Răspuns pe scurt
În ecuația log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3, condițiile impun x > 3. Calculul algebric dă 5 și −1, dar numai 5 verifică ecuația inițială; pentru −1, argumentele logaritmilor sunt negative.
Pentru log2(x − 1) + log2(x − 3) = 3, soluția este x = 5. Din ecuația algebrică obții și −1, dar această valoare face negative ambele argumente ale logaritmilor. De aceea o elimini.
Dacă ai găsit cele două rădăcini și le-ai păstrat pe amândouă, urmărește rândurile de mai jos. Exemplul este pentru elevii de clasa a X-a și pentru liceenii care reiau ecuațiile logaritmice la pregătire. Toate calculele sunt în numere reale.
Începe cu cele două paranteze
Înainte să transformi suma logaritmilor, scrie condițiile:
x − 1 > 0, deci x > 1;
x − 3 > 0, deci x > 3.
Ai nevoie de amândouă, așadar x > 3. Dacă ai scrie numai x > 0, ai permite și x = 2, deși a doua paranteză ar deveni −1.
Expresia căreia îi aplici logaritmul se numește argument. În logb(A), condițiile sunt A > 0, b > 0 și b ≠ 1, conform definiției logaritmului din OpenStax. Aici baza este 2, deci rămân de urmărit cele două argumente. Dacă baza ar conține și ea necunoscuta, ai impune condiții și pentru bază.
Calculul dă 5 și −1
Pe domeniul x > 3, ambele argumente sunt pozitive. Putem folosi regula sumei logaritmilor în aceeași bază:
log2((x − 1)(x − 3)) = 3.
Un logaritm în baza 2 este egal cu 3 când argumentul său este 23 = 8. Rezolvarea continuă astfel:
(x − 1)(x − 3) = 8
x² − 4x + 3 = 8
x² − 4x − 5 = 0
(x − 5)(x + 1) = 0.
Ecuația algebrică are două rădăcini: 5 și −1. Condiția x > 3 o lasă numai pe 5. O verificăm în enunț:
log2(5 − 1) + log2(5 − 3) = log2(4) + log2(2) = 2 + 1 = 3.
Argumentele sunt pozitive, egalitatea este adevărată, deci mulțimea soluțiilor este S = {5}.
De ce produsul acceptă valoarea −1?
Înlocuiește −1 în produs: (−1 − 1)(−1 − 3) = (−2) · (−4) = 8. Calculul este corect. Două numere negative pot avea un produs pozitiv.
În ecuația inițială însă ar trebui să calculezi separat log2(−2) și log2(−4). Niciunul nu este definit în numere reale. Faptul că produsul este pozitiv nu îți permite să scrii logaritmul fiecărui factor.
Dacă păstrezi x > 3 lângă rezolvare, această valoare este exclusă de la început. Problema apare când uiți condiția și tratezi ecuația cu produsul ca și cum ar avea singură toate restricțiile celei inițiale. Lecția OpenStax despre ecuații logaritmice explică verificarea și eliminarea rezultatelor care nu convin ecuației inițiale.
Totuși, un x negativ poate fi soluție
Compară cu log3(x + 4) = 1. Acum condiția este x + 4 > 0, adică x > −4. Din x + 4 = 3 rezultă x = −1.
Aceeași valoare −1 este bună aici: log3(−1 + 4) = log3(3) = 1. Contează semnul argumentului întreg. Nu elimina o rădăcină doar fiindcă este negativă.
Pentru trecerea de la condiții la intervale, poți relua rezolvarea inecuațiilor. În fiecare rând, urmărește operația făcută asupra ambilor membri.
Acoperă răspunsul și încearcă
Rezolvă log2(x − 2) + log2(x − 5) = 2. Notează întâi condițiile, apoi calculează rădăcinile.
De data aceasta trebuie să ai x > 5. Obții (x − 2)(x − 5) = 4, apoi x² − 7x + 6 = 0, adică (x − 1)(x − 6) = 0. Din 1 și 6 păstrezi numai 6. Înlocuirea în enunț dă log2(4) + log2(1) = 2 + 0 = 2.
Dacă ai păstrat și 1, scrie ce devine fiecare argument pentru x = 1. Când îți corectezi lucrarea de matematică, marchează separat calculul rădăcinilor și verificarea lor. Poți arăta la clasă sau la meditații tocmai rândul la care ai uitat condiția.