un triunghi dacă cea mai mare este strict mai mică decât suma celorlalte două. Egalitatea nu ajunge: cele trei vârfuri ar fi pe aceeași dreaptă.
În clasa a VI-a, verifici asta înainte de construcția cu rigla și compasul. În a VIII-a, o poți folosi când recapitulezi geometria și trebuie să alegi lungimi posibile. Exemplele de mai jos sunt proprii, nu cerințe dintr-un examen.
Cu 4 cm și 7 cm, a treia lungime schimbă răspunsul
Încearcă pe rând 10 cm, 11 cm și 12 cm. În toate cele trei cazuri, lungimea nouă este cea mai mare, așa că o compari cu 4 + 7 = 11.
| Lungimi, în cm | Comparația | Poți forma un triunghi? |
|---|---|---|
| 4, 7, 10 | 4 + 7 > 10 | Da |
| 4, 7, 11 | 4 + 7 = 11 | Nu: egalitate |
| 4, 7, 12 | 4 + 7 < 12 | Nu: suma este prea mică |
Manualul Litera de matematică pentru clasa a VI-a, pagina 180, explică atât inegalitatea triunghiului, cât și condiția pentru construcția din trei lungimi: suma oricăror două trebuie să o depășească pe a treia.
De ce ajunge să verifici latura cea mai mare? În primul exemplu, 10 este deja mai mare decât 7 și decât 4. Dacă îi adaugi o lungime pozitivă, comparațiile 10 + 4 > 7 și 10 + 7 > 4 sunt automat adevărate. Același motiv funcționează și când unele lungimi sunt egale.
La egalitate, segmentele se întind pe o dreaptă
Unește la un capăt două segmente de 4 cm și 7 cm. Ca să ai 11 cm între capetele libere, trebuie să le întinzi pe aceeași dreaptă, în sensuri opuse față de capătul comun. Ai trei puncte coliniare, fără un triunghi între ele.
De aceea condiția folosește >, fără egalitate. Regula strictă apare și în Elementele lui Euclid, I.20. Un desen aproximativ în care „pare că se închide” nu poate schimba relația dintre lungimile date.
A treia latură este x. De ce nu ajunge x < 11?
Păstrăm laturile de 4 cm și 7 cm și exprimăm și lungimea x în centimetri. Din 4 + 7 > x obții x < 11. Dar x = 1 ar trece această verificare, deși 4 + 1 < 7. Îți lipsește limita de jos.
Scrie și 4 + x > 7. Scazi 4 din ambii membri: x > 3. A treia condiție, 7 + x > 4, este deja adevărată pentru x pozitiv. Rămân împreună:
3 < x < 11.
Citești: lungimea x este strict între diferența 7 − 4 și suma 7 + 4. Nu presupune că latura necunoscută va fi cea mai mare. Dacă eziți la pasul algebric, reia operațiile care păstrează sau schimbă sensul unei inecuații; aici ai scăzut același număr din ambii membri.
Pentru x număr natural, ai șapte valori: 4, 5, 6, 7, 8, 9 și 10. Dacă enunțul permite și valori neîntregi, merg și 3,5 cm sau 10,5 cm. Lista numerelor naturale este un răspuns complet numai când cerința o cere.
Două verificări pe care nu le înlocuiește acest test
Unitățile: pentru 0,8 dm, 5 cm și 12 cm, transformi întâi 0,8 dm în 8 cm. Apoi 8 + 5 > 12, deci triunghiul există. Calculul 0,8 + 5 < 12 amestecă decimetri cu centimetri.
Unghiul drept: laturile de 4, 7 și 10 cm trec testul de existență, dar 4² + 7² = 65, iar 10² = 100. Triunghiul nu este dreptunghic. Pentru folosirea relației cu pătrate, vezi explicația despre teorema lui Pitagora și aflarea unei catete.
Încearcă acum cu 2 cm și 6 cm
Caută toate valorile naturale ale celei de-a treia laturi, în centimetri, înainte să citești rândul următor.
Diferența este 4, suma este 8, așadar 4 < x < 8. Rămân 5, 6 și 7. Verifică separat capetele: la x = 4, ai 2 + 4 = 6; la x = 8, ai 2 + 6 = 8. În ambele cazuri obții egalitate, deci nici 4, nici 8 nu intră în răspuns.